2022-2023学年北京市石景山区京源学校九年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市石景山区京源学校九年级（上）期中数学试卷【含解析】，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）二次函数y＝﹣3x2的图象开口方向是（ ）
A．向上B．向下C．向左D．向右
2．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）二次函数y＝2（x﹣1）2﹣2的图象是由二次函数y＝2x2的图象平移得到的，下列平移方法正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
4．（2分）在Rt△ABC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，AD＝3，BD＝2，则CD的长为（ ）
A．2B．3C．D．
5．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，F为BC的中点，延长AD至点E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC于点G，则S△CFG：S△DEG等于（ ）
A．9：4B．2：3C．4：9D．3：2
6．（2分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列四个选项正确的是（ ）
A．b＞0，c＜0，Δ＞0B．b＜0，c＜0，Δ＞0
C．b＞0，c＞0，Δ＞0D．b＜0，c＞0，Δ＜0
7．（2分）如图，在△ABC中，AM：MD＝3，BD：DC＝2：3，则AE：EC＝（ ）
A．8：5B．5：4C．6：5D．7：4
8．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：
①ac＜0；
②a﹣b+c＞0；
③m+9a＝0
④若此抛物线经过点C（t，n），则4﹣t一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③④C．③④D．①④
二、填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为（0，3）．此二次函数的解析式可以是 ．
10．（2分）如图，△ABD∽△ECD，∠ABD＝30°，则∠ECD的度数为 ．
11．（2分）如图，身高1.6米的小林从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为 米．
12．（2分）若点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（﹣4，y3）在抛物线y＝2（x+1）2上，请将y1，y2，y3按从小到大的顺序用“＜”连接 ．
13．（2分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在抛物线y＝x2﹣4x+6上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作正方形ABCD．则正方形的边长AB的最小值是 ．
14．（2分）已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣1，4），B（4，2）．如图所示，则能使y1＞y2成立的x的取值范围 ．
15．（2分）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 ．
16．（2分）若关于x的一元二次方程﹣x2+4x﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是 ．
三、解答题（共10小题，满分68分，17题8分，19、22每小题8分，18、20-21、23-25每小题8分，26题6分.）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17．（8分）解下列方程．
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）x2+3x﹣4＝0．
18．（7分）如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B＝∠ACD＝90°，AC平分∠BAD．
（1）证明：△ABC∽△ACD；
（2）若AB＝4，AC＝5，求BC和CD的长．
19．（6分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）画出它的图象；
（2）该二次函数图象的对称轴为 ，顶点坐标为 ；
（3）当x 时，y的值随x值的增大而减小；
（4）当y＞0时，x的取值范围是 ；
（5）当0≤x≤4时，y的取值范围是 ．
20．（7分）已知：如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，AD∥BC，BC＝2AD，∠BAC＝90°，过点A作AE∥DC交BC于点E．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若AB＝AE＝2，求四边形AECD的面积．
21．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（a+2）x+a+1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是正整数，求a的最小值．
22．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣1，0），（0，2）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．
23．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与直线y＝﹣x﹣1交于点A（﹣1，0），B（m，﹣3），点P是线段AB上的动点．
（1）①m＝ ；
②求抛物线的解析式．
（2）过点P作直线l垂直于x轴，交抛物线y＝ax2+bx﹣3于点Q，求线段PQ的长最大时，点P的坐标．
