四川省隆昌市第一中学2024届九年级下学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份四川省隆昌市第一中学2024届九年级下学期第一次月考数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了下列运算中，正确的是，下列说法正确的是，函数中，自变量x的取值范围是等内容，欢迎下载使用。
A卷（共100分）
注意事项：
1、答题前，考生务必将将自己的姓名学号班级等填写好。
2、答A卷时，每小题选出答案后，用钢笔或水笔把答案直接填写在对应题目的后面括号。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。）
1、中国人使用负数最早可追溯到两千多年前的秦汉时期，则2024的相反数是（ A ）
A、 B、 C、 D、
2、PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5（）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有一定量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大影响。用科学记数法可表示为（ C ）
A、 B、 C、 D、
3、下列运算中，正确的是（ D ）
A、 B、
C、 D、
4、下列图形一定是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ C ）
A、矩形 B、菱形 C、正三角形 D、圆
5、下列说法正确的是（ C ）
A、打开电视，它正在播天气预报是不可能事件
B、要考察一个班级中学生的视力情况适合用抽样调查
C、在抽样调查中，样本容量越大，对总体的估计就越准确
D、甲、乙两人射中环数的方差分别为，说明甲的射击成绩比乙稳定
6、在2024年体育中考中，某班乙学习小组6名学生的体育成绩如下表，则这组学生的体育成绩的众数，中位数，方差依次为（ A ）
A、28，28，1 B、28，27.5，1 C、3，2.5，5 D、3，2，5
7、函数中，自变量x的取值范围是（ B ）
A、 B、且 C、 D、且
8、在“双减政策”的推动下，我市某中学学生每天书面作业时长明显减少，2023年上学期每天书面作业平均时长为100min，经过2023年下学期和2024年上学期两次调整后，2024年上学期平均每天书面作业时长为70min，设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x，则可列方程为（ C ）
A、 B、 C、 D、
9、实数m，n在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（ D ）
A、 B、 C、 D、
0
1
n
m
-1
第9题图
D
30°
E
B
A
C
第10题图
x
O
y
B
A
C
第11题图
10、如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，点B经过的路径为BD，则图中阴影部分的面积为（ D ）
A、 B、 C、 D、
11、如图，把放在直角坐标系内，其中，，点A、B的坐标分别为（1，0），（4，0）。将点C落在直线上时，线段BC扫过的面积为（ C ）
A、4 B、8 C、16 D、
12、如图，抛物线与x轴交于A（，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）和（0，3）两点之间（包含端点）。则下列四个结论：①不等式的解集为或；②；③一元二次方程的两个根分别为，；④.正确的个数有（ B ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
x=1
x
y
第12题图
O
A
P
B
E
F
C
D
第15题图
A
②
P2
B
C
第16题图
A
P1
P3
③
①
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
13、分解因式：；答案：
14、我们定义一种新的运算：，则不等式的解集为 ；
答案：或
15、如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E、F分别为PA、PD上的点，且，，、、的面积分别为S，，，若，则；
答案：48
16、如图，在直角三角形中，，并且AC在直线l上，将绕点A顺时针旋转到位置①处，得到点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②处，得到点，…，按此规律继续旋转，知道得到点为止（，，…在直线l上），则.
答案：8093
三、解答题（本大题共5小题，共44分。解答应写出必要的文字说明或推演步骤）
17、（本小题两个小题，每个小题4分，满分8分）
（1）计算：
答案：解原式
（2）先化简，再从，0，2三个数中，选择一个你认为合适的数作为x的值代入求值。
答案：解原式
∵，
∴x取0
当时，原式
18、（本小题满分8分）如图，在四边形ABCD中，的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E
（1）求证：；
（2）若BF恰好平分，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形。
D
B
E
F
C
A
答案：证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴，，
∴
∵AE平分
∴
∴
∴
D
B
E
F
C
A
∴
（2）∵BF恰好平分，
∴
∵
∴，
∴（AAS）
∴
∴四边形ACED是平行四边形
19、（本小题满分9分）某中学决定举办校园艺术节，学生从A：书法、B：绘画、C：声乐、D：器乐、E：舞蹈五个项目中选择一项报名参加，为了了解报名情况，组委会在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查，现将报名情况绘制成如图所示的不完整的统计图。请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
D
B
E
C
A
30
25
20
15
10
5
0
35
20
30
15
10
人数
项目
10%
D
B
E
C
A
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，求“声乐”类对应扇形圆心角的度数；
（4）小东和小颖报名参加“器乐”类比赛，现从小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器中随机选择一种乐器，用列表法或画树状图求出他们选中同一种乐器的概率。
答案：解：在这次调查中，一共抽取学生：
故答案为：100
（2）C：“声乐”人数为：（人）
补全条形统计图
D
B
E
C
A
30
25
20
15
10
5
0
35
20
30
15
10
人数
项目
10%
D
B
E
C
A
（3）在扇形统计图中，“声乐”类对应扇形圆心角的度数为：
（4）设小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器分别为F、G、H、Q
Q
G
F
G
H
Q
G
F
F
H
Q
G
F
H
H
Q
G
FA
Q
H
共有16种情况，其中小东和小颖选中同一种乐器有4种
则刚好抽到同性别学生的概率是
20、（本小题满分9分）某数学综合实践小组开展“利用无人机测量两楼之间的水平距离”的实践活动。过程如下：
测量方案：如图，无人机停留在两楼AB、CD同一平面内上方的点O处，分别测得楼AB底部点A处的俯角；顶部B处的俯角，楼CD顶部D处的俯角，以及楼AB、CD的高度。
测量收集：测得米，，，
M
N
O
D
B
C
A
F
E
解决问题：求楼AB与CD之间的水平距离AC的长（结果精确到1m，，）
答案：解：连接BD，则四边形ABDC是矩形
∴
过点O作于F交BD于点E
则，，米
设（米）
∵
∴，，
∴（米）
∴（米），米
∴
∴
∴（米）
∴（米）
答：楼AB与CD之间的水平距离AC的长75米。
21、（本小题满分10分）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于点P，作轴，垂足为B，
（1）求m的值；
（2）点M是反比例函数的图象上的一点，且在点P的右侧，连接PM.
