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新高考数学三轮冲刺卷：空间位置关系（含解析）
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这是一份新高考数学三轮冲刺卷：空间位置关系（含解析），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共20小题；）
1. 设 ， 是两个不同的平面，， 是平面 内的两条不同直线，， 是平面 内的两条相交直线，则 的一个充分不必要条件是
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
2. “ 成立”是“ 成立”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 给出下列结论：① 三点确定一个平面；② 若点 不在平面 内，，， 三点都在平面 内，则 ，，， 四点不在同一平面内；③ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中正确结论的个数是
A. B. C. D.
4. 已知直线 ， 与平面 ，，下列命题正确的是
A. 且 ，则
B. 且 ，则
C. 且 ，则
D. 且 ，则
5. 下图中图形的画法正确的个数是
A. B. C. D.
6. 定义 为 ，， 中的最大值，设 ，则 的最小值是
A. B. C. D.
7. 如图所示， 是长方体， 是 的中点，直线 交平面 于点 ，则下列结论正确的是
A. ，， 三点共线B. ，，， 不共面
C. ，，， 不共面D. ，，， 共面
8. 下列命题正确的个数为
①经过三点确定一个平面
②梯形可以确定一个平面
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
A. B. C. D.
9. 设 、 、 、 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是
A. 若 与 共面，则 与 共面
B. 若 与 是异面直线，则 与 是异面直线
C. 若 ，，则
D. 若 ，，则
10. 若直线 和 是异面直线， 在平面 内， 在平面 内， 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是
A. 与 ， 都不相交B. 与 ， 都相交
C. 至多与 ， 中的一条相交D. 至少与 ， 中的一条相交
11. 已知 是平面 的一条斜线，直线 过平面 内一点 ，那么下列选项中能成立的是
A. ，且 B. ，且
C. ，且 D. ，且
12. 如图所示，如果 ，四边形 是菱形，那么 与 的位置关系是
A. 平行B. 垂直相交C. 垂直但不相交D. 相交但不垂直
13. 下列命题正确的个数为
①经过三点确定一个平面；
②梯形可以确定一个平面；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
A. B. C. D.
14. 如图，四边形 是边长为 的正方形，，，且 ， 为 的中点．则下列结论中不正确的是
A. B.
C. D.
15. 在空间中，设 ， 为两条不同的直线，， 为两个不同的平面，则下列命题正确的是
A. 若 ， 不平行于 ，则 不平行于
B. 若 ，，且 ， 不平行，则 ， 不平行
C. 若 ， 不垂直于 ，则 不垂直于
D. 若 ，， 垂直于 ，则 ， 不垂直
16. 设 是两条直线， 是两个平面，则 的一个充分条件是
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
17. 若 是空间两条不同的直线， 是空间的两个不同的平面，则 的一个充分不必要条件是
A. ，B. ，C. ，D. ，
18. 若 ， 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则“ ”是“ ”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
19. 设 ， 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是
A. 若 ，，则 B. 若 ，，则
C. 若 ，，则 D. 若 ，，则
20. 若直线 与平面 不平行，则下列结论正确的是
A. 内所有直线都与直线 异面
B. 内不存在与 平行的直线
C. 内的直线与 相交
D. 直线 与平面 有公共点
二、填空题（共5小题；）
21. 已知 ， 表示不同的平面，，，， 表示四个不同的点， 表示直线，则下列推理错误的是 ．（填序号）
① ，，，；
② ，，，；
③ ，．
22. 在四棱锥 中，底面 是矩形，，，又侧棱 ，则当 时，．
23. 在正方体 中，过对角线 的一个平面交 于 ，交 于 ，给出下列四个结论：
①四边形 一定是平行四边形；
②四边形 有可能是正方形；
③四边形 在底面 内的投影一定是正方形；
④四边形 有可能垂直于平面 ．
以上结论正确的是 ．（写出所有正确结论的编号）
24. 已知 、 是直线， 、 、 是平面，给出下列命题：
① 若 ，，，则 或 ；
②若 ，，，则 ；
③若 不垂直于 ，则 不可能垂直于 内的无数条直线；
④若 ，，且 ，，则 且 ．
其中正确的命题的序号是 ．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
25. 如图，在三棱柱 中，平面 ，，若点 在棱 上，则当点 满足 时，有平面 ．
三、解答题（共5小题；）
26. 学了异面直线的概念和作法后，老师出了下面一道题：“已知平面 ，，直线 ， 为异面直线，，， ，请问：直线 与直线 ， 有怎 样的位置关系?"甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种不同的答案，甲： 与 ， 都不相交；乙： 与 ， 都相交；丙： 至少与 ， 中的一条相交；丁： 至多与 ， 中的一条相交.
