2022-2023学年北京市十一学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市十一学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共34页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）已知△ABC，作BC边上的高，下列作图中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）若正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．6B．5C．4D．3
4．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
5．（3分）如图，在△ABC中，CB＝CA，∠B＝65°，AD∥BC，则∠CAD的度（ ）
A．45°B．50°C．65°D．70°
6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4．则AC的长度是（ ）
A．3.5B．3C．2.5D．2
7．（3分）一副三角板按如图所示的位置叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
A．5°B．10°C．15°D．20°
8．（3分）如图，点M是∠AOB平分线上的一点，点P、点Q分别在射线OA、射线OB上，满足OP＝2OQ，若△OMP的面积是2，则△OQM的面积是（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．（3分）下列说法中，正确的是（ ）
A．直角三角形的两个锐角相等
B．六边形的外角和比五边形的外角和大180°
C．轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
D．有一个角是60°的三角形是等边三角形
10．（3分）如图，将长方形ABCD沿EF折叠，B，C分别落在点H，G的位置，CD与HE交于点M．下列说法中，不正确的是（ ）
A．∠MFE＜∠HMFB．ME＝MFC．FG+FM＝EBD．∠GFM＝∠MEA
二、填空题（本题共30分，每小题3分）
11．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，3）关于y轴对称的点的坐标是 ．
12．（3分）如图，在正方形方格中，点A，B，C在格点上，则∠CAB+∠ABC的度数是 ．
13．（3分）若一个等腰三角形的一个角的度数是40°，则它的顶角度数是 ；若一个等腰三角形的两条边长分别是4和9，则它的周长是 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）若AM是BC边上的高，则可以推出BM＝MC．依据是 ．
（2）在问题（1）的基础上，若点N在AM上，则由BM＝MC，AM⊥BC，可以进一步推出NB＝NC．依据是 ．
15．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，下列结论：①AE＝CE；②BE＝DE；③BD⊥AC；④四边形ABCD的面积等于AC×BD．其中正确的有 ．（填序号）
16．（3分）如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，若∠B＝50°，EC＝AB，则∠C的度数是 ．
17．（3分）如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，则∠DAE的度数是 ，∠BOA的度数是 ．
18．（3分）如图，两根旗杆AC和BD垂直于地面AB放置，它们相距AB＝12m．某人从点B出发，沿BA方向走了5m到达点M处．此时，他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角∠CMD＝90°，且CM＝DM，则可以推知旗杆AC的长是 m，旗杆BD的长是 m．
19．（3分）如图，∠AOB＝40°，点P为∠AOB内一点，分别作P点关于直线OA，OB的对称点C，D，连接OP，OC，OD，CD，PC，PD．
则（1）∠CPD的度数是 ；
（2）∠OCD的度数是 ．
20．（3分）如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若点M到直线l1、l2的距离分别是pcm、qcm，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．特别地，当点在直线上时，定义点到直线的距离为0．下列说法：
①“距离坐标”是（0，0）的点只有点O；
②“距离坐标”是（0，1）的点只有1个；
③“距离坐标”是（2，2）的点共有4个；
正确的有 （填序号）．
三、解答题（本题共40分，第21题5分，第22题5分，第23题7分，第24题8分，第25题7分，第26题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
21．（5分）如图，在△ABC中，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BE＝CF．求证：AD平分∠BAC．
请你补全下述证明过程：
证：∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BED＝∠CFD＝90°
在Rt△DBE和Rt△DCF中，，① ，② ，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（ ）
∴DE＝DF．
∵DE＝DF， ，
∴AD平分∠BAC．
22．（5分）尺规作图，保留作图痕迹．