24．（7分）在平面直角坐标系xOy中，A（m﹣1，y1），B（3，y2）是抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣4上两点．
（1）将y＝x2﹣2mx+m2﹣4写成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）若m＝1，比较y1，y2的大小，并说明理由；
（3）若y1＜y2，直接写出m的取值范围．
25．（7分）在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，过点B作BC的垂线l．点P为直线AB上的一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转90°交直线l于点D．
（1）如图1，点P在线段AB上，依题意补全图形．
①求证：∠BDP＝∠PCB；
②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数量关系，并证明．
（2）点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．
26．（6分）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2．
（1）函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤2）中是有上界函数的为 （只填序号即可），其上确界为 ；
（2）如果函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的上确界是b，且这个函数的最小值不超过2a+1，求a的取值范围；
（3）如果函数y＝x2﹣2ax+2（1≤x≤5）是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值．
2022-2023学年北京市石景山区京源学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）二次函数y＝﹣3x2的图象开口方向是（ ）
A．向上B．向下C．向左D．向右
【分析】根据二次项系数确定开口方向．
【解答】解：y＝﹣3x2，
∵a＝﹣3＜0，
∴抛物线图象开口向下，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质即可解决问题．
2．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，则等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用平行线分线段成比例定理求解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
3．（2分）二次函数y＝2（x﹣1）2﹣2的图象是由二次函数y＝2x2的图象平移得到的，下列平移方法正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
【分析】根据平移前后两个抛物线的顶点坐标的变化来判定平移方法．
【解答】解：抛物线y＝2x2的顶点坐标是（0，0）．
抛物线y＝2（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（1，﹣2）．
则由二次函数y＝2x2的图象向右平移1个单位，向选平移2个单位即可得到二次函数y＝2（x﹣1）2﹣2的图象．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．解决本题的关键是根据顶点式得到新抛物线的顶点坐标．
4．（2分）在Rt△ABC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，AD＝3，BD＝2，则CD的长为（ ）
A．2B．3C．D．
【分析】先利用平角定义可得∠ADC＝∠ADB＝90°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B+∠BAD＝90°，∠B+∠C＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠C＝∠BAD，从而可得△DAC∽△DBA，最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠ADC＝90°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠C＝∠BAD，
∵∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴△DAC∽△DBA，
∴＝，
∴AD2＝BD•CD，
∵AD＝3，BD＝2，
∴32＝2CD，
∴CD＝，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握射影定理是解题的关键．
5．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，F为BC的中点，延长AD至点E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC于点G，则S△CFG：S△DEG等于（ ）
A．9：4B．2：3C．4：9D．3：2
【分析】利用平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，再根据线段中点的定义可得CF＝BC＝AD，然后证明8字模型相似三角形△EDG∽△FCG，利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵F为BC的中点，
∴CF＝BC，
∴CF＝AD，
∵AE∥CF，
∴∠E＝∠GFC，∠EDG＝∠C，
∴△EDG∽△FCG，
∵DE：AD＝1：3，
∴DE＝AD，
∴S△CFG：S△DEG＝（）2＝（）2＝（）2＝，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．
6．（2分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列四个选项正确的是（ ）
