2022-2023学年北京市通州区八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2022-2023学年北京市通州区八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共20页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）代数式在实数范围内有意义的条件是（ ）
A．x＞1B．x＜1C．x≥1D．x≤1
2．（2分）下列分式中是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）下列四个等式：①；②（﹣）2＝16；③（）2＝4；④．正确的是（ ）
A．①②B．③④C．②④D．①③
4．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2分）下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2分）小乐一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（ ）
A．＝﹣B．＝+
C．＝+D．＝﹣
7．（2分）已知n是一个正整数，且是整数，那么n的最小值是（ ）
A．6B．36C．3D．2
8．（2分）若xy＝﹣6，其中x＞y，则下列分式的值一定比的值大的是（ ）
A．B．C．﹣D．
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）3的算术平方根是 ．
10．（2分）若分式的值为0．则x＝ ．
11．（2分）分式，的最简公分母是 ．
12．（2分）写出一个比2大比3小的无理数（用含根号的式子表示） ．
13．（2分）利用分式的基本性质填空：
（1）＝，（a≠0）；（2）＝．
14．（2分）若，则实数a的取值范围是 ．
15．（2分）某种弹簧秤原来的长度为l，悬挂重物后的长度L可以用公式L＝l+表示，其中m是悬挂物的质量，k是常数，则m＝ （用L，l，k表示）
16．（2分）利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作：例如：a＝+1时，移项得a﹣1＝，两边平方得（a﹣1）2＝（）2，所以a2﹣2a+1＝3，即得到整系数方程：a2﹣2a﹣2＝0．
仿照上述操作方法，完成下面的问题：
当a＝时，
①得到的整系数方程为 ；
②计算：a3﹣2a+2025＝ ．
三、解答题（本题共68分，第17题5分；第18题4分；第19--25题每题5分；第26题4分；第27题7分；第28题5分；第29题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）计算：（1﹣π）0+|﹣|+﹣．
18．（4分）计算：4ab2÷（）3．
19．（5分）计算：．
20．（5分）计算：3﹣+．
21．（5分）计算：（+1）（﹣1）﹣（﹣1）2．
22．（5分）解方程：+＝1．
23．（5分）解方程：＝1﹣．
24．（5分）先化简，再求值：÷（﹣），其中x＝+1．
25．（5分）已知：，（x+2y）3＝64，求代数式的值．
26．（4分）如图为4×4方格，每个小正方形的边长都为1．
（1）图1中阴影正方形的面积为 ，边长为 ．
（2）请在图2中画出一个与图1中阴影部分面积不相等的正方形，并求出所画正方形的边长．
要求所画正方形满足以下条件：
①正方形的边长为无理数②正方形的四个顶点均在网格格点处．
27．（7分）晨晨家近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
注：续航里程是指在最大的能源储备下可连续行驶的总里程．
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用 ；
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程在什么范围时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
28．（5分）根据学习“数与式”的经验，通过由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．以下是探究过程，请补充完整．
（1）具体运算，发现规律．
特例1.＝2，特例2.＝，特例3.＝，特例4.＝，特例5． ．
（2）观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ．
（3）证明你的猜想．
29．（8分）阅读理解
材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据：
从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，的值随之减小，若x无限增大，则无限接近于0；当x＜0时，随着x的增大，的值也随之减小．
材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数．称这样的分式为真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．
任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．
例如：＝＝+＝1+
根据上述材料完成下列问题：
（1）当x＞0时，随着x的增大，1+的值 （增大或减小）；当x＜0时，随着x的增大，的值 （增大或减小）；
（2）当x＞1时，随着x的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；
（3）当0＜x＜2时，请直接写出代数式值的范围 ．
2022-2023学年北京市通州区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（2分）代数式在实数范围内有意义的条件是（ ）
A．x＞1B．x＜1C．x≥1D．x≤1
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，