如图，在△ABC中，∠C＝90°，在AB上取一点D，使得AD＝AC，连接CD，作CD的垂直平分线交BC于点E．
（1）补全图形；
（2）∠BAC与∠BCD满足的等量关系是 ．
23．（7分）如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，点E和点F分别在BA和BC边上，且BE＝BF，连接EF并延长交AC的延长线于点G，∠G＝20°，取EF的中点O，连接BO并延长交AC于点D．
（1）求∠BEF的度数；
（2）求∠BDC的度数．
24．（8分）如图，点E为△ABC的外角∠CAD平分线上的一点，AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若点F在线段BC上，满足BF＝AE，连接AF，EC，补全图形，求证：AF＝CE．
25．（7分）如图1，已知等边△ABC，点D在BC边上，∠BAD＝α（0°＜α＜30°），点E是点D关于直线AB的对称点，点F在直线AC上，满足EF＝AD．
（1）求∠AFE的度数；（用含有α的代数式表示）
（2）探究AF，BD，DC满足的等量关系，并证明；
（3）如图2，若点D在CB的延长线上，其余条件不变，直接写出AF，BD，DC满足的等量关系．
26．（8分）在平面直角坐标系xOy中，O（0，0），A（﹣2，﹣3），B（3，﹣1），C（3，3），D（﹣2，1），若点P关于某直线l的对称点落在平行四边形ABCD内（不包含边界），则称点P是平行四边形ABCD的“l•封闭点”．
（1）点P（1，2），若点P是平行四边形ABCD的“l•封闭点”，则l可以是 ．（填序号）
①x轴
②y轴
③一三象限角平分线
④平行四边形ABCD的对称轴
（2）若点Q是平行四边形ABCD的“y轴•封闭点”，求点Q横坐标的取值范围；
（3）点M（0，﹣9），点N是线段OM上的一点，若点N是平行四边形ABCD的“直线y＝﹣2•封闭点”，求点N的纵坐标的取值范围．
2022-2023学年北京市十一学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题均有4个选项，符合题意的选项只有1个
1．（3分）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
【解答】解：B，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）已知△ABC，作BC边上的高，下列作图中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形高的定义，过A点作BC的垂线即可．
【解答】解：作BC边上的高，作图中正确为．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了三角形的角平分线、中线和高．
3．（3分）若正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成120°n，列方程可求解．此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解．
【解答】解：设所求正n边形边数为n，
则120°n＝（n﹣2）•180°，
解得n＝6，
故选：A．
【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算是解答此题的关键．
4．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠1的度数是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【分析】如图，先根据全等三角形的性质得到∠2＝70°，然后根据三角形内角和计算出∠1的度数．
【解答】解：如图，
∵图中的两个三角形全等，
∴∠2＝70°，
∵∠1+∠2+50°＝180°，
∴∠1＝180°﹣70°﹣50°＝60°．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等．
5．（3分）如图，在△ABC中，CB＝CA，∠B＝65°，AD∥BC，则∠CAD的度（ ）
A．45°B．50°C．65°D．70°
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠C的度数，再根据平行线的性质可得∠CAD的度数．
【解答】解：∵CB＝CA，∠B＝65°，
∴∠CAB＝∠B＝65°，
∴∠C＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠C＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4．则AC的长度是（ ）
A．3.5B．3C．2.5D．2
【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC＝AB＝2．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，
∴AC＝AB＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．比较简单．
7．（3分）一副三角板按如图所示的位置叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
A．5°B．10°C．15°D．20°
【分析】由题意可得∠A＝45°，∠2＝60°，利用三角形的外角性质即可求解．
【解答】解：如图，
由题意得：∠A＝45°，∠2＝60°，
∵∠2是△ABC的外角，
∴∠α＝∠2﹣∠A＝15°．
故选：C．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