（1）问：他们的答案中哪些是正确的?哪些是错误的?请说明理由.
27. 如图，，四边形 与四边形 都是直角梯形，， 且 ， 且 ，， 分别为 ， 的中点．
（1）证明：四边形 是平行四边形；
（2），，， 四点是否共面?为什么?
28. 如图， 为 的直径， 垂直于 所在的平面， 为圆周上任意一点，， 为垂足．
（1）求证：．
（2）若 ，垂足为 ，求证：．
29. 如图所示，在四棱锥 中，，，， 是 的中点， 是 上的点，且 ， 为 中 边上的高．求证：
（1）．
（2）．
30. 如图，四棱柱 中，四边形 为梯形，，且 ．过 ，， 三点的平面记为 ， 与 的交点为 ．证明： 为 的中点．
答案
1. A【解析】对于A，由 ，，，得 ，同理 ，又 ， 相交，，，所以 ，反之不成立，所以 且 是 的一个充分不必要条件．
2. B【解析】由 ，
解得：，即 ．
由 ，
解得 ．
所以“ 成立”是“ 成立”的必要不充分条件．
3. A【解析】① 注意三点共线情形；② ，， 三点共线时不符；③ 考虑空间四边形．
4. D【解析】A中 可能平行、相交、异面；B中 可能平行；C可能 ，或者 与 斜交．
5. D
6. C【解析】分别作出 ，， 在 上的图象，
函数 的图象为如图中的实线部分．
由图象可得 的最低点为 ，即为 和 的交点，
由 解得：，所以 的最小值为 ．
7. A【解析】连接 ，，则 ．从而 ，，， 四点共面，
因为 ，．
所以 ．
又 ，
所以 在平面 与平面 的交线上．
同理 在平面 与平面 的交线上．如图：
所以 ，， 三点共线．故 ，，， 四点共面，，，， 四点共面．
8. C【解析】经过不共线的三点可以确定一个平面；
两条平行线可以确定一个平面；
两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面；
两个平面相交，有一条公共交线，上面有无数个点．
9. C【解析】若 与 共面，则 、 、 、 四点共面，所以 与 共面；
若 与 是异面直线，则 、 、 、 四点不共面，所以 与 一定是异面直线；
若 ，，取 中点 ，连接 、 ，则 ，，所以 ，故 ．
10. D
11. A
12. C
13. C【解析】①④错误，②③正确．
14. C【解析】显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中（如图），取 的中点 ，连接 ，，，
则 ，
又 ，
所以 ，
所以A正确；
由题意易得 ，
又 ，，
所以 ，
所以B正确；
因为 ，，且 ，，
所以 ，
所以D正确．
15. C
【解析】对于A， 可能与 相交、平行或在 内；
对于B， 与 可能平行、相交或异面；
对于C，若 ，则 ，与条件不符，所以 不垂直于 ；
对于D， 与 可能垂直．
16. C【解析】以正方体为背景考虑，
A中，设平面 为 ，平面 为 ，若 为 ， 为 ，显然 不成立；
B中的条件可以推得 ，所以不成立；
C中，由 ， 可得 ，而 ，所以可得到 ；反之，仅由 得不到C中的条件，所以C为符合结论的选项．
D中，设平面 为 ，平面 为 ，若 为 ， 为 ，则 不成立．
17. D【解析】提示：A、B、C中的 与 的位置关系都不确定．D中，由 ， 可以推得 （事实上，这符合线面垂直的推论），反之 时，不能得到 ，．
18. B
19. B
20. D
【解析】直线 与平面 不平行时有两种可能：① 直线 在平面 内；②直线 与平面 相交．本题容易忽视 ①而出错．
21. ③
22.