∴x≥1．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2．（2分）下列分式中是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解：A、的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式；
B、；
C、＝；
D、；
故选：A．
【点评】分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
3．（2分）下列四个等式：①；②（﹣）2＝16；③（）2＝4；④．正确的是（ ）
A．①②B．③④C．②④D．①③
【分析】本题考查的是二次根式的意义：①＝a（a≥0），②＝a（a≥0），逐一判断．
【解答】解：①＝＝4，正确；
②＝（﹣1）2＝1×4＝4≠16，不正确；
③＝4符合二次根式的意义，正确；
④＝＝4≠﹣4，不正确．
①③正确．
故选：D．
【点评】运用二次根式的意义，判断等式是否成立．
4．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据同类二次根式才能合并可对A进行判断；根据二次根式的乘法对B进行判断；先把化为最简二次根式，然后进行合并，即可对C进行判断；根据二次根式的除法对D进行判断．
【解答】解：A、与不能合并，所以A选项不正确；
B、×＝，所以B选项不正确；
C、﹣＝2＝，所以C选项正确；
D、÷＝2÷＝2，所以D选项不正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的加减运算：先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式．也考查了二次根式的乘除法．
5．（2分）下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据分式的运算即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝，故A错误；
（C）是最简分式，故C错误；
（D）原式＝，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算，本题属于基础题型．
6．（2分）小乐一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（ ）
A．＝﹣B．＝+
C．＝+D．＝﹣
【分析】根据汽车在两条线路上行驶的平均时速间的关系，可得出汽车在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，利用时间＝路程÷速度，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，且汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，
∴汽车在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，
依题意得：＝+．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
7．（2分）已知n是一个正整数，且是整数，那么n的最小值是（ ）
A．6B．36C．3D．2
【分析】先把＝2，从而判断出6n是完全平方数，所以得出答案正整数n的最小值是6．
【解答】解：＝2，则6n是完全平方数，
∴正整数n的最小值是6，
故选：A．
【点评】本题考查了算术平方根，解题的关键是把化为2，从而判断出6n是完全平方数，然后解题就容易了．
8．（2分）若xy＝﹣6，其中x＞y，则下列分式的值一定比的值大的是（ ）
A．B．C．﹣D．
【分析】由题意可得出x＞0＞y，然后由作差法进行判断大小即可求出答案．
【解答】解：∵xy＝﹣6，x＞y，
∴y＜0＜x，
A、＝，故A不符合题意；
B、∵﹣＝＜0，
∴＜，故B不符合题意；
C、﹣＝＜0，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了分式的大小比较，掌握分式的大小比较的方法是解题的关键．
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）3的算术平方根是 ．
【分析】根据开平方的意义，可得算术平方根．
【解答】解：3的算术平方根是，
故答案为：．
【点评】本题考查了算术平方根，注意一个正数的算术平方根只有一个．
10．（2分）若分式的值为0．则x＝ 1 ．
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，可得，据此求出x的值是多少即可．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
解得x＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
11．（2分）分式，的最简公分母是 10bc2 ．
【分析】根据最简公分母的定义即可求出答案．
【解答】解：分式，的最简公分母是10bc2．
故答案为：10bc2．
【点评】本题考查了分式的最简公分母的确定方法，解题的关键是正确地对分母分解因式．
12．（2分）写出一个比2大比3小的无理数（用含根号的式子表示） ．
【分析】先利用4＜5＜9，再根据算术平方根的定义有2＜＜3，这样就可得到满足条件的无理数．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
即为比2大比3小的无理数．
故答案为．
【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．
13．（2分）利用分式的基本性质填空：
（1）＝，（a≠0）；（2）＝．
【分析】根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．
【解答】解：（1）＝（a≠0）；
（2）＝．
故答案为：6a2，a﹣2．
【点评】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变．
14．（2分）若，则实数a的取值范围是 a≥1 ．
【分析】根据二次根式的意义的条件解答即可．
【解答】解：∵有意义，
∴a﹣1≥0，
解可得a≥1．
【点评】本题主要考查了二次根式的意义和性质：