8．（3分）如图，点M是∠AOB平分线上的一点，点P、点Q分别在射线OA、射线OB上，满足OP＝2OQ，若△OMP的面积是2，则△OQM的面积是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】过点M作ME⊥OP，MF⊥OB，先利用角平分线的性质说明EM与MF的关系，再利用三角形的面积公式求出OP与EM的积，最后再利用三角形的面积公式得结论．
【解答】解：过点M作ME⊥OP，MF⊥OB，垂足分别为E、F．
∵M是∠AOB平分线上的一点，ME⊥OP，MF⊥OB，
∴ME＝MF．
∵S△OMP＝OP×EM＝2，
∴OP×EM＝4．
∵OP＝2OQ，
∴OQ×EM＝2．
∴S△OMQ＝OQ×EF
＝OQ×EM
＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”、三角形的面积公式是解决本题的关键．
9．（3分）下列说法中，正确的是（ ）
A．直角三角形的两个锐角相等
B．六边形的外角和比五边形的外角和大180°
C．轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线
D．有一个角是60°的三角形是等边三角形
【分析】由直角三角形的性质，多边形的概念，轴对称的性质，等边三角形的判定，即可选择．
【解答】解：A、直角三角形的两个锐角互余，不一定相等，故A不符合题意；
B、六边形和五边形的外角和相等是360°，故B不符合题意；
C、轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，正确，故C符合题意；
D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查直角三角形的性质，多边形的概念，轴对称的性质，等边三角形的判定，关键是掌握以上概念和性质．
10．（3分）如图，将长方形ABCD沿EF折叠，B，C分别落在点H，G的位置，CD与HE交于点M．下列说法中，不正确的是（ ）
A．∠MFE＜∠HMFB．ME＝MFC．FG+FM＝EBD．∠GFM＝∠MEA
【分析】根据三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角得∠HMF＞∠MFE，则∠MFE＜∠HMF，可判断A正确；
由CD∥AB，得∠MFE＝∠BEF，由折叠得∠MEF＝∠BEF，则∠MFE＝∠MEF，所以ME＝MF，可判断B正确；
由折叠得FG＝FC，则FG+FM＝MC，如果FG+FM＝EB，那么需要满足的条件∠BEH＝90°，则∠HEF＝∠BEF＝45°，与已知条件不符，可判断C错误；
由FG∥EH，得∠GFM＝∠EMF，由CD∥AB，得∠EMF＝∠MEA，则∠GFM＝∠MEA，可判断D正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵∠HMF是△MEF的外角，
∴∠HMF＞∠MFE，
∴∠MFE＜∠HMF，
故A正确；
∵四边形ABCD是长方形，
∴CD∥AB，
∴∠MFE＝∠BEF，
由折叠得∠MEF＝∠BEF，
∴∠MFE＝∠MEF，
∴ME＝MF，
故B正确；
∵FG＝FC，
∴FG+FM＝MC，
若FG+FM＝EB，则MC＝EB，需要满足的条件是∠BEH＝90°，
∴∠HEF＝∠BEF＝45°，与已知条件不符，
∴FG+FM与EB不一定相等，
故C错误；
∵FG∥EH，
∴∠GFM＝∠EMF，
∵∠EMF＝∠MEA，
∴∠GFM＝∠MEA，
故D正确，
故选：C．
【点评】此题重点考查轴对称的性质、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，根据平行线的性质和轴对称的性质推导出相等的角是解题的关键．
二、填空题（本题共30分，每小题3分）
11．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，3）关于y轴对称的点的坐标是 （1，3） ．
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y），进而得出答案．
【解答】解：根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，
则点A（﹣1，3）关于y轴对称的点的坐标是（1，3）．
故答案为：（1，3）．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
12．（3分）如图，在正方形方格中，点A，B，C在格点上，则∠CAB+∠ABC的度数是 45° ．
【分析】由网格可知AD＝CD且∠ADC＝90°，再根据三角形外角的性质即可求解．
【解答】解：如图，
∵AD＝DC，且∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝45°，
∵∠ACD＝∠∠CAB+∠ABC，
∴∠CAB+∠ABC＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
13．（3分）若一个等腰三角形的一个角的度数是40°，则它的顶角度数是 100°或40° ；若一个等腰三角形的两条边长分别是4和9，则它的周长是 22 ．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可确定顶角的度数；根据等腰三角形的性质和三角形三边关系可确定等腰三角形周长．
【解答】解：∵一个等腰三角形的一个角的度数是40°，
①底角为40°时，顶角的度数为180°﹣40°﹣40°＝100°，
②顶角为40°，
∴顶角的度数是100°或40°；
一个等腰三角形的两条边长分别是4和9，
∵4+4＜9，
∴4是底边，9是腰，
∴等腰三角形的周长为4+9+9＝22，
