新高考数学三轮冲刺卷：指数函数及其性质（含解析）

这是一份新高考数学三轮冲刺卷：指数函数及其性质（含解析），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；）
1. 若指数函数 是 上的减函数，则 的取值范围为
A. B. C. D.

2. 已知函数 （其中 ），若 的图象如图所示，则函数 的图象大致为
A. B.
C. D.

3. 若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.

4. 若 ，，，则 ，， 的大小关系是
A. B. C. D.

5. 函数 ，， 的图象可能为
A. B.
C. D.

6. ，， 的大小关系是
A. B.
C. D.

7. 已知 ，，则函数 的图象必定不经过
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

8. 已知对于任意实数 （，且 ），函数 的图象恒过点 ，则点 的坐标是
A. B. C. D.

9. 若 ，则
A. B.
C. D.

10. 若 ，则
A. B.
C. D.

11. 已知函数 有两个零点 ，，则有
A. B. C. D.

12. 基本再生数 与世代间隔 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： 描述累计感染病例数 随时间 （单位：天）的变化规律，指数增长率 与 ， 近似满足 ．有学者基于已有数据估计出 ，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 倍需要的时间约为（）
A. 天B. 天C. 天D. 天

13. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 ，空气的温度是 ，经过 分钟后物体的温度 可由公式 求得，其中 是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于 的常数．现有 的物体，放在 的空气中冷却， 分钟以后物体的温度是 ，则 约等于（参考数据：）
A. B. C. D.

14. 已知函数 与 的图象上存在关于 轴对称的点，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.

15. 设 ，若对任意 ，都有 ，则实数 的值为
A. B. C. D.

16. 已知函数 ，则不等式 的解集是
A. B.
C. D.

17. 在同一直角坐标系中，函数 ，（ 且 ）的图象可能是
A. B.
C. D.

18. 我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”函数 的部分图象大致为
A. B.
C. D.

19. 下列命题中，真命题的为
甲：函数 在定义域上为增函数的充分条件是它在定义域上为严格增函数；
乙：定义域均为 的函数 和 为同一函数；
丙：如果函数 的图象连续不断，，则函数 在 上没有零点．
A. 甲B. 丙C. 甲、乙D. 甲、丙

20. 设 ，函数 ，则使 的 的取值范围是
A. B. C. D.

二、填空题（共5小题；）
21. 下列函数中是指数函数的有 ．（填序号）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ （，且 ）；⑨ （，且 ）．

22. 关于 的方程 有负数根，则实数 的取值范围为 ．

23. 若关于 的方程 有解，则实数 的取值范围是 ．

24. 方程 的解是 ．

25. 已知函数 ，若函数 有两不同的零点，则实数 的取值范围是 ．

三、解答题（共5小题；）
26. 当 充分大时，试比较下列各函数：，，，， 值的大小．你能从中归纳出一些规律性的结论吗?

