2022-2023学年北京市日坛中学教育集团八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市日坛中学教育集团八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一次，第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下面四个图形中，表示线段AD是△ABC中BC边上的高的图形为（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）小明用长度分别为5，a，9的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则a可能的值是（ ）
A．4B．6C．14D．15
4．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点P（2，1）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，﹣1）B．（ 2，1 ）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1 ）
5．（3分）如图是一副三角尺拼成的图案，则∠AEB的度数为（ ）
A．105°B．90°C．75°D．60°
6．（3分）一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则它是几边形（ ）
A．八边形B．七边形C．六边形D．九边形
7．（3分）如图所示，已知△ABC（AC＜AB＜BC），用尺规在线段BC上确定一点P，使得PA+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．
C．D．
8．（3分）如图，已知AB＝DC，下列条件中，不能使△ABC≌△DCB的是（ ）
A．AC＝DBB．∠A＝∠D＝90°C．∠ABC＝∠DCBD．∠ACB＝∠DBC
9．（3分）如图，把△ABC沿平行于BC的直线DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（ ）
A．40°B．50°C．80°D．100°
10．（3分）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（ ）
A．20B．30C．50D．100
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（3分）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中，要测量工件内槽宽AB，只要测量A′B′的长度即可，该做法的依据是 ．
12．（3分）如图是李老师去某地旅游拍摄的“山谷中的铁架桥”，铁架桥框架做成了三角形的形状，该设计是利用三角形的 ．
13．（3分）等腰三角形的一个角为40°，则它的顶角为 ．
14．（3分）如图，点 B、D、E、C在一条直线上，若△ABD≌△ACE，BC＝12，BD＝3，则DE的长为 ．
15．（3分）双塔寺又名永祚寺，创建于明万历三十六年（公元1608年），现为国家级文物保护单位，由于寺内双塔高耸，故俗称双塔寺，成为太原市的标志性建筑．主塔平面呈八角，其俯视图形状为正八边形（如图所示），则该八边形一个内角的度数为 ．
16．（3分）如图，△ABC和△ABD中，∠C＝∠D＝90°，要证明△ABC≌△ABD，还需要的条件是 ．（只需填一个即可）
17．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（3，0），C（3，2），如果△ABC与△ABD全等，那么点D的坐标可以是 （写出一个即可）．
18．（3分）尊老敬老是中华民族的传统美德，某校文艺社团的同学准备在“五一”假期去一所敬老院进行慰问演出，他们一共准备了6个节目，全体演员中有8人需参加两个或两个以上的节目演出，情况如表：
从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出，从节目安排的角度考虑，首尾两个节目分别是A，F，中间节目的顺序可以调换，请写出一种符合条件的节目先后顺序 （只需按演出顺序填写中间4个节目的字母即可）．
三、解答题（共8题，共46分.19题4分，20-21题6分，22题5分，23--25题每题6分，26题7分）
19．（4分）点D为△ABC的边BC的延长线上的一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠A＝35°，∠D＝40°，求∠ACD的度数．
20．（6分）如图，C是线段AB的中点，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BCD．
求证：AD＝BE．
21．（6分）如图，F，C是AD上的两点，且AB＝DE，AB∥DE，AF＝CD．求证：BC∥EF．
22．（5分）已知：如图，点B是∠MAN边AM上的一定点（其中∠MAN＜45°），
求作：△ABC，使其满足：①点C在射线AN上，②∠ACB＝2∠A．
下面是小兵设计的尺规作图过程．
作法：
①作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D；
②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C；
③连接BC，则△ABC即为所求三角形．
根据小兵设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD（ ），（填推理的依据）
∴∠A＝∠ ，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A；
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠BDC （ ），（填推理的依据）
∴∠ACB＝2∠A．
23．（6分）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．
（1）求证：∠BAE＝∠BCF；
（2）若∠CAE＝25°，求∠ACF的度数．
24．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l是在第一、三象限内平分两坐标轴夹角的直线．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，0），B（5，3），C（6，1）．
（1）若△ABC与△A'B'C'关于y轴对称，画出△A'B'C'，并写出△A'B'C'三个顶点的坐标；