23. ①③④
24. ②④
【解析】对于①，若 ，，，那么 与 、 不一定垂直，如图
，但 与两平面相交，不垂直，故①不正确；
对于③，设 ，，但 不垂直于 ，则 与 内与 平行的所有直线都垂直，故③不正确．
25. 为棱 的中点
【解析】如图，分别取 ， 的中点 ，．
因为 ，所以 ．所以 ，．根据已知易得 ，，，，所以 ，．所以四边形 是平行四边形，故 ．因为 平面 ，所以 ，．若 ，在平面 内，过 作 ， 为垂足，则有 ，所以 为 与 的交点，故 为 中点，从而 为 中点．
26. 只有丙的答案是正确的，其余同学的答案都是错误的.可以用反证法或作图说明 .
27. （1） 由已知 ，，可得 ．
又 ，
所以 ，
所以四边形 为平行四边形．
（2） 因为 ， 是 的中点，
所以 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ．
由（）知 ，
所以 ，
所以 与 共面．
又 ，
所以 ，，， 四点共面．
28. （1） 因为 为 的直径，
所以 ．
又 ，
所以 ．
又因为 ，
所以 ．
又 ，
所以 ．
又 ，且 ，
所以 ．
（2） 由（）知 ，
又 ，
所以 ．
又因为 ，，
所以 ．
又 ，
所以 ．
29. （1） 因为 ，，
所以 ．
因为 为 中边 上的高，
所以 ．
因为 ，，，
所以 ．
（2） 如图，取 的中点 ，连接 ，．
因为 是 的中点，
所以 ，．
又因为 ，，
所以 ，，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
因为 ，，，
所以 ，
所以 ．
30. 因为 ，，，
所以 ．
从而平面 与这两个平面的交线相互平行，即 ．
故 与 的对应边相互平行，
于是 ．
所以 ，即 为 的中点．
一、选择题（共20小题；）
1. 设 ， 是两个不同的平面，， 是平面 内的两条不同直线，， 是平面 内的两条相交直线，则 的一个充分不必要条件是
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
2. “ 成立”是“ 成立”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 给出下列结论：① 三点确定一个平面；② 若点 不在平面 内，，， 三点都在平面 内，则 ，，， 四点不在同一平面内；③ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中正确结论的个数是