故答案为：100°或40°，22．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形三边关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）若AM是BC边上的高，则可以推出BM＝MC．依据是 等腰三角形三线合一 ．
（2）在问题（1）的基础上，若点N在AM上，则由BM＝MC，AM⊥BC，可以进一步推出NB＝NC．依据是 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 ．
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一填空即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质判定即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AM是BC边上的高，
∴BM＝MC（等腰三角形三线合一），
故答案为：等腰三角形三线合一；
（2）∵BM＝MC，AM⊥BC，
∴AM垂直平分BC，
∵点N在AM上，
∴NB＝NC（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
15．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，下列结论：①AE＝CE；②BE＝DE；③BD⊥AC；④四边形ABCD的面积等于AC×BD．其中正确的有 ①③④ ．（填序号）
【分析】先证明△ABD≌△DBD，得∠ADB＝∠CDB，根据等腰三角形的“三线合一”得AE＝CE，BD⊥AC，可判断①正确、③正确；
若BE＝DE，则AC垂直平分BD，得AD＝AB，与已知条件不符，可知BE与DE不一定相等，可判断②错误；
由S四边形ABCD＝S△ABD+S△CBD，可求得S四边形ABCD＝AE•BD+CE•BD＝AC•BD，可判断④正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：在△ABD和△DBD中，
，
∴△ABD≌△DBD（SSS），
∴∠ADB＝∠CDB，
∴AE＝CE，BD⊥AC，
故①正确、③正确；
若BE＝DE，则AC垂直平分BD，
∴AD＝AB，与已知条件不符，
∴BE与DE不一定相等，
故②错误；
∵S△ABD＝AE•BD，S△CBD＝CE•BD，
∴S△ABD+S△CBD＝AE•BD+CE•BD＝AC•BD，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△CBD＝AC•BD，
故④正确，
故答案为：①③④．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰直角形的性质等知识，证明△ABD≌△DBD是解题的关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，若∠B＝50°，EC＝AB，则∠C的度数是 25° ．
【分析】连接AE，根据线段垂直平分线的性质，求得∠BED，进一步求得∠AED，根据平角的定义可求∠AEC，再根据等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：连接AE，
∵△ABC中，DE垂直平分AC，
∴AE＝CE，
∴∠EAC＝∠C，
∵EC＝AB，
∴AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B＝50°，
∵∠AEB＝∠C+∠CAE＝2∠C，
∴∠C＝AEB＝25°．
故答案为：25°．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，求得∠BED的度数是解题的关键．
17．（3分）如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，则∠DAE的度数是 5° ，∠BOA的度数是 125° ．
【分析】因为AD是高，所以∠ADC＝90°，又因为∠C＝70°，所以∠DAC度数可求，因为AE是角平分线，∠BAC＝50°，所以∠CAE＝25°，进而可求∠DAE的度数；因为∠BAC＝50°，∠C＝70°，所以∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，BF是∠ABC的角平分线，则∠ABO＝30°，故∠BOA的度数可求．
【解答】解：如图：
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝70°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；
∵AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，
∴∠CAE＝∠BAO＝25°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠DAC＝25°﹣20°＝5°；
∵∠C＝70°，∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABO＝30°，
∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°．
故答案为：5°，125°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义．解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理、角平分线的定义．