（2）若△ABC关于直线l对称的三角形为△A″B″C″直接写出点C″的坐标为 ．
25．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D为AB的中点，E为CA延长线上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于点F，连接EF．作点B关于直线DF的对称点G，连接DG．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠ADF＝α；
①求∠EDG的度数（用含α的式子表示）；
②请判断以线段AE，BF，EF为边的三角形的形状，并说明理由．
26．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（3，0），且平行于y轴．给出如下定义：点P（x，y）先关于y轴对称得点P1，再将点P1关于直线l对称得点P′，则称点P′是点P关于y轴和直线l的二次反射点．
（1）已知A（﹣4，0），B（﹣2，0），C（﹣3，1），则它们关于y轴和直线l的二次反射点A′，B′，C′的坐标分别是 ；
（2）若点D的坐标是（a，0），其中a＜0，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点D′，求线段DD′的长；
（3）已知点E（4，0），点F（6，0），以线段EF为边在x轴上方作正方形EFGH，若点P（a，1），Q（a+1，1）关于y轴和直线l的二次反射点分别为P′，Q′，且线段P′Q′与正方形EFGH的边有公共点，求a的取值范围．
2022-2023学年北京市日坛中学教育集团八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一次，第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是第24届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形定义进行分析即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：选项A，B，D都不能找到这样的一条直线，使这些图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项C能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）下面四个图形中，表示线段AD是△ABC中BC边上的高的图形为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：A、图中线段AD不是△ABC中BC边上的高，本选项不符合题意；
B、图中线段AD不是△ABC中BC边上的高，本选项不符合题意；
C、图中线段AD不是△ABC中BC边上的高，本选项不符合题意；
D、线段AD是△ABC中BC边上的高，本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
3．（3分）小明用长度分别为5，a，9的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则a可能的值是（ ）
A．4B．6C．14D．15
【分析】根据三角形的三边关系：三角形任何两边之和都大于第三边，任何两边之差都小于第三边，可判定求解．
【解答】解：由题意得9﹣5＜a＜9+5，
解得4＜a＜14，
故a可能的值是6，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
4．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点P（2，1）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，﹣1）B．（ 2，1 ）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1 ）
【分析】根据平面直角坐标系中对称点的规律解答．
【解答】解：根据平面直角坐标系中对称点的规律可知，点P（2，1）关于x轴的对称点为P1（2，﹣1）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
5．（3分）如图是一副三角尺拼成的图案，则∠AEB的度数为（ ）
A．105°B．90°C．75°D．60°
【分析】根据三角形外角的性质解答即可．
【解答】解：由图可知∠ACB＝30°，∠DBC＝45°，
∵∠AEB＝∠DBC+∠ACB，
∴∠AEB＝30°+45°＝75°．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形外角的性质．解题的关键是掌握三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．要注意：一副三角尺的度数：30°，45°，60°，90°．
6．（3分）一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则它是几边形（ ）
A．八边形B．七边形C．六边形D．九边形
【分析】根据多边形的内角和公式与多边形的外角和是360°，结合题意列方程求解即可．
【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n﹣2）•180＝360×3，
解得 n＝8，即它是八边形．
故选：A．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题关键．
7．（3分）如图所示，已知△ABC（AC＜AB＜BC），用尺规在线段BC上确定一点P，使得PA+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用线段垂直平分线的性质以及圆的性质分别分得出即可．
【解答】解：A、如图所示：此时BA＝BP，则无法得出AP＝BP，故不能得出PA+PC＝BC，故此选项错误；
B、如图所示：此时PA＝PC，则无法得出AP＝BP，故不能得出PA+PC＝BC，故此选项错误；
C、如图所示：此时CA＝CP，则无法得出AP＝BP，故不能得出PA+PC＝BC，故此选项错误；
D、如图所示：此时BP＝AP，故能得出PA+PC＝BC，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了复杂作图，根据线段垂直平分线的性质得出是解题关键．
8．（3分）如图，已知AB＝DC，下列条件中，不能使△ABC≌△DCB的是（ ）
A．AC＝DBB．∠A＝∠D＝90°C．∠ABC＝∠DCBD．∠ACB＝∠DBC
