河南省郑州市河南省实验中学2023-2024学年下学期九年级数学开学考试题（解析版）

这是一份河南省郑州市河南省实验中学2023-2024学年下学期九年级数学开学考试题（解析版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（时间：100分钟，满分：120分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 2相反数是（ ）
A. 2B. －2C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】2的相反数是-2.
故选：B.
2. 几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中数字表示对应位置小正方体的个数，该几何体的主视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据各层小正方体的个数，然后得出三视图中主视图的形状，即可得出答案．
【详解】解：根据俯视图可知，这个几何体中：主视图有三列：左边一列1个，中间一列2个，右边一列2个，
所以该几何体的主视图是

故选：D．
【点睛】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，熟练掌握三视图的判断方法是解题关键．
3. 截至2月10日2时，2024年春节联欢晚会媒体累计触达142亿人次，较去年增长，收视传播人次等数据创下新纪录．数据“142亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：142亿．
故选：A
4. 春节期间，琪琪和乐乐分别从如图所示的三部春节档影片中随机选择一部观看，则琪琪和乐乐选择的影片相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有9种等可能的结果，其中琪琪和乐乐选择的影片相同的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把三部影片分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中琪琪和乐乐选择的影片相同的结果有3种，
∴琪琪和乐乐选择的影片相同的概率为，
故选：B．
5. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，由对顶角的性质得到，由三角形外角的性质即可求出的度数，由平行线的性质求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵一束平行于主光轴的光线，
∴，
故选：C．
6. 将关于x的分式方程去分母可得（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】方程两边都乘以，从而可得答案．
【详解】解：∵，
去分母得：，
整理得：，
故选A．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，熟练的把分式方程化为整式方程是解本题的关键．
7. 如图，在中，弦，相交于点．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角、三角形外角的定义和性质等知识，理解“同弧或等弧所对的圆周角相等”是解题关键．根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，然后根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
8. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 实数根的个数与实数的取值有关
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式求出，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
9. 已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，判断点所在的象限，数形结合是解答本题的关键．二次函数开口向上，则二次项系数大于0，与y轴交于负半轴，则常数项小于0，再根据第三象限内的点横坐标为负，纵坐标为负即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴为直线，
∴，
∴点所在的象限是第三象限，
故选：C．
10. 在“探索一次函数的系数，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点：，，．同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式，，．分别计算，，的值，其中最大的值等于（ ）
A. B. C. 5D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据点，，的坐标，利用待定系数法求出，，，，，的值是解题的关键．不妨设直线的函数表达式为，直线的函数表达式为，直线的函数表达式为，根据点，，的坐标，利用待定系数法，可求出，，，，，的值，再将其代入，，中，比较后即可得出结论．
【详解】解：不妨设直线的函数表达式为，直线的函数表达式为，直线的函数表达式为，
将，代入得：，
解得：，
．
同理，可求出，，
，．
又，
其中最大的值等于．
故选：B
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________．
【答案】x≥5
【解析】
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】∵实数范围内有意义，
∴x−5⩾0，解得x⩾5．
故答案为：x≥5
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数a⩾0，同时也考查了解一元一次不等式．
12. 已知二元一次方程，请写出该方程的一组正整数解__________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，掌握方程的解使方程左右两边相等的未知数的值成为解题的关键．
先用x表示出y，然后列举合适的y的值即可解答．
【详解】解：由可得：，
当时，，
则方程的一组整数解为．
故答案为：（答案不唯一）．
13. 学校举行物理科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，然后按照理论知识占20%，创新设计占50%，现场展示占30%计算选手的综合成绩（百分制），某同学本次比赛的各项成绩分别是：理论知识85分，创新设计88分，现场展示90分，那么该同学的综合成绩是______分．
【答案】88
【解析】
【分析】利用加权平均数的求解方法即可求解．
【详解】综合成绩为：85×20%+88×50%+90×30%=88（分），