A．b＞0，c＜0，Δ＞0B．b＜0，c＜0，Δ＞0
C．b＞0，c＞0，Δ＞0D．b＜0，c＞0，Δ＜0
【分析】利用抛物线的开口方向先确定a的符合，再利用对称轴的位置确定b的符合，接着利用抛物线与y轴的交点位置确定c的符合，然后根据抛物线与x轴个数确定△的符合，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴a、b异号，即b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＞0．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
7．（2分）如图，在△ABC中，AM：MD＝3，BD：DC＝2：3，则AE：EC＝（ ）
A．8：5B．5：4C．6：5D．7：4
【分析】过点D作DG∥AC交BE于点G，用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案．
【解答】解：如图，过点D作DG∥AC交BE于点G．
∵AM：MD＝3，BD：DC＝2：3，
∴，，
∵DG∥AC，
∴，，
∴CE＝DG，AE＝3DG，
∴＝．
故选：C．
【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．准确作出辅助线是解题的关键．
8．（2分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：
①ac＜0；
②a﹣b+c＞0；
③m+9a＝0
④若此抛物线经过点C（t，n），则4﹣t一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③④C．③④D．①④
【分析】由抛物线开口和抛物线与y轴交点判断①，由抛物线的对称性及经过点（5，0）可判断②，由抛物线对称轴为直线x＝2可得b＝﹣4a，由a﹣b+c＝0可得c＝﹣5a，从而判断③，点C对称点横坐标为4﹣t可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴ac＜0，①正确．
∵抛物线顶点为A（2，m），
∴抛物线对称轴为直线x＝2，
∵抛物线过点（5，0），
∴由对称性可得抛物线经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，②错误，
∵﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∴5a+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∵（2，m）为抛物线顶点，
∴4a+2b+c＝m，
∴4a﹣8a﹣5a＝m，即9a+m＝0，③正确，
∵抛物线经过点C（t，n），
∴点C关于对称轴对称点（4﹣t，n）在抛物线上，
∴4﹣t为ax2+bx+c＝n的一个根，④正确．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质、二次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为（0，3）．此二次函数的解析式可以是 y＝﹣x2+3（答案不唯一） ．
【分析】根据二次函数的性质可得出a＜0，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出c＝3，取a＝﹣1，b＝0即可得出结论．
【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c．
∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），
∴c＝3．
取a＝﹣1，b＝0时，二次函数的解析式为y＝﹣x2+3．
故答案为：y＝﹣x2+3（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出a＜0，c＝3是解题的关键．
10．（2分）如图，△ABD∽△ECD，∠ABD＝30°，则∠ECD的度数为 30° ．
【分析】根据相似三角形的对应角相等得到答案即可．
【解答】解：∵△ABD∽△ECD，∠ABD＝30°，
∴∠ECD＝∠ABD＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，了解相似三角形的对应角相等是解答本题的关键，难度不大．
11．（2分）如图，身高1.6米的小林从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为 8 米．
【分析】根据CD∥AB，得出△ECD∽△EBA，进而得出比例式求出即可．
【解答】解：由题意知，CE＝2米，CD＝1.6米，BC＝8米，CD∥AB，
则BE＝BC+CE＝10米，
∵CD∥AB，
∴△ECD∽△EBA
∴，即，
解得AB＝8（米），
即路灯的高AB为8米；
故答案为：8米．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△ECD∽△EBA是解决问题的关键．
12．（2分）若点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（﹣4，y3）在抛物线y＝2（x+1）2上，请将y1，y2，y3按从小到大的顺序用“＜”连接 y1＜y2＜y3 ．
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝2（x+1）2的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【解答】解：∵抛物线y＝2（x+1）2的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
而C（﹣4，y3）离直线x＝﹣1的距离最远，A（﹣2，y1）点离直线x＝﹣1最近，
∴y1＜y2＜y3．
故答案为：y1＜y2＜y3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
13．（2分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在抛物线y＝x2﹣4x+6上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作正方形ABCD．则正方形的边长AB的最小值是 ．