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A．AB＝DC，BC＝CB，AC＝DB，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
B．∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，BC＝CB，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
C．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选不项符合题意；
D．AB＝DC，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
9．（3分）如图，把△ABC沿平行于BC的直线DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（ ）
A．40°B．50°C．80°D．100°
【分析】首先利用两直线平行同位角线段得∠ADE＝50°，再利用折叠性质得出∠ADE＝∠EDF，从而求出∠BDF的度数．
【解答】解：∵BC∥DE，∠B＝50°，
∴∠ADE＝50°，
又∵△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，
∴∠ADE＝∠EDF＝50°，
∴∠BDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
故选：C．
【点评】本题考查了折叠问题与平行线的性质，利用折叠的性质，得出∠ADE＝∠EDF是解决问题的关键．
10．（3分）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（ ）
A．20B．30C．50D．100
【分析】根据角平分线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答．
【解答】解：过O作OE⊥AB于点E，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，
∴OE＝OD＝5，
∴△AOB的面积＝，
故选：C．
【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出OE＝OD解答．
二、填空题（每题3分，共24分）
11．（3分）如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳），在图中，要测量工件内槽宽AB，只要测量A′B′的长度即可，该做法的依据是 根据SAS证明△AOB≌△A′OB′ ．
【分析】根据测量两点之间的距离，只要符合全等三角形全等的条件之一SAS，只需要测量易测量的边A′B′上，进而得出答案．
【解答】解：连接AB，A′B′，如图，
∵点O分别是AA′、BB′的中点，
∴OA＝OA′，OB＝OB′，
在△AOB和△A′OB′中，
，
∴△AOB≌△A′OB′（SAS）．
∴A′B′＝AB．
答：需要测量A′B′的长度，即为工件内槽宽AB．
其依据是根据SAS证明△AOB≌△A′OB′；
故答案为：根据SAS证明△AOB≌△A′OB′．
【点评】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等．
12．（3分）如图是李老师去某地旅游拍摄的“山谷中的铁架桥”，铁架桥框架做成了三角形的形状，该设计是利用三角形的 稳定性 ．
【分析】铁架桥框架做成了三角形的形状，故可用三角形的稳定性解释．
【解答】解：铁架桥框架做成了三角形的形状是利用了三角形的稳定性，
故答案为：稳定性．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
13．（3分）等腰三角形的一个角为40°，则它的顶角为 40°或100° ．
【分析】分40°角为底角和顶角两种情况求解即可．
【解答】解：
当40°角为顶角时，则顶角为40°，
当40°角为底角时，则顶角为180°﹣40°﹣40°＝100°，
故答案为：40°或100°．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键．
14．（3分）如图，点 B、D、E、C在一条直线上，若△ABD≌△ACE，BC＝12，BD＝3，则DE的长为 6 ．
【分析】根据全等三角形的性质得出BD＝CE＝3，那么DE＝BC﹣BD﹣CE＝6．
【解答】解：∵△ABD≌△ACE，BD＝3，
∴BD＝CE＝3，
∵BC＝12，
∴DE＝BC﹣BD﹣CE＝12﹣3﹣3＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
15．（3分）双塔寺又名永祚寺，创建于明万历三十六年（公元1608年），现为国家级文物保护单位，由于寺内双塔高耸，故俗称双塔寺，成为太原市的标志性建筑．主塔平面呈八角，其俯视图形状为正八边形（如图所示），则该八边形一个内角的度数为 135° ．
【分析】首先利用外角和求得外角的度数，然后求得每个内角的度数即可．
【解答】解：∵外角和为360°，
∴每个外角为360°÷8＝45°，
∴每个内角的度数为180°﹣45°＝135°，
故答案为：135°．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体及多边形的内角和外角的知识，解题的关键是了解多边形的外角和，难度不大．
16．（3分）如图，△ABC和△ABD中，∠C＝∠D＝90°，要证明△ABC≌△ABD，还需要的条件是 AC＝AD ．（只需填一个即可）
【分析】根据∠C＝∠D＝90°利用HL定理推出两三角形全等即可．
【解答】解：添加的条件是AC＝AD，理由是：
∵∠C＝∠D＝90°，
∴在Rt△ACB和Rt△ADB中
，
∴Rt△ACB≌Rt△ADB（HL）．
故答案为：AD＝AC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意两直角三角形全等的方法有SAS，ASA，AAS，SSS，HL，此题是一道开放性的题目，答案不唯一．
17．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（3，0），C（3，2），如果△ABC与△ABD全等，那么点D的坐标可以是 （3，﹣2）（答案不唯一） （写出一个即可）．
【分析】直接利用全等三角形的性质以及坐标与图形的性质即可得出符合题意的答案．
【解答】解：如图所示：延长CB到D，使BD＝BC，连接AD，
∵△ABC与△ABD全等，
∴BD＝BC，∠ABC＝∠ABD＝90°，
∵C的坐标为（3，2），
∴D的坐标为（3，﹣2），