故答案为：88．
【点睛】此题主要考查了加权平均数的求法，解题的关键是理解各项成绩所占百分比的含义．
14. 如图所示，扇形的圆心角是直角，半径为，为边上一点，将沿边折叠，圆心恰好落在弧上的点处，则阴影部分的面积为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求不规则图形的面积问题，掌握割补法求阴影部分的面积，是解题的关键．连接，则，由折叠得，则是等边三角形，可求得，则，根据勾股定理求出，即可由求出阴影部分的面积．
【详解】解：连接，则，
由折叠得，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
15. 如图，在等腰中，，，点是射线上的一点，且，连接，以为直角顶点，在的左侧作等腰直角，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，交于点，则的长为 ____________________．
【答案】或
【解析】
【分析】连接，分点在线段上，点在线段的延长线上两种情况，根据等腰直角三角形的性质得到，，求出，根据全等三角形点的性质与判定，以及勾股定理，即可求解，
本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是：根据点的两种情况进行讨论．
【详解】解：如图，当点在线段上时，连接，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵，，
∴，
在与，，
，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
如图，当点在线段的延长线上时，连接，
同理可得，，
∴，
∴，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合计算，零指数幂，整式的混合计算：
（1）先计算零指数幂和去绝对值，再计算乘方，最后计算加减法即可；
（2）先根据单项式乘以多项式的计算法则和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可．
【详解】解；（1）
；
（2）

17. 为提高学生防诈反诈能力，学校开展了“防诈反诈”知识竞赛，并从七、八年级各随机选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息：
七年级C组同学的分数分别为：94，92，93，91；
八年级C组同学的分数分别为：91，92，93，93，94，94，94，94，94．
七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表：
（1）填空： ， ， ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防诈反诈”知识竞赛中，哪个年级学生对“防诈反诈”的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）该校现有学生七年级2000名，八年级1800名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
【答案】（1）92.5，94，
（2）八年级学生对“防诈反诈”的了解情况更好，见解析
（3）这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为2370人
【解析】
【分析】本题考查了中位数、众数、条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是正确理解中位数与众数的定义．
（1）结合条形统计图、扇形统计图、七、八年级C组同学的分数，可得；
（2）可以对比优秀率；
（3）求出七、八年级优秀人数，再相加可得．
【小问1详解】
解：，
∴中位数是第10位、第11位的平均数，
观察条形统计图可得，中位数在C组，
∴，
观察扇形统计图和八年级C组同学的分数可得，，
，
故答案为：92.5，94，；
【小问2详解】
解：∵，
∴八年级学生对“防诈反诈”的了解情况更好；
【小问3详解】
解：七年级优秀人数为（人），
八年级优秀人数为（人），
（人），
∴这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为2370人．
18. 如图，是矩形的对角线．
（1）作线段的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
（2）设的垂直平分线交于点，交于点，连接，．若，，求四边形的周长．
【答案】（1）见解析 （2）25
【解析】
【分析】本题考查了基本作图，勾股定理，矩形的性质、菱形的性质与判定及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质与判定以及垂直平分线的性质是解答本题的关键．
（1）分别以、为圆心，大于为半径画弧，分别交于点、，连接，则问题可求解；
（2）先证明四边形是菱形，再设，则，然后根据勾股定理建立方程求解即可．
【小问1详解】
如图，直线就是线段的垂直平分线，
【小问2详解】
垂直平分，
，，，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
四边形是矩形，，
，，
可设，则，
，
，
即，
解得，
菱形的周长为：．
19. 如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于A、B两点，已知点A的坐标为．
（1）求反比例函数和直线的表达式；
（2）点C为x轴上任意一点．如果，求点C的坐标．
【答案】（1），
（2）点C的坐标为或
【解析】
【分析】本题是反比例函数与一次函数交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点的求法，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
（1）利用待定系数法求得两函数的解析式；
（2）设与x轴交点，解析式联立成方程组，解方程组求得点B的坐标，根据，求得的长度，进而即可求得点C的坐标．
【小问1详解】
解：把点代入得，，
∴，
∴反比例函数为，
设直线为，
代入点，，得，
解得，
∴直线为；
【小问2详解】
解：如图，设与x轴交点，
由，解得或，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点C坐标为或．
20. 榕榕在“测量教学楼高度”的活动中，设计并实施了以下方案：
请你依据此方案，求教学楼的高度（结果保留整数）．
【答案】教学楼的高度约为
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意得四边形是矩形，则可得，，然后分别在与中，利用三角函数的知识，求得与的长，进而可得，注意能借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形是关键．