概念：式子（a≥0）叫二次根式，算术平方根的结果为非负数；
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
15．（2分）某种弹簧秤原来的长度为l，悬挂重物后的长度L可以用公式L＝l+表示，其中m是悬挂物的质量，k是常数，则m＝ k（L﹣l） （用L，l，k表示）
【分析】将公式L＝l+根据等式的性质进行变形即可求解．
【解答】解：∵L＝l+，
∴＝L﹣l，
∴m＝k（L﹣l）．
故答案为：k（L﹣l）．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，关键是根据等式的性质对方程进行变形．
16．（2分）利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作：例如：a＝+1时，移项得a﹣1＝，两边平方得（a﹣1）2＝（）2，所以a2﹣2a+1＝3，即得到整系数方程：a2﹣2a﹣2＝0．
仿照上述操作方法，完成下面的问题：
当a＝时，
①得到的整系数方程为 a2+a﹣1＝0 ；
②计算：a3﹣2a+2025＝ 2024 ．
【分析】①根据已知可得2a+1＝，然后利用完全平方公式进行计算即可解答；
②利用①的结论可得a2﹣1＝﹣a，a2+a＝1，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：①∵a＝，
∴2a＝﹣1，
∴2a+1＝，
∴（2a+1）2＝5，
∴4a2+4a+1＝5，
∴4a2+4a﹣4＝0，
∴得到的整系数方程为：a2+a﹣1＝0，
故答案为：a2+a﹣1＝0；
②∵a2+a﹣1＝0，
∴a2﹣1＝﹣a，a2+a＝1，
∴a3﹣2a+2025
＝a3﹣a﹣a+2025
＝a（a2﹣1）﹣a+2025
＝a•（﹣a）﹣a+2025
＝﹣a2﹣a+2025
＝﹣（a2+a）+2025
＝﹣1+2025
＝2024，
故答案为：2024．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．
三、解答题（本题共68分，第17题5分；第18题4分；第19--25题每题5分；第26题4分；第27题7分；第28题5分；第29题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）计算：（1﹣π）0+|﹣|+﹣．
【分析】首先计算零指数幂、开平方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：（1﹣π）0+|﹣|+﹣
＝1++3﹣2
＝4﹣．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18．（4分）计算：4ab2÷（）3．
【分析】先算乘方，再把除法转为乘法，最后约分即可．
【解答】解：4ab2÷（）3
＝4ab2÷
＝4ab2•
＝．
【点评】本题主要考查分式的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19．（5分）计算：．
【分析】根据同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝
＝2．
【点评】本题考查了分式的加减，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
20．（5分）计算：3﹣+．
【分析】根据二次根式的加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝6﹣3+
＝．
【点评】本题考查二次根式的加减运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算法则，本题属于基础题型．
21．（5分）计算：（+1）（﹣1）﹣（﹣1）2．
【分析】先利用平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可．
【解答】解：原式＝3﹣1﹣（2﹣2+1）
＝2﹣3+2
＝2﹣1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
22．（5分）解方程：+＝1．
【分析】本题考查解分式方程的能力，观察方程可得最简公分母是：x（x﹣1），两边同时乘最简公分母可把分式方程化为整式方程来解答．
【解答】解：方程两边同乘x（x﹣1），得x2+x﹣1＝x（x﹣1），
整理，得2x＝1，
解得x＝，
经检验，x＝是原方程的解，
所以原方程的解是x＝．
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
23．（5分）解方程：＝1﹣．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x＝x﹣2+1，
移项合并得：x＝﹣1，
经检验x＝﹣1是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
24．（5分）先化简，再求值：÷（﹣），其中x＝+1．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：÷（﹣）
＝÷
＝•
＝，
当x＝+1时，原式＝
＝
＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
25．（5分）已知：，（x+2y）3＝64，求代数式的值．
【分析】根据算术平方根与立方根的定义即可求出x与y，然后代入原式即可求出答案．
【解答】解：∵，（x+2y）3＝64，
∴
解得
∴，
【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用平方根定义以及立方根的定义，本题属于基础题型．
26．（4分）如图为4×4方格，每个小正方形的边长都为1．
（1）图1中阴影正方形的面积为 5 ，边长为 ．
（2）请在图2中画出一个与图1中阴影部分面积不相等的正方形，并求出所画正方形的边长．
要求所画正方形满足以下条件：
①正方形的边长为无理数②正方形的四个顶点均在网格格点处．
【分析】（1）利用网格特征求解即可；
（2）根据要求作出图形即可．
【解答】解：（1）如图1中，正方形的面积＝5，边长为．
故答案为：5，；
