宁夏回族自治区固原市西吉县第五中学2023-2024学年下学期九年级开学考试数学试题（解析版）

这是一份宁夏回族自治区固原市西吉县第五中学2023-2024学年下学期九年级开学考试数学试题（解析版），共25页。试卷主要包含了 选择题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。
一、 选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 下列实数中，最大的数是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】有理数比较大小的法则：正数大于负数，正数大于0，两个负数中绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：正数大于0，正数大于负数，且，所以中最大的实数是2．
故选：D
【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，熟练掌握其方法是解题的关键．
2. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答．
【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上面看得到的图形是俯视图是解答本题的关键．
3. 化简的结果是（ ）
A. B. xy5C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式的乘方和除法的运算法则进行计算即可．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查分式的乘方，掌握公式准确计算是本题的解题关键．
4. 1有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上．若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据概率计算公式分别求出四种花色的概率即可得到答案．
【详解】解：∵一共有7张扑克牌，每张牌被抽到的概率相同，其中黑桃牌有1张，红桃牌有3张，梅花牌有1张，方片牌有2张，
∴抽到的花色是黑桃的概率为，抽到的花色是红桃的概率为，抽到的花色是梅花的概率为，抽到的花色是方片的概率为，
∴抽到的花色可能性最大的是红桃，
故选B．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，正确求出每种花色的概率是解题的关键．
5. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；

故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．
6. 综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A. 两组对边分别平行B. 两组对边分别相等
C. 对角线互相平分D. 一组对边平行且相等
【答案】C
【解析】
【分析】根据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断．
【详解】解：根据图1，得出的中点，图2，得出，
可知使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形，
判定四边形ABCD为平行四边形的条件是：对角线互相平分，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理．
7. 如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是( )

A. B. C. D. a，b大小无法比较
【答案】A
【解析】
【分析】连接，依题意得，，的周长为，四边形的周长为，故，根据的三边关系即可得解．
【详解】连接，

∵点是的八等分点，即
∴，
∴
又∵的周长为，
四边形的周长为，
∴
在中有
∴
故选A．
【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键．
8. 如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为，之后同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大．
【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，
设圆的半径为R，
∴两个机器人最初的距离是，
∵两个人机器人速度相同，
∴分别同时到达点A，C，
∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C；
当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，保持不变，
当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C，
故选：D．
【点睛】本题考查动点函数图像，找到运动时的特殊点用排除法是关键．
二、 填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9. 计算：_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据求一个数的立方根，有理数的加法即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
10. 因式分解：a2+ab=_____．
【答案】a（a+b）．
【解析】
【分析】直接提公因式a即可.
【详解】a2+ab=a（a+b）．
故答案为：a（a+b）．
11. 如图，在数轴上，点A表示，点B与点A位于原点的两侧，且与原点的距离相等．则点B表示的数是 __．
【答案】
【解析】
【分析】由绝对值的定义，再根据原点左边的数是负数即可得出答案．
【详解】解：由题意得：点B表示的数是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了数轴，绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解本题的关键．
12. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是__________．

【答案】
【解析】
分析】用树状图把所有情况列出来，即可求出．
【详解】
总共有12种组合，
《论语》和《大学》的概率，
故答案为：．
【点睛】此题考查了用树状图或列表法求概率，解题的关键是熟悉树状图或列表法，并掌握概率计算公式．
13. 某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为_______．
【答案】4
【解析】
【分析】将代入中计算即可；
【详解】解：∵，
∴
故答案为：4．
【点睛】本题考查已知自变量的值求函数值，掌握代入求值的方法是解题的关键．
14. 如图，四边形内接于，延长至点，已知，那么________．

【答案】
【解析】
【分析】根据圆周角定理得到，再根据圆内接四边形性质和平角的定义即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．
15. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点，的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为________．

【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，求弧长，根据题意得出，将已知数据代入弧长公式，即可求解．
【详解】解：∵过点，的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．
∴，
∴，
∴圆曲线的长为
故答案为：．
16. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，，则点M的坐标为__．
【答案】
【解析】
【分析】设中间正六边形的中心为，连接．判断出，的长，可得结论．本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【详解】解：设中间正六边形的中心为，连接．
点，的坐标分别为，，图中是7个全等的正六边形，
，，
，
，
，
，，
，
故答案为：
三、 解答题 （本大题共 10个小题， 其中 17--22 题每小题6分， 23、 24题每小题8分， 25、26题每小题10分，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案．
【详解】解：原方程可化为．
方程两边同乘，得．
解得．
检验：当时，．
∴原方程的解是．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．
18. 下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．
第一步
第二步
第三步
第四步
任务一：填空
①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．
②第______步开始出现错误，错误的原因是______．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
【答案】任务一：①一 ，分式的性质； ②二，去括号没有变号；任务二：
【解析】
【分析】任务一：①根据分式的基本性质分析即可；②利用去括号法则得出答案；
任务二：利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】任务一：以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质．
第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号．
故答案为：一，分式的性质；②二，去括号没有变号．
任务二：




．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质．
19. 如图，在中，，．过点作，垂足为，延长至点．使．在边上截取，连接．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】利用三角形内角和定理得的度数，再根据全等三角形的判定与性质可得结论．
【详解】证明：在 中，，，
．
．
．
，
．
在和中，
，
∴．
．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
20. 风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞．该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行．现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输．已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．

