新高考数学一轮复习基础知识综合课件 第1讲 含绝对值的函数（含解析）

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一、绝对值的意义1.绝对值函数的代数表达:f(x)=|x-a|=
一般解决绝对值问题,常规方法是采用分类讨论去绝对值,比较适合大题的解答;对选择填空,可采用几何意义或两边夹逼近的思想.
2.函数f(x)的图象:如下图所示:
二、已知y=|f(x)-(kx+b)|在区间x∈[s,t]上的最大值为M,则M的最小值是　　　　　. 这里仅通过类比或数形结合进行理解.1.多点控制:|f(x)|在x∈[s,t]上的最大值的最小值问题(端点或切比雪夫多项式极值点处取);二次函数:f(x)=ax2+bx+c,用两端点及中点函数值表示(或消去)a,b,c;
2.一次函数在y轴上的截距(指一次函数的图象与y轴交点的纵坐标):|f(x)-(kx+b)|在区间x∈[s,t]上的最大值的最小值问题,一般针对单峰函数|f(x)-(kx+b)|表示一次函数在y轴上的截距差,则最大值的最小值在一次函数直线穿过最小一次函数在y轴上的截距的中间时取得.具体方法:连接f(x)两端点直线l1,过f(x)上一点作与l1平行的切线l2,则y=kx+b为夹在平行直线中间的平行直线,l1,l2的一次函数在y轴上的截距分别为m,n,
特别地,当f(x)在x∈[s,t]上满足f(s)=f(t)(平口函数),
1.(2020年1月浙江学考)已知函数f(x)=|x2+ax-2|-6.若存在a∈R,使得f(x)在[2,b]上恰有两个零点,则实数b的最小值是　　　　　. 
解析 因为函数f(x)=|x2+ax-2|-6在[2,b]上恰有两个零点,则必在x=2与x=b时恰好取到零点的边界.若x=2,f(x)的零点满足f(2)=|22+2a-2|-6=0,解得a=2或a=-4.当a=2时,f(x)=|x2+2x-2|-6,满足f(x)在[2,b]上恰好有两个零点,则f(b)=|b2+2b-2|-6=0且b>2,b2+2b-2=6,解得b=2(舍去)或b=-4(舍去),b2+2b-2=-6(不合题意).当a=-4时,f(b)=|b2-4b-2|-6=0,当b2-4b-2=6时,b=2+2 .当b2-4b-2=-6时,b=2(舍去).
2.(2021年1月浙江学考)已知a∈R,b>0,若存在实数x∈[0,1),使得|bx-a|≤b-ax2成立,则 的取值范围是　　　　　. 
3.(2019年6月浙江学考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增.若对任意x∈R,不等式f(a+|x-b|)≥f(|x|-2|x-1|)(a,b∈R)恒成立,则2a2+b2的最小值是　　　　. 
解析 如图,作出y=||x|-2|x-1||的图象,
因为f(a+|x-b|)≥f(|x|-2|x-1|)(a,b∈R),所以y=|a+|x-b||的图象始终在y=||x|-2|x-1||的上方,
4.(2020年7月浙江学考)设a∈R,已知函数f(x)=|x2-a|+|a2-x|,x∈[-1,1].(1)当a=0时,判断函数f(x)的奇偶性;(2)当a≤0时,证明:f(x)≤a2-a+2;(3)若f(x)≤4恒成立,求实数a的取值范围.
解 (1)当a=0时,f(x)=|x2|+|x|,定义域为[-1,1],且对于任意的x∈[-1,1],有f(-x)=|x2|+|x|=f(x)恒成立,所以函数f(x)为偶函数.(2)当a≤0时,因为x∈[-1,1],所以f(x)=|x2-a|+|a2-x|=x2-a+|a2-x|≤x2-a+|a2|+|x|=a2-a+|x|+x2≤a2-a+2.即对于任意的x∈[-1,1],f(x)≤a2-a+2恒成立.
(3)记f(x)=|x2-a|+|a2-x|(-1≤x≤1)的最大值为M,则f(x)≤4恒成立⇔M≤4.(i)当a≤0时,由(2)可知,对于任意的x∈[-1,1],f(x)≤a2-a+2恒成立,所以M=a2-a+2.
(ⅱ)当01时,因为x∈[-1,1],
5.(2020年1月浙江学考)设a,b∈R,函数f(x)=ax2+bx-3,g(x)=|x-a|,x∈R.(1)若f(x)为偶函数,求b的值;(2)当b=- 时,若f(x),g(x)在区间[1,+∞)上均单调递增,求a的取值范围;(3)设a∈[1,3],若对任意x∈[1,3],都有f(x)+g(x)≤0,求a2+6b的最大值.
解 (1)若f(x)为偶函数,则对任意x∈R,都有f(-x)=f(x),即ax2-bx-3=ax2+bx-3,亦即2bx=0,则b=0.
(3)对任意x∈[1,3],f(x)+g(x)≤0恒成立等价于对任意x∈[1,3],ax2+bx-3+(x-a)≤0且ax2+bx-3-(x-a)≤0恒成立,即ax2+(b+1)x-a-3≤0且ax2+(b-1)x+a-3≤0恒成立.分别令函数F(x)=ax2+(b+1)x-a-3,G(x)=ax2+(b-1)x+a-3,注意到a>0,故对任意x∈[1,3],F(x)≤0与G(x)≤0恒成立的充要条件是