【分析】根据正方形的性质得到AB＝AC，再将抛物线解析式整理成顶点式形式，当正方形的边长AB的最小时，即AC的值最小．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AC，
∵y＝x2﹣4x+6
＝（x﹣2）2+2，
∴当x＝2时，AC有最小值2，
即正方形的边长AB的最小值是．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，将抛物线解析式整理成顶点式形式求解更简便．
14．（2分）已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣1，4），B（4，2）．如图所示，则能使y1＞y2成立的x的取值范围 x＜﹣1或x＞4 ．
【分析】根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象上方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：∵两函数图象的交点坐标为A（﹣1，4），B（4，2），
∴使y1＞y2成立的x的取值范围是x＜﹣1或x＞4．
故答案为：x＜﹣1或x＞4．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解更加简便．
15．（2分）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 或2 ．
【分析】由于折叠前后的图形不变，要考虑△B′FC与△ABC相似时的对应情况，分两种情况讨论．
【解答】解：根据△B′FC与△ABC相似时的对应关系，有两种情况：
①△B′FC∽△ABC时，＝，
又∵AB＝AC＝3，BC＝4，B′F＝BF，
∴＝，
解得BF＝；
②△B′CF∽△BCA时，＝，
AB＝AC＝3，BC＝4，B′F＝CF，BF＝B′F，
而BF+FC＝4，即2BF＝4，
解得BF＝2．
故BF的长度是或2．
故答案为：或2．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解：
（1）相似三角形周长的比等于相似比；
（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
16．（2分）若关于x的一元二次方程﹣x2+4x﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是 ﹣5＜t≤4 ．
【分析】先根据根的判别式得到t≤4，再利用二次函数的性质当x＝5，52﹣20+t＞0时，方程在1＜x＜5的范围内有解，即t＞﹣5，从而得到t的范围．
【解答】解：方程变形为x2﹣4x+t＝0，
根据题意得Δ＝42﹣4×1×t≥0，
解得t≤4，
当x＝5，52﹣20+t＞0时，方程在1＜x＜5的范围内有解，即t＞﹣5，
所以t的取值范围为﹣5＜t≤4．
故答案为：﹣5＜t≤4．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
三、解答题（共10小题，满分68分，17题8分，19、22每小题8分，18、20-21、23-25每小题8分，26题6分.）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17．（8分）解下列方程．
（1）x2﹣2x﹣1＝0；
（2）x2+3x﹣4＝0．
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣1）2＝2，然后利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法把方程转化为x+4＝0或x﹣1＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x+1＝2，
（x﹣1）2＝2，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）x2+3x﹣4＝0，
（x+4）（x﹣1）＝0，
x+4＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣4，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
18．（7分）如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B＝∠ACD＝90°，AC平分∠BAD．
（1）证明：△ABC∽△ACD；
（2）若AB＝4，AC＝5，求BC和CD的长．
【分析】（1）由角平分线定义得∠BAC＝∠CAD，再由∠B＝∠ACD＝90°，即可得出结论；
（2）先由勾股定理求出BC＝3，再由相似三角形的性质求出CD即可．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD，
又∵∠B＝∠ACD＝90°，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：∵∠B＝90°，AB＝4，AC＝5，
∴BC＝＝＝3，
由（1）得：△ABC∽△ACD，
∴＝，
即＝，
解得：CD＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．
19．（6分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）画出它的图象；
（2）该二次函数图象的对称轴为 x＝1 ，顶点坐标为 （1，﹣4） ；
（3）当x ＜1 时，y的值随x值的增大而减小；
（4）当y＞0时，x的取值范围是 x＞3或x＜﹣1 ；
（5）当0≤x≤4时，y的取值范围是 ﹣4≤y≤5 ．
【分析】（1）根据函数解析式求出抛物线的对称轴，顶点坐标，抛物线与坐标轴的交点，然后根据函数的性质用五点法作出函数图象；
（2）根据函数图象即可得出结论；
（3）根据函数图象即可得出结论；
（4）根据函数图象即可得出结论；
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣4）；
