新高考数学三轮冲刺卷：圆的切线（含解析）

这是一份新高考数学三轮冲刺卷：圆的切线（含解析），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；）
1. 如果实数 ， 满足等式 ，那么 的最大值是
A. B. C. D.

2. 已知 是抛物线 上的任意一点，以 为圆心的圆与直线 相切且经过点 ，设斜率为 的直线与抛物线 交于 ， 两点，则线段 的中点的纵坐标为
A. B. C. D.

3. 若直线 与圆 相切，则 的值为
A. 或 B. 或 C. D.

4. 自点 作圆 的切线，则 到切点的距离为
A. B. C. D.

5. 由直线 上的点向圆 引切线，则切线长的最小值为
A. B. C. D.

6. 已知直线 ，若对于任意 ，直线 与一定圆相切，则该定圆的面积为
A. B. C. D.

7. 过点 ，且倾斜角为 的直线与圆 相切于点 ，且 ，则 的面积是
A. B. C. D.

8. 若圆 的半径为 ，圆心在第一象限，且与直线 和 轴相切，则该圆的标准方程是
A. B.
C. D.

9. 已知圆 与直线 切于点 ，则直线 的方程为
A. B. C. D.

10. 已知点 和 ，若曲线 上存在点 使 ，则 的最大值为
A. B. C. D.

11. 直线 与圆 相切，则 的值为
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

12. 过点 引圆 的切线，则切线长是
A. B. C. D.

13. 过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，，则直线 的方程为
A. B. C. D.

14. 过直线 上的点 作圆 的两条切线 ，，当直线 ， 关于直线 对称时，
A. B. C. D.

15. 如图，圆 分别与 轴正半轴， 轴正半轴相切于点 ，，过劣弧 上一点 作圆 的切线，分别交 轴正半轴， 轴正半轴于点 ，，若点 是切线上一点，则 周长的最小值为
A. B. C. D.

16. 过点 作圆 的切线，则切线的方程为
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或

17. 若双曲线 的一条渐近线与圆 相切，则该双曲线得离心率为
A. B. C. D.

18. 已知双曲线 ，两条渐近线与圆 相切，若双曲线的离心率为 ，则 的值为
A. B. C. D.

19. 圆 的半径为 ，圆心在 轴正半轴上，直线 与圆 相切，则圆 的方程为
A. B.
C. D.

20. 在平面直角坐标系中，， 分别是 轴和 轴上的动点，若以 为直径的圆 与直线 相切，则圆 面积的最小值为
A. B. C. D.

二、填空题（共5小题；）
21. 经过点 且与圆 相切的直线方程为 ．

22. 圆 在点 处的切线方程为 ．

23. 如图，， 是过点 夹角为 的两条直线，且与圆心为 ，半径长为 的圆分别相切，设圆周上一点 到 ， 的距离分比为 ，，那么 的最小值为 ．

24. 设直线 过点 ，且与圆 相切，则直线 的斜率是 ．

25. 过平面区域 内一点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，，记 ，当 最小时，此时点 坐标为 ．

三、解答题（共5小题；）
26. 求经过点 且与圆 相切的直线的方程．

27. 求适合下列条件的圆的方程．
（1）圆心在直线 上，且与直线 相切于点 ；
（2）过三点 ，，．

28. 已知函数 ．求：
（1）曲线 在点 处的切线方程；
（2）过点 且与曲线 相切的直线方程．

29. 已知圆 ：．
（1）若圆 的切线在 轴和 轴上的截距相等，求切线的方程；
（2）从圆 外一点 向圆引切线 ， 为切点， 为坐标原点，且有 ，求使 最小的点 的坐标．