18．（3分）如图，两根旗杆AC和BD垂直于地面AB放置，它们相距AB＝12m．某人从点B出发，沿BA方向走了5m到达点M处．此时，他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角∠CMD＝90°，且CM＝DM，则可以推知旗杆AC的长是 5 m，旗杆BD的长是 7 m．
【分析】根据已知条件易证△CAM≌△MBD（AAS），根据全等三角形的性质可得AC＝BM，BD＝AM，进一步求解即可．
【解答】解：∵两根旗杆AC和BD垂直于地面AB放置，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴∠C+∠CMA＝90°，
∵∠CMD＝90°，
∴∠CMA+∠DMB＝90°，
∴∠C＝∠DMB，
在△CAM和△MBD中，
，
∴△CAM≌△MBD（AAS），
∴AC＝BM，BD＝AM，
∵BM＝5m，AB＝12m，
∴AC＝5m，BD＝AM＝12﹣5＝7（m），
故答案为：5，7．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
19．（3分）如图，∠AOB＝40°，点P为∠AOB内一点，分别作P点关于直线OA，OB的对称点C，D，连接OP，OC，OD，CD，PC，PD．
则（1）∠CPD的度数是 140° ；
（2）∠OCD的度数是 50° ．
【分析】（1）先根据轴对称的性质得出OA是线段PC的垂直平分线，故可得出OP＝OC，∠COA＝∠POA＝∠COP，∠OCP＝∠OPC，同理可知∠POB＝∠DOB，∠OPD＝∠ODP，进而可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点P，C关于直线OA对称，
∴OP＝OC，∠COA＝∠POA＝∠COP，
∴∠OCP＝∠OPC＝＝；
同理可知∠POB＝∠DOB＝∠POD，
∴∠OPD＝∠ODP＝＝，
∵∠AOB＝40°，
∴∠COP+∠POD＝2∠AOB＝80°，
∴∠CPD＝∠OPC+∠OPD＝+＝＝＝140°．
故答案为：140°．
（2）∵点P，C关于直线OA对称，点P，D关于直线OB对称，
∴OP＝OC，OP＝OD，
∴OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC．
由（1）知，∠COD＝∠COP+∠POD＝2∠AOB＝80°，
∴∠OCD＝＝＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题考查的是轴对称的性质，熟知等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°是解题关键．
20．（3分）如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若点M到直线l1、l2的距离分别是pcm、qcm，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．特别地，当点在直线上时，定义点到直线的距离为0．下列说法：
①“距离坐标”是（0，0）的点只有点O；
②“距离坐标”是（0，1）的点只有1个；
③“距离坐标”是（2，2）的点共有4个；
正确的有 ①③ （填序号）．
【分析】根据（p，q）是点M的“距离坐标”，得出①若pq≠0，则“距离坐标”为（p、q）的点有且仅有4个．②若pq＝0，且p+q≠0，则“距离坐标”为（p、q）的点有且仅有2个，进而得出解集从而确定答案．
【解答】解：如上图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，
若p、q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负数实数对（p、q）是点M的“距离坐标”．
已知常数p≥0，q≥0，给出下列两个个结论：
（1）若pq≠0，则“距离坐标”为（p、q）的点有且仅有4个．
（2）若pq＝0，且p+q≠0；
①p＝0，q＝0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；故①“距离坐标”是（0，0）的点只有点O是正确的；
②p＝0，q＝1，则“距离坐标”为（0，1）的点有且仅有2个；故②“距离坐标”是（0，1）的点有1个是错误的；
③得出（2，2）是与l1距离是2的点是与之平行的两条直线，与l2的距离是2的也是与之平行的两条直线，这四条直线共有4个交点．所以③是正确的．
正确的有：①③．
故答案为：①③．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，有分类讨论的思想方法，又有创新意识，解题时需要注意．这是一个好题，注意变形去掉p≥0，q≥0又该怎样解是解决问题的关键．
三、解答题（本题共40分，第21题5分，第22题5分，第23题7分，第24题8分，第25题7分，第26题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
21．（5分）如图，在△ABC中，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BE＝CF．求证：AD平分∠BAC．
请你补全下述证明过程：
证：∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BED＝∠CFD＝90°
在Rt△DBE和Rt△DCF中，，① BE ，② CF ，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（ HL ）
∴DE＝DF．
∵DE＝DF， DE⊥AB ， DF⊥AC
∴AD平分∠BAC．