27. 求函数 （ 且 ）的值域．

28. 已知函数 ．
（1）若 ，求函数 的值域．
（2）若方程 有解，求实数 的取值范围．

29. 已知函数 （ 且 ），当 时，求函数 的值域．

30. 已知 与 均为指数函数．
（1）若 在定义域上是严格增函数，求实数 的取值范围；
（2）若对于任意 ，都有 ，求实数 的取值范围；
（3）若 是 上的严格增函数，求实数 的取值范围．
答案
1. C【解析】由指数函数的单调性，可知 ，所以 ．
2. A【解析】由题中 的图象及 ，可得 ，．
由 可得函数 是减函数，又由 可得其函数图象与 轴交点在 轴的下方．
分析选项可得A满足这两点，B，C，D均不满足．
3. B【解析】因为 在 上单增，
又因为 恒成立，
所以 恒成立，
所以 恒成立，
所以 恒成立，
所以 ，
，，．
4. D【解析】因为函数 是单调增函数，且 ，
所以 ，即 ；
又函数 是单调减函数，且 ，
所以 ，即 ；
所以 ．
5. C
【解析】由题意易知，函数 为偶函数，且 ，排除A，B．当 时，函数图象在 上单调递增，但图象应该是下凸，排除D．
6. A【解析】画出 和 的大致图象，如图所示．
由图可知 ．故选A．
7. A
8. A【解析】在函数 （，且 ）中，当 时，，所以函数 （，且 ）的图象恒过定点 ．
9. A【解析】由 得：，令 ．
因为 为 上的增函数， 为 上的减函数，
所以 为 上的增函数，所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ，则A正确，B错误；
因为 与 的大小不确定，故C，D无法确定．
10. A
【解析】由 得：，令 ．
因为 为 上的增函数， 为 上的减函数，
所以 为 上的增函数，所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ，则A正确，B错误；
因为 与 的大小不确定，故C，D无法确定．
11. D【解析】根据分析，不妨设 ，，根据函数零点的概念则有 ，，即 ，，后面的方程减去前面的方程得 ，由于 ，根据指数函数的性质，，所以 ，即 ．
12. B【解析】因为 ，，，
所以 ，所以 ．
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 倍需要的时间为 天，
则 ，所以 ，所以 ，
所以 天．
13. D
14. A【解析】由题意知，方程 在 上有解，
即 在 上有解，
即函数 与 的图象在 上有交点，
则 ，
即 ，
则 的取值范围是：．
15. B
【解析】 等价于 与 同号．
令 ，，
则 和 都是 上的单调函数，且都过定点 ，
因此当且仅当 和 有相同的零点时同号（如图），
由 得 ，代入 得 ，
解得 ．
16. D【解析】因为 ，所以 等价于 ，
在同一直角坐标系中作出 和 的图象如图：
两函数图象的交点坐标为 ，，
不等式 的解为 或 ．
所以不等式 的解集为：．
17. D
18. C【解析】，图象关于原点对称，B，
当 时，．
19. C【解析】甲：若函数是严格增函数 函数为增函数，甲对；
乙：，，
，，
解析式相同，定义域相同，乙对；
丙：反例：，
，，
，
时 ，
故 在 不一定没有零点，丙错．
20. C
【解析】由 ，得
因为 ，所以原不等式化为
结合 ，解得
所以
21. ①⑤⑧⑨
【解析】②不是指数函数，自变量不在指数上；③是 与 的乘积，不是指数函数；④中底数 ，故不是指数函数；⑥中指数不是自变量 ，而是 的函数 ，故不是指数函数；⑦中底数 不是常数，故不是指数函数．故正确答案是①⑤⑧⑨．
22.
【解析】由 ，得
则有 ，解之即得．
23.
【解析】令 ，则关于 的方程 即 有正实数解．
故 ，
由基本不等式可得 ，当且仅当 时，等号成立，故 ，故 ，
即 ．
24.
【解析】因为 ，
即 ，
所以 ，
解得 （舍去）或 ，
所以 ．
25.
【解析】在同一坐标中作出函数 与直线 的图象，如图所示，
若函数 有两个不同的零点，则函数 的图象与直线 有两个交点，
由图可知，实数 的取值范围是 ．
26. 当 充分大时， 越大， 的值递增得越快， 越大， 的值递增得越快．当 充分大时，各函数值由大到小依次是 ，，，，．
27. ，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以函数的值域为 ．
28. （1） ．
设 ，得 ．
当 时，．
所以 ，．
所以 ，．
故函数 的值域为 ．
（2） 方程 有解可转化为 ，
设 ，
当 ，即 时，；
当 ，即 时，．
所以函数 的值域为 ．
故实数 的取值范围是 ．
29. 因为 ，令 ，
所以 ．
当 时，
因为 ，
所以 ，
所以当 时，，
当 时，
因为 ，
所以 ，
因为 ，，
所以当 时，．
综上所述，当 时，函数的值域是 ；
当 时，函数的值域是 ．
30. （1） 由题意，可知 ，解得 或 ，
即 的取值范围为 ．
（2） 由 ， 都是指数函数，可得
解得 且 ，．
当 时，， 成立；
当 时，幂函数 在区间 上是增函数，
所以由 ，可得 ，则 ，解得 或 ．
综上所述，实数 的取值范围是 ．
（3） 因为函数 是 上的严格增函数，
所以
解得 得 ．
因此，实数 的取值范围是 ．