30. 在平面直角坐标系 中，已知圆心在第二象限，半径为 的圆 与直线 相切于坐标原点 ．
（1）求圆 的方程；
（2）试探求 上是否存在异于原点的点 ，使 到定点 的距离等于线段 的长?若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
1. D【解析】由数形结合知， 即为圆上的点与原点连线的斜率．
2. A【解析】设 ，
因为以 为圆心的圆与直线 相切且经过点 ，
所以 ，
又 ．
所以 ．
即可得抛物线方程为 ．
由 ．
，
所以线段 的中点的纵坐标为 ．
3. C
4. D
5. A
【解析】要使切线长最小，需直线 上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心 到直线 的距离 ，，
故切线长的最小值为 ．
6. D【解析】已知直线 ，若对于任意 ，直线 与一定圆相切，
分别令 ，，，可得直线的方程为 ，，，
由此可知圆的圆心坐标为 ，半径为 ．
所以与直线 相切的定圆的方程为 ，
则该定圆的面积为 .
7. B
8. B【解析】由题可知圆心的纵坐标为 ．排除 A，C；在 B，D 选项中只需验证圆心到直线 的距离为 即可，只有 B 合适．
9. A【解析】圆 可化为：，
显然过点 的直线 不与圆相切，
则点 与圆心连线的直线斜率为 ，
则所求直线斜率为 ，代入点斜式可得 ，
整理得 ．
10. D
【解析】由题意，当 与圆相切， 时， 取得最大值或最小值， 取得最大值时，，
所以 ．
11. B【解析】根据题意，直线 与圆 相切，
圆 的圆心为 ，半径 ，则有 ，
变形可得 ，解可得 ．
12. B
13. A【解析】如图所示：
由题意知：，，
所以 ，
所以直线 的方程为 ，即 ．
14. B【解析】由题意，， 为圆心到直线的距离，即 ．
15. A
16. A【解析】由圆的一般方程可得圆的圆心与半径分别为：；，
当切线的斜率存在，设切线的斜率为 ，则切线方程为：，
由点到直线的距离公式可得：，
解得：，
所以切线方程为：；
当切线的斜率不存在时，直线为：，
满足圆心 到直线 的距离为圆的半径 ，
也是切线方程．
17. D【解析】根据圆的方程知，圆心为 ，半径为 ；
根据双曲线方程得，渐近线方程为 ；
据题意知，圆心到渐近线的距离为 ，则：；
所以 ；
所以 ；
解得 ．
18. A【解析】双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，
，
所以圆心 ，半径为 ，
因为双曲线 ，两条渐近线与圆 相切，
所以 ，
所以 ；
双曲线的离心率为 ，，
所以 ，
所以 ．
19. C【解析】设圆心 ，，则 ，因此圆 的方程为 ，即 ．
20. A
【解析】设直线 ，
因为 ，其中 为点 到直线 的距离，
所以圆心 的轨迹为以 为焦点， 为准线的抛物线．
圆 半径最小值为 ，其中 为点 到直线 的距离，圆 的面积的最小值为 ．
21. 或
22.
【解析】先由半径与切线的垂直关系求得切线斜率为 ，则过 切线方程为 ．
23.
24. 或
25.
【解析】当 最小时，则 最大，做出不等式所表示的平面区域．则 点和 点重合时，则过点 做圆的两条切线，使得 最小，所以此时点 ．
26. 或 ．
27. （1） 解法一：
设圆的标准方程为 ，
则有 解得
所以圆的方程为 ．
解法二：
过切点且与 垂直的直线为 ，与 联立可求得圆心为 ．
所以半径 ，
所以所求圆的方程为 ．
（2） 设圆的一般方程为 ，
则 解得
所以所求圆的方程为 ．
28. （1） 由 ，得 ．
曲线 在点 处的切线的斜率 ，则曲线 在点 处的切线方程为 ．
（2） 设切点的坐标为 ，则所求切线的斜率为 ，则所求切线方程为 ，
将点 的坐标代入，得 ，
解得 或 ．
当 时，所求直线方程为 ；
当 时，所求直线方程为 ．
综上，过点 且与曲线 相切的直线方程为 或 ．
29. （1） 由圆的方程 知圆心坐标为 ，半径为 ．
当切线过原点时，设切线方程为 ，则 ，
，即切线方程为 ．
当切线不过原点时，设切线方程为 ，则 ，解得 或 ，
即切线方程为 或 ．
（2） 设 ，，
，即 ．
要使 最小，只要 最小即可．
当 垂直于直线 时， 最小．
此时 点即为两直线的交点．
联立 得 ．
30. （1） 设圆 的圆心为 ，则圆 的方程为 ．
因为直线 与圆 相切于原点 ，
所以 点在圆 上，且 垂直于直线 ，
于是有 解得 或
由于点 在第二象限，故 ，，
所以圆 的方程为 ．
（2） 假设存在点 符合要求，设 ，
则有 解得 或 （舍去）．
所以存在点 ，使 到定点 的距离等于线段 的长．