【详解】解：根据题意得：四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
答：教学楼的高度约为．
21. 春节期间，A、B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表：
（1）当购物金额为90元时，选择 超市（填“A”或“B”）更省钱；当购物金额为120元时，选择 超市（填“A”或“B”）更省钱；
（2）若购物金额为元时，请分别写出A、B两超市的实付金额y（元）与购物金额x（元）之间的函数解析式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？
（3）对于A超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为．若在B超市购物，购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明．
【答案】（1）A；B （2）当时，A超市函数表达式为，B超市函数表达式为；当时，选择A超市更省钱；当时，A、B两超市花费一样多；当时，选择B超市更省钱
（3）不一定，见解析
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，不等式的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
（1）根据题意，分别计算购物金额为和元时，两家超市的费用，比较即可求解；
（2）根据题意列出函数关系，分三种情况：，，，分别求出x的取值范围，结合题意，即可求解；
（3）根据题意以及（2）的结论，举出反例即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴A超市八折优惠，B超市不优惠，
∴选择A超市更省钱；
∵，
∴A超市应付：（元），B超市应付：（元），
∵，
∴选择B超市更省钱；
故答案为：A；B．
【小问2详解】
解：当时，A超市函数表达式为：，B超市函数表达式为：，
当，即时，选择A超市更省钱；
当，即时，A、B两超市花费一样多；
当，即时，选择B超市更省钱．
【小问3详解】
解：不一定，例：
在B超市购物，购物金额越大，享受的优惠率不一定越大，
例如：当B超市购物100元，返30元，相当于打7折，即优惠率为，
当B超市购物120元，返30元，则优惠率为，
∴在B超市购物，购物金额越大，享受的优惠率不一定越大．
22. 掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如表：
根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分．
（1）在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是 米，实心球在空中的最大高度是 米；
（2）求满足条件的抛物线的解析式；
（3）根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.7米时，即可得满分10分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由．
【答案】（1）2，3.6
（2）
（3）明明在此次考试中能得到满分，见解析
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，函数的图表和关系式，本题的关键是熟练待定系数法求函数解析式及二次函数的性质解题．
（1）根据图表即可求解；
（2）设抛物线的解析式为，通过图表求出抛物线的顶点，再代入即可求出解析式；
（3）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果．
【小问1详解】
解：由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值，
通过图表可得当时，，
得在明明投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米，
由当时，；当时，，
可得对称轴为直线，
则当时，实心球在空中取得最大高度，
通过图表可得当时，，
得实心球在空中的最大高度是36米，
故答案为：2，3.6；
【小问2详解】
解：设抛物线的解析式为，
由（1）得抛物线的顶点坐标为，
则，
得抛物线的解析式为，
把代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问3详解】
解：明明在此次考试中能得到满分，理由如下：
把代入，
得，
解得或（不符合题意，舍去），
∵，
∴明明在此次考试中能得到满分．
23. 综合与实践
【问题情境】
如图，小颖将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在射线上，点的对应点记为，折痕与边，分别交于点，．
【活动猜想】
（1）如图，当点与点重合时，请直接写出四边形是哪种特殊的四边形？
答：______．
【问题解决】
（2）在矩形纸片中，若边，．
请判断与对角线的位置关系并仅就图给出证明；
当时，请直接写出此时的长度．
【答案】（1）菱形；（2），证明见解析；或
【解析】
【分析】（1）由折叠得点与点关于直线对称，则直线垂直平分，所以，，由矩形的性质得，则，而，所以，则，所以，即可证明四边形是菱形，于是得到问题的答案；
（2）①由，，，求得，所以，则，而，所以，则；
②分两种情况讨论，一是点在线段上，设交于点，可证明，则，求得，由，得；二是点在线段的延长线上，延长、交于点，可证明，则，求得，因为，，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：（1）如图2，由折叠得点与点关于直线对称，
直线垂直平分，
点与点重合，
直线垂直平分，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
故答案为：菱形．
（2）①，
证明：，，，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
②的长度为或，
理由：如图3，点在线段上，设交于点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图4，点在线段的延长线上，延长、交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的长度为或．
【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．年级
平均数
中位数
众数
优秀率
七
91
a
95
m
八
91
93
b
课题
测量教学楼高度
图示

测得数据
，，．
参考数据
，，，，，．
A超市
B超市
优惠方案
所有商品按八折出售
购物金额每满100元返30元
水平距离
0
2
4
5
6
8
竖直高度
2
3.2
3.6
3.5
3.2
2