令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝﹣1或3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0）；
令x＝0，则y＝﹣3，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3），
图象如图所示：
（2）二次函数图象的对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
故答案为：x＝1，（1，﹣4）；
（3）由图象得，当x＜1时，y的值随x值的增大而减小，
故答案为：＜1；
（3）当y＞0时，x的取值范围是x＞3或x＜﹣1，
故答案为：x＞3或x＜﹣1；
（4）当x＝0时，y＝﹣3；当x＝4时，y＝5，
∴当0≤x≤4时，y的取值范围是﹣4≤y≤5，
故答案为：﹣4≤y≤5．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数的性质．
20．（7分）已知：如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，AD∥BC，BC＝2AD，∠BAC＝90°，过点A作AE∥DC交BC于点E．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若AB＝AE＝2，求四边形AECD的面积．
【分析】（1）先证明四边形AECD为平行四边形，再由直角三角形的性质求得AE＝EC，进而由菱形的判定定理得结论；
（2）连接DE，证明△ABE是等边三角形，进而求得AC，再证明四边形ABED是平行四边形，便可求得DE，最后根据菱形的面积公式得结果．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AD＝EC，
∵BC＝2AD，
∴BC＝2EC．
∴E为BC的中点
∵∠BAC＝90°，
∴BC＝2AE
∴AE＝EC，
∵四边形AECD为平行四边形，
∴四边形AECD为菱形；
（2）解：连接DE，
∵AB＝AE＝2，AE＝BE，
∴AB＝AE＝BE＝2，
∴△ABE是等边三角形．
∴∠B＝60°．
∵AD＝BE，AD∥BC，
∴四边形ABED为平行四边形．
∴DE＝AB＝2，
∵∠B＝60°，∠BAC＝90°，AB＝2，
∴BC＝4．
∴．
∴SAECD＝＝2．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，平行四边形的判定与性质，关键是熟悉这些性质和定理．
21．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（a+2）x+a+1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是正整数，求a的最小值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝a2，由偶次方的非负性可得出a2≥0，即Δ≥0，进而可证出方程总有两个实数根；
（2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出x1＝1，x2＝a+1，结合方程的两个实数根都是正整数，即可得出a的取值范围，取其中的最小整数即可得出结论．
【解答】（1）证明：依题意，得Δ＝[﹣（a+2）]2﹣4（a+1）
＝a2+4a+4﹣4a﹣4
＝a2．
∵a2≥0，
∴△≥0．
∴方程总有两个实数根．
（2）解：解方程x2﹣（a+2）x+a+1＝0，
得x1＝1，x2＝a+1，
∵方程的两个实数根都是正整数，
∴a+1≥1．
∴a≥0．
∴a的最小值为0．
【点评】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解法，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键．
22．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣1，0），（0，2）．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）待定系数法求解析式；
（2）当x＝﹣2时，求出y＝2x+2的值，然后根据题意，得不等式，即可求出m的取值范围．
【解答】解：（1）将点（﹣1，0），（0，2）代入一次函数y＝kx+b，
得，
解得，
∴一次函数解析式：y＝2x+2；
（2）当x＝﹣2时，y＝2x+2＝﹣2，
根据题意，可知当x＝﹣2时，﹣2m≤﹣2，
解得m≥1，
∴m的取值范围是1≤m≤2．
【点评】本题考查了一次函数解析式与图象，熟练掌握待定系数法与函数图象是解题的关键．
23．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与直线y＝﹣x﹣1交于点A（﹣1，0），B（m，﹣3），点P是线段AB上的动点．
（1）①m＝ 2 ；
②求抛物线的解析式．
（2）过点P作直线l垂直于x轴，交抛物线y＝ax2+bx﹣3于点Q，求线段PQ的长最大时，点P的坐标．
【分析】（1）①将点B（m，﹣3）代入直线y＝﹣x﹣1，即可得m的值；②由①知点B（2，﹣3），根据点A（﹣1，0），B（2，﹣3）在抛物线y＝ax2+bx﹣3上，即可求出抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为x，其中﹣1≤x≤2，可得点P（x，﹣x﹣1），点Q（x，x2﹣2x﹣3），得PQ＝﹣x2+x+2，进而可得点P的坐标．
【解答】解：（1）①∵抛物线y＝ax2+bx﹣3与直线y＝﹣x﹣1交于点A（﹣1，0），B（m，﹣3），
∴将点B（m，﹣3）代入直线y＝﹣x﹣1，得﹣m﹣1＝﹣3，
解得m＝2，
故答案为：2；
②由①知：B（2，﹣3），
∵点A（﹣1，0），B（2，﹣3）在抛物线y＝ax2+bx﹣3上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设点P的横坐标为x，其中﹣1≤x≤2，
∴点P（x，﹣x﹣1），点Q（x，x2﹣2x﹣3），
∴PQ＝﹣x2+x+2，
∴当x＝时，PQ最大，
