新高考数学三轮冲刺卷：数列通项的求法（含解析）

这是一份新高考数学三轮冲刺卷：数列通项的求法（含解析），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；）
1. 数列 的前 项积为 ，那么当 时， 的通项公式为
A. B. C. D.

2. 观察数列 ，，，，，，，其中 等于
A. B. C. D.

3. 若 是数列 的前 项和，且 ，则 是
A. 等比数列，但不是等差数列B. 等差数列，但不是等比数列
C. 等差数列，而且也是等比数列D. 既非等比数列又非等差数列

4. 在数列 中，第 项为
A. B. C. D.

5. 已知数列 满足 ，，那么 等于
A. B. C. D.

6. 下列关于星星的图案构成一个数列，则该数列的一个通项公式是
A. B. C. D.

7. 在项数为 的等差数列中，所有奇数项的和为 ，所有偶数项的和为 ，则 等于
A. B. C. D.

8. 在数列 中，，，则
A. B. C. D.

9. 已知数列 的前 项和 满足：，且 ，那么
A. B. C. D.

10. 若数列 满足 ，则
A. B. C. D.

11. 已知 是定义在 上的奇函数，当 时，，那么不等式 的解集是
A. B.
C. D.

12. 已知 是数列 的前 项和，且 ，，则
A. B. C. D.

13. 已知数列 的前 项和 ，第 项满足 ，则 等于
A. B. C. D.

14. 在数列 中，，，则
A. B.
C. D.

15. 如图，坐标纸上的每个单元格的边长为 ，由下往上有六个点：，每个点的横坐标分别对应数列 的第 项、每个点的纵坐标分别对应数列 的第 项，按如此规律下去，则 等于
A. B. C. D.

16. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图中的 ，，，，，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数，由以上规律，则这些三角形数从小到大形成一个数列 ，那么 的值为
A. B. C. D.

17. 在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”．已知数列 ，．第一次“H扩展”后得到 ，，，第二次“H扩展”后得到 ，，，，．那么第 次“H扩展”后得到的数列的项数为
A. B. C. D.

18. 在等差数列 中，其公差 ，若 ，现有以下四个命题：
① ；
② ；
③若 ，则 有最大值；
④若 ，则 有最小值．
则关于这四个命题，正确的是
A. ①②③B. ①②④C. ①④D. ②③

19. 某大学进行自主招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试．学校对参加测试的 名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名，其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示：
下列叙述一定正确的是
A. 甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前
B. 乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前
C. 甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前
D. 乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前

20. 如图，点 ，，，， 和 ，，，， 分别在角 的两条边上，所有 相互平行，且所有梯形 的面积均相等．设 ．若 ，，则数列 的通项公式是
A. B. C. D.

二、填空题（共5小题；）
21. 若数列 的前 项和为 ，则 ．

22. 已知数列 的前 项和 ，则 ．

23. 记 为数列 的前 项和，若 ，则 ．

24. 已知 是数列 的前 项和，且 ，则 ， 的最小值为 ．

25. 已知 ，则数列 的通项公式 ．

三、解答题（共5小题；）
26. 数列 中，，对所有的 ，都有 ，求数列 的通项公式 ．

27. 求数列 ，，，，， 的通项公式．

28. 数列 满足：，，记数列 的前 项和为 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求 ．

29. 已知数列 满足：，．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求 ．

30. 已知等比数列 中，，公比 ．
（1）若 为 的前 项和，证明：；
（2）设 ，求数列 的通项公式．
答案
1. D【解析】设数列 的前 项积为 ，则 ，当 时，．
2. B
3. B
4. C【解析】答案：C
解析：当时，数列有项，所以第项是．
5. B
【解析】由已知可得 ，
设 ，则数列 是以 为首项，
公差为 的等差数列．
所以 ，
所以 ．
6. C【解析】从图中可观察星星的构成规律，第 个星星图案中第一行有一个星星，后面每行比上一行多一个星星，一共有 行，第 行有 个星星，所以第 个图案中一共有星星的个数为 ．
7. B【解析】，，所以 ，所以 ．
8. A【解析】由 ，得 ，
又因为 ，
所以数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
则 ，
所以 ．
所以 ．
9. A【解析】由题意可推得 ，所以 ，即 ，所以 ．
10. A
【解析】因为 ， ①
所以 ， ②
由① ②可知，，所以 ．
11. D
12. C
13. B【解析】当 时，；
当 时，，满足上式．
所以 ．
由 得 ，解得 ．
又 ，因此 ．
14. A【解析】方法一：
因为 ，
所以当 时，

因为 ，
所以 ．
方法二：
因为 ，
所以 ，
所以数列 是常数列，即 ，
则 ．
15. B
【解析】提示：这个数列的规律是奇数项为：；偶数项为：．
16. B
17. B【解析】设第 次“H扩展”后得到的数列的项数为 ，
则第 次“H扩展”后得到的数列的项数为 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
18. B【解析】由 和 ，可知①②④都对．
19. C
20. A
【解析】设 ，，由题意可得，，得 ，所以 ，所以 ，所以 ．
21.
22.
【解析】因为 ，，
所以 ．
23.
24. ，
25.
【解析】因为
所以
，得
所以
是以 为首项， 为公差的等差数列，求得 ．
26. ，
，
两式相除得 ，，
当 时，，所以 ，．
27. 可以将数列分成奇、偶项写出，也可以将数列中的两种数看成：，，故它的通项公式可以写成 或 ．
28. （1） 由已知得 ，
所以数列 为等比数列，
，
即 ．
（2）
所以
整理得到 ．
29. （1） ，当 时，
当 ， 也成立，所以 ．
（2） ．所以 ．

30. （1） 由题知 ，，
所以 ．
（2） ．
所以 的通项公式为 ．