【分析】由DE⊥AB，DF⊥AC，得∠BED＝∠CFD＝90°即可根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△DBE≌Rt△DCF，得DE＝DF，再根据“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”证明AD平分∠BAC，于是得到问题的答案．
【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BED＝∠CFD＝90°
在Rt△DBE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝DF，
∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC．
故答案为：BE，CF，HL，DE⊥AB，DF⊥AC．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上等知识，证明Rt△DBE≌Rt△DCF是解题的关键．
22．（5分）尺规作图，保留作图痕迹．
如图，在△ABC中，∠C＝90°，在AB上取一点D，使得AD＝AC，连接CD，作CD的垂直平分线交BC于点E．
（1）补全图形；
（2）∠BAC与∠BCD满足的等量关系是 ∠BAC＝2∠BCD ．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法即可补全图形；
（2）根据等腰三角形的性质和垂直平分线的性质可得∠DAE＝∠CAE，DE＝EC，所以∠ECD＝∠EDC，然后利用直角三角形两个锐角互余即可解决问题．
【解答】解：（1）如图所示，即为补全的图形；
（2）∠BAC＝2∠BCD，理由如下：
∵AD＝AC，AE垂直平分CD，
∴∠DAE＝∠CAE，DE＝EC，
∴∠ECD＝∠EDC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠DCE＝90°，
∵∠EAC+∠DCA＝90°，
∴∠DCE＝∠EAC，
∴∠DCE＝∠EAC＝∠DAE，
∴∠BAC＝2∠BCD．
故答案为：∠BAC＝2∠BCD．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．
23．（7分）如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，点E和点F分别在BA和BC边上，且BE＝BF，连接EF并延长交AC的延长线于点G，∠G＝20°，取EF的中点O，连接BO并延长交AC于点D．
（1）求∠BEF的度数；
（2）求∠BDC的度数．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，解答即可；
（2）根据三角形的内角和定理解答即可．
【解答】解：（1）∵BE＝BF，
∴∠BEF＝∠BFE，
∵∠ABC＝50°，
∴，
即∠BEF的度数为65°；
（2）∵EF的中点为O，
∴OE＝OF，即BO是△BEF的中线，
又∵BE＝BF，
∴BO⊥EF，
∴∠DOG＝90°，
又∵∠G＝20°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DOG﹣∠G＝180°﹣90°﹣20°＝70°，
即∠BDC的度数为70°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
24．（8分）如图，点E为△ABC的外角∠CAD平分线上的一点，AE∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若点F在线段BC上，满足BF＝AE，连接AF，EC，补全图形，求证：AF＝CE．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，再根据等角对等边可得结论；
（2）利用“SAS”证明△ABF≌△CAE，根据全等三角形的性质可得结论．
【解答】（1）证明：∵AE∥BC，
∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，
∵E为△ABC的外角平分线上的一点，
∴∠DAE＝∠EAC，
∴∠B＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）证明：补全图形如图所示，
在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS），
∴AF＝CE．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
25．（7分）如图1，已知等边△ABC，点D在BC边上，∠BAD＝α（0°＜α＜30°），点E是点D关于直线AB的对称点，点F在直线AC上，满足EF＝AD．
（1）求∠AFE的度数；（用含有α的代数式表示）
（2）探究AF，BD，DC满足的等量关系，并证明；
（3）如图2，若点D在CB的延长线上，其余条件不变，直接写出AF，BD，DC满足的等量关系．
【分析】（1）由其关系易得△AEF是等腰三角形，根据对称关系，可得∠EAB＝∠DHB＝α，根据等腰三角形的性质，可得∠AFE的度数；
（2）AF+BD＝DC，作EH平分∠AEF交AC于点C，作AG平分∠BAC交BC于点G，证明△EHF≌△AGD，根据其关系，即可证明；
（3）BD+DC＝AF，连接AE，BE，易得△AEF是等腰三角形，作EG∠AEF，证明△ADH≌△EFG，根据其关系，即可证明．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵点E是点D关于直线AB的对称点，∠BAD＝α，
∴∠BAE＝∠BAD＝α，AE＝AD，
∴∠FAE＝60°+α，
∵EF＝AD，
∴EF＝AE，
∴∠AFE＝∠FAE＝60°+α，
∴∠AFE的度数为60°+α；
（2）AF+BD＝DC，证明如下：