A. B. C. D.
4. 已知直线 ， 与平面 ，，下列命题正确的是
A. 且 ，则
B. 且 ，则
C. 且 ，则
D. 且 ，则
5. 下图中图形的画法正确的个数是
A. B. C. D.
6. 定义 为 ，， 中的最大值，设 ，则 的最小值是
A. B. C. D.
7. 如图所示， 是长方体， 是 的中点，直线 交平面 于点 ，则下列结论正确的是
A. ，， 三点共线B. ，，， 不共面
C. ，，， 不共面D. ，，， 共面
8. 下列命题正确的个数为
①经过三点确定一个平面
②梯形可以确定一个平面
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
A. B. C. D.
9. 设 、 、 、 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是
A. 若 与 共面，则 与 共面
B. 若 与 是异面直线，则 与 是异面直线
C. 若 ，，则
D. 若 ，，则
10. 若直线 和 是异面直线， 在平面 内， 在平面 内， 是平面 与平面 的交线，则下列命题正确的是
A. 与 ， 都不相交B. 与 ， 都相交
C. 至多与 ， 中的一条相交D. 至少与 ， 中的一条相交
11. 已知 是平面 的一条斜线，直线 过平面 内一点 ，那么下列选项中能成立的是
A. ，且 B. ，且
C. ，且 D. ，且
12. 如图所示，如果 ，四边形 是菱形，那么 与 的位置关系是
A. 平行B. 垂直相交C. 垂直但不相交D. 相交但不垂直
13. 下列命题正确的个数为
①经过三点确定一个平面；
②梯形可以确定一个平面；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
A. B. C. D.
14. 如图，四边形 是边长为 的正方形，，，且 ， 为 的中点．则下列结论中不正确的是
A. B.
C. D.
15. 在空间中，设 ， 为两条不同的直线，， 为两个不同的平面，则下列命题正确的是
A. 若 ， 不平行于 ，则 不平行于
B. 若 ，，且 ， 不平行，则 ， 不平行
C. 若 ， 不垂直于 ，则 不垂直于
D. 若 ，， 垂直于 ，则 ， 不垂直
16. 设 是两条直线， 是两个平面，则 的一个充分条件是
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
17. 若 是空间两条不同的直线， 是空间的两个不同的平面，则 的一个充分不必要条件是
A. ，B. ，C. ，D. ，
18. 若 ， 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则“ ”是“ ”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
19. 设 ， 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是
A. 若 ，，则 B. 若 ，，则
C. 若 ，，则 D. 若 ，，则
20. 若直线 与平面 不平行，则下列结论正确的是
A. 内所有直线都与直线 异面
B. 内不存在与 平行的直线
C. 内的直线与 相交
D. 直线 与平面 有公共点
二、填空题（共5小题；）
21. 已知 ， 表示不同的平面，，，， 表示四个不同的点， 表示直线，则下列推理错误的是 ．（填序号）
① ，，，；
② ，，，；
③ ，．
22. 在四棱锥 中，底面 是矩形，，，又侧棱 ，则当 时，．
23. 在正方体 中，过对角线 的一个平面交 于 ，交 于 ，给出下列四个结论：
①四边形 一定是平行四边形；
②四边形 有可能是正方形；
③四边形 在底面 内的投影一定是正方形；
④四边形 有可能垂直于平面 ．
以上结论正确的是 ．（写出所有正确结论的编号）
24. 已知 、 是直线， 、 、 是平面，给出下列命题：
① 若 ，，，则 或 ；
②若 ，，，则 ；
③若 不垂直于 ，则 不可能垂直于 内的无数条直线；
④若 ，，且 ，，则 且 ．
其中正确的命题的序号是 ．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
25. 如图，在三棱柱 中，平面 ，，若点 在棱 上，则当点 满足 时，有平面 ．
三、解答题（共5小题；）
26. 学了异面直线的概念和作法后，老师出了下面一道题：“已知平面 ，，直线 ， 为异面直线，，， ，请问：直线 与直线 ， 有怎 样的位置关系?"甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种不同的答案，甲： 与 ， 都不相交；乙： 与 ， 都相交；丙： 至少与 ， 中的一条相交；丁： 至多与 ， 中的一条相交.
（1）问：他们的答案中哪些是正确的?哪些是错误的?请说明理由.
27. 如图，，四边形 与四边形 都是直角梯形，， 且 ， 且 ，， 分别为 ， 的中点．
（1）证明：四边形 是平行四边形；
（2），，， 四点是否共面?为什么?