故答案为：（3，﹣2）（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质以及坐标与图形的性质，正确掌握全等图形的性质是解题关键．
18．（3分）尊老敬老是中华民族的传统美德，某校文艺社团的同学准备在“五一”假期去一所敬老院进行慰问演出，他们一共准备了6个节目，全体演员中有8人需参加两个或两个以上的节目演出，情况如表：
从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出，从节目安排的角度考虑，首尾两个节目分别是A，F，中间节目的顺序可以调换，请写出一种符合条件的节目先后顺序 ECDB （只需按演出顺序填写中间4个节目的字母即可）．
【分析】根据题意，可先确定第二个节目为节目E，继而确定第三个节目和第五个节目的可能性，最后确定了第四个节目，即可得到答案．
【解答】解：由题意得，首尾两个节目分别是A，F，节目A参演演员有1、3、5、6、8，节目F参演演员有5、7，
由于从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出，
故可先确定第二个节目为不含演员1、3、5、6、8的节目，即节目E，
第三个节目为不含2、7的节目，即节目B或C，
第五个节目为不含5、7的节目，即节目B或C，
所以，可确定第四个节目为节目D，
综上，演出顺序为节目AEBDC或AECDBF．
故答案为：ECDB．
【点评】此题考查了统计表，利用信息做出决策或方案，能够正确理解题意是解题的关键．
三、解答题（共8题，共46分.19题4分，20-21题6分，22题5分，23--25题每题6分，26题7分）
19．（4分）点D为△ABC的边BC的延长线上的一点，DF⊥AB于点F，交AC于点E，∠A＝35°，∠D＝40°，求∠ACD的度数．
【分析】根据三角形外角的性质，得∠ACD＝∠B+∠A．欲求∠ACD，需求∠B．由DF⊥AB，得∠AFD＝90°．由∠AFD＝∠B+∠D，得∠B＝∠AFD﹣∠D＝50°．
【解答】解：∵DF⊥AB，
∴∠AFD＝90°．
∵∠AFD＝∠B+∠D，
∴∠B＝∠AFD﹣∠D＝90°﹣40°＝50°．
∴∠ACD＝∠B+∠A＝50°+35°＝85°．
【点评】本题主要考查三角形外角的性质、垂直，熟练掌握三角形外角的性质、垂直的定义是解决本题的关键．
20．（6分）如图，C是线段AB的中点，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BCD．
求证：AD＝BE．
【分析】根据题意得出∠ACD＝∠BCE，AC＝BC，进而得出△ADC≌△BEC即可得出答案．
【解答】证明：∵C是线段AB的中点，
∴AC＝BC，
∵∠ACE＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ADC和△BEC中，
∴△ADC≌△BEC（ASA），
∴AD＝BE．
【点评】本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等边三角形的性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
21．（6分）如图，F，C是AD上的两点，且AB＝DE，AB∥DE，AF＝CD．求证：BC∥EF．
【分析】证△ABC≌△DEF（SAS），即可得出结论．
【解答】证明：∵AF＝CD，
∴AF+CF＝CD+CF，
即AC＝DF，
∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC＝EF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质，证明△ABC≌△DEF是解题的关键．
22．（5分）已知：如图，点B是∠MAN边AM上的一定点（其中∠MAN＜45°），
求作：△ABC，使其满足：①点C在射线AN上，②∠ACB＝2∠A．
下面是小兵设计的尺规作图过程．
作法：
①作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D；
②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C；
③连接BC，则△ABC即为所求三角形．
根据小兵设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD（ 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等 ），（填推理的依据）
∴∠A＝∠ ABD ，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A；
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠BDC （ 等边对等角 ），（填推理的依据）
∴∠ACB＝2∠A．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）利用线段的垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求．
（2）∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等），
∴∠A＝∠ABD，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠BDC （等边对等角），
∴∠ACB＝2∠A．
故答案为：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，∠ABD，等边对等角．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
23．（6分）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．
（1）求证：∠BAE＝∠BCF；
（2）若∠CAE＝25°，求∠ACF的度数．
【分析】（1）由HL证明Rt△ABE≌Rt△CBF，即可解决问题；
（2）由等腰直角三角形的性质得∠BAC＝∠BCA＝45°，再求出∠BAE＝20°，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝90°，
在Rt△ABE与Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
∴∠BAE＝∠BCF；
（2）解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵∠CAE＝25°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝45°﹣25°＝20°，