（2）如图2中，正方形ABCD即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
27．（7分）晨晨家近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
注：续航里程是指在最大的能源储备下可连续行驶的总里程．
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用 元 ；
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程在什么范围时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
【分析】（1）根据每千米行驶费用＝相应的费用÷续航里程，即可求解；
（2）①结合（1）进行求解即可；
②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
【解答】解：（1）由表格可得，
新能源车的每千米行驶费用为：＝（元），
故答案为：元；
（2）①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，
∴﹣＝0.54，
解得a＝600，
经检验，a＝600是原分式方程的解，
∴＝0.6（元），
＝0.06（元），
答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；
②设每年行驶里程为xkm，
由题意得：0.6x+4800＞0.06x+7500，
解得x＞5000，
答：当每年行驶里程大于5000km时，买新能源车的年费用更低．
【点评】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式．
28．（5分）根据学习“数与式”的经验，通过由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．以下是探究过程，请补充完整．
（1）具体运算，发现规律．
特例1.＝2，特例2.＝，特例3.＝，特例4.＝，特例5． ＝ ．
（2）观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为： ＝ ．
（3）证明你的猜想．
【分析】（1）利用前面的4个特例得到等式左边的的被开方数由1和分数组成，其中分数的分母为序号数的平方，分子为序号数的2倍加1，等式右侧的分数的分母为序号数，分子为序号数加1；
（2）利用（1）中的规律用序号数n表示等式的左右两边即可；
（3）先把被开方的式子通分，再把分子写成完全平方的形式，然后根据二次根式的性质化简即可．
【解答】（1）解：特例5.＝；
故答案为：＝；
（2）解：n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为＝；
故答案为：＝；
（3）证明：
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．也考查了数字规律型问题的解决方法．
29．（8分）阅读理解
材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据：
从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，的值随之减小，若x无限增大，则无限接近于0；当x＜0时，随着x的增大，的值也随之减小．
材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数．称这样的分式为真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．
任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．
例如：＝＝+＝1+
根据上述材料完成下列问题：
（1）当x＞0时，随着x的增大，1+的值 减小 （增大或减小）；当x＜0时，随着x的增大，的值 减小 （增大或减小）；
（2）当x＞1时，随着x的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；
（3）当0＜x＜2时，请直接写出代数式值的范围 ﹣3＜＜ ．
【分析】（1）由、的变化情况，判断1+、1+的变化情况即可；
（2）由＝3+，即可求解；
（3）由＝2+，再结合x的取值范围即可求解．
【解答】解：（1）∵当x＞0时随着x的增大而减小，
∴随着x的增大，1+的值减小；
∵当x＜0时随着x的增大而减小，
∵＝1+，
∴随着x的增大，的值减小，
故答案为：减小，减小；
（2）∵＝＝3+，
∵当x＞1时，的值无限接近0，
∴的值无限接近3；
（3）∵＝＝2+，
又∵0＜x＜2，
∴﹣5＜＜﹣，
∴﹣3＜＜．
故答案为：﹣3＜＜．
【点评】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/7/10 12:22:51；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：36906111燃油车
新能源车
油箱容积：40升
电池电量：60千瓦时
油价：9元/升
电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米
续航里程：a千米
每千米行驶费用：元
每千米行驶费用： 元
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
…
﹣0.25
﹣0.
﹣0.5
﹣1
无意义
1
0.5
0.
0.25
…
燃油车
新能源车
油箱容积：40升
电池电量：60千瓦时
油价：9元/升
电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米
续航里程：a千米
每千米行驶费用：元
每千米行驶费用： 元
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
…
﹣0.25
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无意义
1
0.5
0.
0.25
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