28. 如图， 为 的直径， 垂直于 所在的平面， 为圆周上任意一点，， 为垂足．
（1）求证：．
（2）若 ，垂足为 ，求证：．
29. 如图所示，在四棱锥 中，，，， 是 的中点， 是 上的点，且 ， 为 中 边上的高．求证：
（1）．
（2）．
30. 如图，四棱柱 中，四边形 为梯形，，且 ．过 ，， 三点的平面记为 ， 与 的交点为 ．证明： 为 的中点．
答案
1. A【解析】对于A，由 ，，，得 ，同理 ，又 ， 相交，，，所以 ，反之不成立，所以 且 是 的一个充分不必要条件．
2. B【解析】由 ，
解得：，即 ．
由 ，
解得 ．
所以“ 成立”是“ 成立”的必要不充分条件．
3. A【解析】① 注意三点共线情形；② ，， 三点共线时不符；③ 考虑空间四边形．
4. D【解析】A中 可能平行、相交、异面；B中 可能平行；C可能 ，或者 与 斜交．
5. D
6. C【解析】分别作出 ，， 在 上的图象，
函数 的图象为如图中的实线部分．
由图象可得 的最低点为 ，即为 和 的交点，
由 解得：，所以 的最小值为 ．
7. A【解析】连接 ，，则 ．从而 ，，， 四点共面，
因为 ，．
所以 ．
又 ，
所以 在平面 与平面 的交线上．
同理 在平面 与平面 的交线上．如图：
所以 ，， 三点共线．故 ，，， 四点共面，，，， 四点共面．
8. C【解析】经过不共线的三点可以确定一个平面；
两条平行线可以确定一个平面；
两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面；
两个平面相交，有一条公共交线，上面有无数个点．
9. C【解析】若 与 共面，则 、 、 、 四点共面，所以 与 共面；
若 与 是异面直线，则 、 、 、 四点不共面，所以 与 一定是异面直线；
若 ，，取 中点 ，连接 、 ，则 ，，所以 ，故 ．
10. D
11. A
12. C
13. C【解析】①④错误，②③正确．
14. C【解析】显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中（如图），取 的中点 ，连接 ，，，
则 ，
又 ，
所以 ，
所以A正确；
由题意易得 ，
又 ，，
所以 ，
所以B正确；
因为 ，，且 ，，
所以 ，
所以D正确．
15. C
【解析】对于A， 可能与 相交、平行或在 内；
对于B， 与 可能平行、相交或异面；
对于C，若 ，则 ，与条件不符，所以 不垂直于 ；
对于D， 与 可能垂直．
16. C【解析】以正方体为背景考虑，
A中，设平面 为 ，平面 为 ，若 为 ， 为 ，显然 不成立；
B中的条件可以推得 ，所以不成立；
C中，由 ， 可得 ，而 ，所以可得到 ；反之，仅由 得不到C中的条件，所以C为符合结论的选项．
D中，设平面 为 ，平面 为 ，若 为 ， 为 ，则 不成立．
17. D【解析】提示：A、B、C中的 与 的位置关系都不确定．D中，由 ， 可以推得 （事实上，这符合线面垂直的推论），反之 时，不能得到 ，．
18. B
19. B
20. D
【解析】直线 与平面 不平行时有两种可能：① 直线 在平面 内；②直线 与平面 相交．本题容易忽视 ①而出错．
21. ③
22.
23. ①③④
24. ②④
【解析】对于①，若 ，，，那么 与 、 不一定垂直，如图
，但 与两平面相交，不垂直，故①不正确；
对于③，设 ，，但 不垂直于 ，则 与 内与 平行的所有直线都垂直，故③不正确．
25. 为棱 的中点
【解析】如图，分别取 ， 的中点 ，．
因为 ，所以 ．所以 ，．根据已知易得 ，，，，所以 ，．所以四边形 是平行四边形，故 ．因为 平面 ，所以 ，．若 ，在平面 内，过 作 ， 为垂足，则有 ，所以 为 与 的交点，故 为 中点，从而 为 中点．
26. 只有丙的答案是正确的，其余同学的答案都是错误的.可以用反证法或作图说明 .
27. （1） 由已知 ，，可得 ．
又 ，
所以 ，
所以四边形 为平行四边形．
（2） 因为 ， 是 的中点，
所以 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ．
由（）知 ，
所以 ，
所以 与 共面．
又 ，
所以 ，，， 四点共面．
28. （1） 因为 为 的直径，
所以 ．
又 ，
所以 ．
又因为 ，
所以 ．
又 ，
所以 ．
又 ，且 ，
所以 ．
（2） 由（）知 ，
又 ，
所以 ．
又因为 ，，
所以 ．
又 ，
所以 ．
29. （1） 因为 ，，
所以 ．
因为 为 中边 上的高，
所以 ．
因为 ，，，
所以 ．
（2） 如图，取 的中点 ，连接 ，．
因为 是 的中点，
所以 ，．
又因为 ，，
所以 ，，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
因为 ，，，
所以 ，
所以 ．
30. 因为 ，，，
所以 ．
从而平面 与这两个平面的交线相互平行，即 ．
故 与 的对应边相互平行，
于是 ．
所以 ，即 为 的中点．
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