由（1）可知，∠BAE＝∠BCF，
∴∠BCF＝20°，
∴∠ACF＝∠BCA+∠BCF＝45°+20°＝65°，
即∠ACF的度数为65°．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
24．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l是在第一、三象限内平分两坐标轴夹角的直线．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，0），B（5，3），C（6，1）．
（1）若△ABC与△A'B'C'关于y轴对称，画出△A'B'C'，并写出△A'B'C'三个顶点的坐标；
（2）若△ABC关于直线l对称的三角形为△A″B″C″直接写出点C″的坐标为 （1，6） ．
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征写出A'、B、C'三个点的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点画出点A、B、C关于直线l的对称点，从而得到点C″的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A'B'C'为所作，A′（﹣3，0），B′（﹣5，3），C′（﹣6，1）；
（2）如图，△A″B″C″为所作，点C″的坐标为（1，6）．
故答案为：（1，6）．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．
25．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D为AB的中点，E为CA延长线上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于点F，连接EF．作点B关于直线DF的对称点G，连接DG．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠ADF＝α；
①求∠EDG的度数（用含α的式子表示）；
②请判断以线段AE，BF，EF为边的三角形的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据题意画出图形解答即可；
（2）①根据轴对称的性质解答即可；
②根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质得出AE＝GE，进而解答即可．
【解答】解：（1）补全图形，如图所示：
（2）①∵∠ADF＝α，
∴∠BDF＝180°﹣α，
由轴对称性质可知，∠GDF＝∠BDF＝180°﹣α，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝90°，
∴∠EDG＝∠GDF﹣∠EDF＝180°﹣α﹣90°＝90°﹣α；
②以线段AE，BF，EF为边的三角形是直角三角形，
连接GF，GE，由轴对称性质可知，GF＝BF，∠DGF＝∠B，
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∵GD＝BD，
∴AD＝GD，
∵∠GDE＝∠EDA＝90°﹣α，DE＝DE，
在△GDE与△ADE中，
，
∴△GDE≌△ADE（SAS），
∴∠EGD＝∠EAD，AE＝GE，
∵∠EAD＝90°+∠B，
∴∠EGD＝90°+∠B，
∴∠EGF＝∠EGD﹣∠DGF＝90°+∠B﹣∠B＝90°，
∴以线段GE，GF，EF为边的三角形是直角三角形，
∴以线段AE，BF，EF为边的三角形是直角三角形．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质解答．
26．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（3，0），且平行于y轴．给出如下定义：点P（x，y）先关于y轴对称得点P1，再将点P1关于直线l对称得点P′，则称点P′是点P关于y轴和直线l的二次反射点．
（1）已知A（﹣4，0），B（﹣2，0），C（﹣3，1），则它们关于y轴和直线l的二次反射点A′，B′，C′的坐标分别是 A′（2，0），B′（4，0），C′（3，1） ；
（2）若点D的坐标是（a，0），其中a＜0，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点D′，求线段DD′的长；
（3）已知点E（4，0），点F（6，0），以线段EF为边在x轴上方作正方形EFGH，若点P（a，1），Q（a+1，1）关于y轴和直线l的二次反射点分别为P′，Q′，且线段P′Q′与正方形EFGH的边有公共点，求a的取值范围．
【分析】（1）根据二次反射点的定义直接得出答案；
（2）根据二次反射点的定义得出D′（6+a，0），则可得出答案
（3）根据二次反射点的定义得出P′（6+a，1），Q′（7+a，1），由题意分两种情况列出不等式组，解不等式组可得出答案．
【解答】解：（1）∵A（﹣4，0），
∴点A关于y轴点的对称的坐标为（4，0），
∵（4，0）关于直线l对称得点A′（2，0），
∴点A（﹣4，0）关于y轴和直线l的二次反射点A′（2，0）；
∵B（﹣2，0），
∴点B关于y轴点的对称的坐标为（2，0），
∵（2，0）关于直线l对称得点B′（4，0），
∴点B（﹣2，0）关于y轴和直线l的二次反射点B′（4，0）；
∵C（﹣3，1），
∴点C关于y轴点的对称的坐标为（3，1），
∵（3，1）关于直线l对称得点C′（3，1），
∴点C（﹣3，1）关于y轴和直线l的二次反射点C′（3，1）；
故答案为：A′（2，0），B′（4，0），C′（3，1）；
（2）∵点D的坐标是（a，0），a＜0，
∴点D关于y轴对称的点的坐标为（﹣a，0），
∴（﹣a，0）关于直线l对称得点D′（6+a，0），
∴DD'＝6+a﹣a＝6．
（3）∵点P（a，1），
∴点P（a，1）关于y轴和直线l的二次反射点为P′（6+a，1），
∵Q（a+1，1），
∴Q（a+1，1）关于y轴和直线l的二次反射点为Q′（7+a，1），
当P'Q'与EH有公共点时，
，
∴﹣3≤a≤﹣2，
当P'Q'与FG有公共点时，
，
∴﹣1≤a≤0，
∴﹣3≤a≤﹣2或﹣1≤a≤0，
【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称性质，动点问题，新定义二次反射点的理解和运用；解题关键是对新定义二次反射点的正确理解．
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