此时点P的坐标为（，﹣）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解决本题的关键是综合掌握二次函数的相关知识．
24．（7分）在平面直角坐标系xOy中，A（m﹣1，y1），B（3，y2）是抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣4上两点．
（1）将y＝x2﹣2mx+m2﹣4写成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）若m＝1，比较y1，y2的大小，并说明理由；
（3）若y1＜y2，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）利用配方法化简即可；
（2）根据二次函数的性质即可判断；
（3）根据题意得到|m﹣1﹣m|＜|3﹣m|，解不等式即可求得．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2mx+m2﹣4＝（x﹣m）2﹣4；
（2）y1＜y2，理由如下：
若m＝1时，抛物线对称轴是直线x＝1，
∵A（0，y1），B（3，y2），
∴B到y轴的距离大于A到y轴的距离，
∵a＞0，
∴y1＜y2；
（3）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝m，
∴若y1＜y2，则|m﹣1﹣m|＜|3﹣m|，
解得m＜2或m＞4．
【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
25．（7分）在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，过点B作BC的垂线l．点P为直线AB上的一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转90°交直线l于点D．
（1）如图1，点P在线段AB上，依题意补全图形．
①求证：∠BDP＝∠PCB；
②用等式表示线段BC，BD，BP之间的数量关系，并证明．
（2）点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系．
【分析】（1）①根据题意补全图形，由直角三角形的性质可得出答案；
②过点P作PF⊥BP交BC于点F，证明△BPD≌△FPC（AAS），由全等三角形的性质得出BD＝FC，由等腰直角三角形的性质可得出结论；
（2）过点P作PM⊥PB交BD于点M，证明△PMD≌△PBC（AAS），由全等三角形的性质可得出DM＝BC，则可得出结论．
【解答】解：（1）①补全图形如图1，
证明：如图1，设PD与BC的交点为点E，
根据题意可知，∠CPD＝90°，
∵BC⊥l，
∴∠DBC＝90°，
∴∠BDP+∠BED＝∠PCB+∠PEC＝90°，
∴∠BDP＝∠PCB；
②BC﹣BD＝BP．
证明：如图2，过点P作PF⊥BP交BC于点F，
∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∴BP＝BF，∠PFB＝45°，
∴∠PBD＝∠PFC＝135°，
又∵∠BDP＝∠PCF，
∴△BPD≌△FPC（AAS），
∴BD＝FC，
在等腰直角△BPF中，BF＝BP，
∴BC﹣BD＝BP．
（2）BD﹣BC＝BP．
证明：如图3，过点P作PM⊥PB交BD于点M，
由（1）可知∠ABC＝∠PBM＝45°，
∴∠PBM＝∠PMB＝45°，
∴PB＝PM，∠PBC＝∠PCB＝135°，
同（1）可得∠PDB＝∠PCB，
∴△PMD≌△PBC（AAS），
∴DM＝BC，
∵PB＝PM，∠BPM＝90°，
∴BM＝PB，
∴BD﹣DM＝BM＝BD﹣BC＝PB．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
26．（6分）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2．
（1）函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤2）中是有上界函数的为 ② （只填序号即可），其上确界为 1 ；
（2）如果函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的上确界是b，且这个函数的最小值不超过2a+1，求a的取值范围；
（3）如果函数y＝x2﹣2ax+2（1≤x≤5）是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值．
【分析】（1）分别求出两个函数的最大值即可求解；
（2）由题意可知：﹣b+2≤y≤﹣a+2，再由﹣a+2＝b，﹣b+2≤2a+1，b＞a，即可求a的取值范围；
（3）当a≤1时，27﹣10a＝3，可得a＝2.4（舍）；当a≥5时，3﹣2a＝3，可得a＝0（舍）；当1＜a≤3时，27﹣10a＝3，可得a＝2.4；当3＜a＜5时，3﹣2a＝3，可得a＝0．
【解答】解：（1）①y＝x2+2x+1＝（x+1）2≥0，
∴①无上确界；
②y＝2x﹣3（x≤2），
∴y≤1，
∴②有上确界，且上确界为1，
故答案为：②，1；
（2）∵y＝﹣x+2，y随x值的增大而减小，
∴当a≤x≤b时，﹣b+2≤y≤﹣a+2，
∵上确界是b，
∴﹣a+2＝b，
∵函数的最小值不超过2a+1，
∴﹣b+2≤2a+1，
∴a≥﹣1，
∵b＞a，
∴﹣a+2＞a，
∴a＜1，
∴a的取值范围为：﹣1≤a＜1；
（3）y＝x2﹣2ax+2的对称轴为直线x＝a，
当a≤1时，y的最大值为25﹣10a+2＝27﹣10a，
∵3为上确界，
∴27﹣10a＝3，
∴a＝2.4（舍）；
当a≥5时，y的最大值为1﹣2a+2＝3﹣2a，
∵3为上确界，
∴3﹣2a＝3，
∴a＝0（舍）；
当1＜a≤3时，y的最大值为25﹣10a+2＝27﹣10a，
∵3为上确界，
∴27﹣10a＝3，
∴a＝2.4；
当3＜a＜5时，y的最大值为1﹣2a+2＝3﹣2a，
∵3为上确界，
∴3﹣2a＝3，
∴a＝0，
综上所述：a的值为2.4．
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键．
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