（1）求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；
（2）卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？
【答案】（1）一个部件的质量为1.2吨，一个部件的质量为0.8吨
（2）6套
【解析】
【分析】（1）设一个A部件的质量为吨，一个部件的质量为吨．然后根据等量关系“1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨”和“2个A部件和3个B部件的质量相等”列二元一次方程组求解即可；
（2）设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥．根据“载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行”列不等式再结合为整数求解即可．
【小问1详解】
解：设一个A部件的质量为吨，一个部件的质量为吨．
根据题意，得，
解得．
答：一个A部件的质量为1.2吨，一个部件的质量为0.8吨．
【小问2详解】
解：设该卡车一次可运输套这种设备通过此大桥．
根据题意，得．
解得．
因为为整数，取最大值，所以．
答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确列出二元一次方程组和不等式是解答本题的关键．
21. 如图，Rt△ABO的顶点O在坐标原点，点B在x轴上，∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=2，反比例函数y=（x＞0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）连接CD，求四边形CDBO的面积．
【答案】（1）y=；（2）．
【解析】
【分析】（1）解直角三角形求得AB，作CE⊥OB于E，根据平行线分线段成比例定理和三角形中位线的性质求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）求得D的坐标，进而求得AD的长，得出△ACD的面积，然后根据S四边形CDBO=S△AOB﹣S△ACD即可求得．
【详解】解：（1）∵∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=2，
∴AB=OB=2，
作CE⊥OB于E，
∵∠ABO=90°，
∴CE∥AB，
∴OC=AC，
∴OE=BE=OB=，CE=AB=1，
∴C（，1），
∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过OA的中点C，
∴1=， ∴k=，
∴反比例函数的关系式为y=；
（2）∵OB=2，
∴D的横坐标为2，
代入y=得，y=， ∴D（2，）， ∴BD=，
∵AB=2， ∴AD=， ∴S△ACD=AD•BE=××，
∴S四边形CDBO=S△AOB﹣S△ACD=OB•AB﹣×2×2﹣．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式，解决本题的关键是明确反比例函数图象上点的坐标特征．
22. 如图，粮库用传送带传送粮袋，大转动轮的半径为10cm，传送带与水平面成角．假设传送带与转动轮之间无滑动，当大转动轮转时，传送带上点处的粮袋上升的高度是多少？（传送带厚度忽略不计）

【答案】粮袋上升的高度是cm
【解析】
【分析】先求出粮袋移动的距离，再根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可．
【详解】解：如图，设大转动轮转时，粮袋移动到点，

则：，
过点作，于点，
∴，
∴，即：粮袋上升的高度是cm．
【点睛】本题考查求弧长，含30度的直角三角形．解题的关键是掌握粮袋移动的距离为大轮转动的距离．
23. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．

小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图

（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分；
（2）请你计算小涵的总评成绩；
（3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由．
【答案】（1）69，69，70
（2）82分 （3）小涵能入选，小悦不一定能入选，见解析
【解析】
【分析】（1）从小到大排序，找出中位数、众数即可，算出平均数．
（2）将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出的总评成绩即可．
（3）小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选．
【小问1详解】
从小到大排序，
67，68，69，69，71，72， 74，
∴中位数是69，
众数是69，
平均数：
69，69，70
【小问2详解】
解：（分）．
答：小涵的总评成绩为82分．
【小问3详解】
结论：小涵能入选，小悦不一定能入选
理由：由频数直方图可得，总评成绩不低于80分学生有10名，总评成绩不低于70分且小宁80分的学生有6名．小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选．
【点睛】此题考查了中位数、众数、平均数，解题的关键是熟悉相关概念．
24. 如图，已知内接于的延长线交于点，交于点，交的切线于点，且．
（1）求证：；
（2）求证：平分．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由切线的性质可得，由圆周角定理可得，即，再根据平行线的性质可得，则根据角的和差可得，最后根据平行线的判定定理即可解答；
（2）由圆周角定理可得，再由等腰三角形的性质可得，进而得到，再结合得到即可证明结论．
【小问1详解】
证明是的切线，
，即．
是的直径，
．
∴．
，
，
，即，
．
小问2详解】
解：与都是所对的圆周角，
．
，
，
．
由（1）知，
，
平分．
【点睛】本题主要考查角平分线、平行线的判定与性质、圆周角定理、切线的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键．
25. 某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，．
方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，，．
要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：

（1）求方案一中抛物线的函数表达式；
（2）在方案一中，当时，求矩形框架面积并比较，的大小．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式．
（1）由题意知抛物线的顶点，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式；
（2）令可得或，故，；再比较，的大小即可．
【小问1详解】
解：由题意知，方案一中抛物线的顶点，
设抛物线的函数表达式为，
把代入得，
解得：，
，
方案一中抛物线的函数表达式为；
【小问2详解】
在中，令得：；
解得或，
，
，
，
．
26. 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．

（1）数学思考：谈你解答老师提出的问题；
（2）深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．

①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作交的延长线于点与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；

②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点作于点，若，求的长．请你思考此问题，直接写出结果．

【答案】（1）正方形，见解析
（2）①，见解析；②
【解析】
【分析】（1）先证明四边形是矩形，再由可得，从而得四边形是正方形；
（2）①由已知可得，再由等积方法，再结合已知即可证明结论；②设的交点为M，过M作于G，则易得，点G是的中点；利用三角函数知识可求得的长，进而求得的长，利用相似三角形的性质即可求得结果．
【小问1详解】
解：四边形为正方形．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴四边形为矩形．
∵，
∴．
∴矩形为正方形．
小问2详解】
：①．
证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，即，
∴．
∵，
∴．
由（1）得，
∴．
②解：如图：设的交点为M，过M作于G，
∵，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点G是的中点；
由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，即；
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，即的长为．
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键．（1）作的垂直平分线交于点O；

（2）连接，在的延长线上截取；

（3）连接，，则四边形即为所求．

选手
测试成绩/分
总评成绩/分
采访
写作
摄影
小悦
83
72
80
78
小涵
86
84
▲
▲