如图1，作EH平分∠AEF交AC于点C，作AG平分∠BAC交BC于点G，
∵EF＝AE，EH平分∠AEF，
∴EH⊥AF，HF＝AF，
∴∠FHE＝90°，
∵△ABC是等边三角形，AG平分∠BAC，
∴AG⊥BC，
∴∠DGA＝90°，BG＝BC，
∴∠FHE＝∠DGA，
∵∠GDA＝∠ABD+∠ABD＝60°+α，∠HFE＝60°+α，
∴∠GDA＝∠HFE，
在△FEH和△DAG中，
，
∴△FEH≌△DAG（AAS），
∴HF＝DG，
∵BG＝BD+DG，
∴BD+AF＝BC，
∴2BD+AF＝BC，
∴BD+AF＝BC﹣BD，
∵BC﹣BD＝DC，
∴BD+AF＝DC；
（3）AF＝BD+DC，证明如下：
如图2，连接AE，BE，作AH平分∠BAC交BC于点H，作EG平分∠AEF交AF于点G，
∵点E是点D关于直线AB的对称点，
∴△ABD≌ABE，
∴AD＝AE，∠BAD＝∠BAE＝α，
∵EF＝AD，
∴AE＝EF，
∵△ABC是等边三角形，AH平分∠BAC，
∴∠BAH＝30°，∠DHA＝90°，BH＝BC，
∴∠DAH＝∠BAH+∠BAD＝30°+α，
∵∠BAE＝α，∠BAC＝60°，
∴∠EAG＝60°﹣α，
∵AE＝EF，
∴∠EAG＝∠EFG＝60°﹣α，
∴∠AEF＝180°﹣（∠EAG+∠EFG）＝180°﹣2（60°﹣α）＝60°+2α，
∵EG平分∠AEF，
∴∠FEG＝∠AEF＝（60°+2α）＝30°+α，∠EGF＝90°，GF＝AF，
∴∠DAH＝∠FEG＝30°+α，∠DHA＝∠EGF，
在△ADH和△EFG中，
，
∴△ADH≌△EFG（AAS），
∴DH＝GF，
∵DH＝BD+BH＝BD+BC，GF＝AF，
∴BD+BC＝AF，
∴2BD+BC＝AF，
∴BD+（BD+BC）＝AF，
∵BD+BC＝DC，
∴BD+DC＝AF．
【点评】本题考查了图形的变换、等腰三角形的性质等，通过构造全等三角形利用等量代换证明其数量关系是解本题的关键，综合性较强，难度较大．
26．（8分）在平面直角坐标系xOy中，O（0，0），A（﹣2，﹣3），B（3，﹣1），C（3，3），D（﹣2，1），若点P关于某直线l的对称点落在平行四边形ABCD内（不包含边界），则称点P是平行四边形ABCD的“l•封闭点”．
（1）点P（1，2），若点P是平行四边形ABCD的“l•封闭点”，则l可以是 ③ ．（填序号）
①x轴
②y轴
③一三象限角平分线
④平行四边形ABCD的对称轴
（2）若点Q是平行四边形ABCD的“y轴•封闭点”，求点Q横坐标的取值范围；
（3）点M（0，﹣9），点N是线段OM上的一点，若点N是平行四边形ABCD的“直线y＝﹣2•封闭点”，求点N的纵坐标的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法分别求出直线AB、CD的解析式，根据“l•封闭点”的定义即可得出答案；
（2）分点Q在y轴左侧，点Q在y轴右侧两种情况，即可得点Q横坐标的取值范围；
（3）求出AB、CD与y轴的交点坐标，设点N（0，n），根据点N是平行四边形ABCD的“直线y＝﹣2•封闭点”，即可得点N的纵坐标的取值范围．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（﹣2，﹣3），B（3，﹣1），
∴，解得，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣，
同理得直线CD的解析式为y＝x+，
①∵点P（1，2），
∴P关于x轴的对称点为（1，﹣2），
当x＝1时，y＝x﹣＝﹣＞﹣2，
∴点P关于x轴的对称点为（1，﹣2）不在平行四边形ABCD内，
∴点P不是平行四边形ABCD的“l•封闭点”；
②∵点P（1，2），
∴P关于y轴的对称点为（﹣1，2），
当x＝﹣1时，y＝x+＝＜2，
∴点P关于y轴的对称点为（﹣1，2）不在平行四边形ABCD内，
∴点P不是平行四边形ABCD的“l•封闭点”；
③如图，点P关于一三象限角平分线的对称点为P′，
过点P作PE⊥y轴于E，过点P′作P′F⊥x轴于F，
∴∠OEP＝∠OFP′＝90°，
∴∠EOH＝∠FOH＝45°，OP＝OP′，OH⊥PP′，
∴∠POH＝∠P′OH，
∴∠POE＝∠P′OF，
∴△POE≌△P′OF（AAS），
∴OF＝OE＝2，P′F＝PE＝1，
∴点P关于一三象限角平分线的对称点为P′（2，1），
当x＝2时，y＝x+＝＞1，y＝x﹣＝﹣＜1，
∴点P关于一三象限角平分线的对称点为P′（2，1）在平行四边形ABCD内，
∴点P是平行四边形ABCD的“l•封闭点”；
④∵平行四边形ABCD不是轴对称图形，
∴不存在平行四边形ABCD的对称轴．
故答案为：③；
（2）∵A（﹣2，﹣3），B（3，﹣1），C（3，3），D（﹣2，1），
∴当点Q在y轴左侧时，若点Q是平行四边形ABCD的“y轴•封闭点”，点Q横坐标的取值范围为﹣3＜x≤0；
当点Q在y轴右侧时，若点Q是平行四边形ABCD的“y轴•封闭点”，点Q横坐标的取值范围为0≤x＜2；
综上所述，点Q横坐标的取值范围为﹣3＜x＜2；
（3）∵直线AB的解析式为y＝x﹣，直线CD的解析式为y＝x+，
∴AB与y轴的交点坐标为（0，﹣），CD与y轴的交点坐标为（0，），
设点N（0，n），
∵点N是平行四边形ABCD的“直线y＝﹣2•封闭点”，
∴，
∴﹣＜n＜﹣，
即点N的纵坐标的取值范围为﹣＜n＜﹣．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了轴对称的性质，待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，运用分类思想找到临界状态是解题的关键．
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