①连接OP，OM，若，求点M的坐标；
②过点M作交AP的延长线于点D，若，求点M的坐标。
答案：解：（1）一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，
y
x
P
M
O
D
B
C
A
N
当，，解得：
∴点P坐标为（6，4）
把点P（6，4）代入得：，解得：
（2）①如图，过点M作轴于点N
对于，当时，，当时，
∴点A坐标为（，0）， 点C坐标为（0，1）
∵，点P坐标为（6，4）
∴，
∴
∵
∴
由（1）得：反比例函数的解析式为：
设点M的坐标为（a，），则，
∵
∴
即
解得：或（舍去）
∴点M的坐标为（24，1）
②如图，过点P作过交BP的延长线于点G，作于点H
∵，
∴是等腰直角三角形
∴
∵，
∴
∵
∴（AAS）
∴y
x
P
M
O
D
B
C
A
G
H
，
设D（t，）
∴，
∴，
∴M（，）
∵点M在反比例函数的图象上的一点
∴
解得：，
∵点M在点P的右侧
∴点M坐标为（12，2）
B卷（共60分）
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。）
22、已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则；答案：
23、已知非负实数a、b、c满足，设的最大值为m，最小值为n，则的值为 ；答案：
第24题图
E
O
D
B
C
A
F
N
M
第25题图
E
D
B
C
A
24、如图，在中，，，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上，点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当时，则的最小值是 ；
答案：
25、如图，菱形ABCD中，，M、N分别在边AD、BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当时，的值为 . 答案：
二、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分、解答题必须写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
26、一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件30元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系式，下表记录的是某三周的相关数据。
（1）求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件。若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于150元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，请求出m的取值范围。
答案：解：（1）设y与x的函数关系式为：
把，和，代入得：
解得：
∴
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件。若某一周该商品的销售量不少于6000件，则
解得：
设利润为w元，根据题意得：
∵
∴当时，w随x的增大而增大
∵
∴当时，w取最大值为：（元）
（3）根据题意得：
∵对称轴为直线
∵
∴当时，w随x的增大而增大
∵商场这种商品售价不大于150元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，对称轴为，m大于等于10，则对称轴大于等于149，由于x取整数
实际上x是二次函数的离散整数点，x取30，31，……149时利润一直增大
只需保证时利润大于时即可满足要求，所以对称轴要大于149就可以了
∴ 解得
∵
∴
27、如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC、AF.
（1）求证：直线PA是⊙O的切线；
（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；
（3）若，，求的值和线段PE的长。
O
F
P
E
D
B
C
A
答案：证明：连接OB
∵PB为⊙O的切线
∴
∴
∵
∴
∴ 即OP垂直平分AB
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴直线PA是⊙O的切线
O
F
P
E
D
B
C
A
（2）线段EF、OD、OP之间的等量关系为：
理由如下：∵，
∴∽
∴
∴
∵
∴
（3）解：连接AE，如图
∵AC是直径
∴
∵OD垂直平分AB
∴
∴
设，则
O
F
P
E
D
B
C
A
∵OD垂直平分AB
∴
∴
∴
∴
在中，
∴ 解得：
∴，，
在中，
∴
28、如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线.
（1）求抛物线的解析式；
（2）D是第二象限内抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值及此时D点的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，使以点B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由。
答案：解：（1）当时，；当时，，解得
∴C（0，4），A（，0）
∵对称轴为直线
∴B（1，0）
y
x
O
D
B
C
A
E
F
设抛物线的解析式为：
∴
∴
∴抛物线的解析式为：
（2）解：∵C（0，4），A（，0），B（1，0）
∴，，
过点D作于F，交AC于E，如图
设D（m，），则E（m，）
∴
∴
∵
∴
∴当时，
当时，
∴D（，5）
（3）存在点P，使以点B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：
∵B（1，0），C（0，4）
P′
y
x
O
D
B
C
A
P
∴
设P（1，），如图，直线与x轴交于点P，则
∴点P与点B关于y轴对称
∴
∴是等腰三角形，P（，0）
延长BC交直线于点
∵
∴，
∵
∴
∴
∵B、C、三点在同一条直线上
∴不存在以B、C、三点为顶点的等腰三角形
如图，，且点在x轴的上方
∵
∴
解得：，
∴
如图，，且点在x轴的下方，设直线与x轴交于点H
∵
∴
∴
如图，
∵
∴，解得：
∴
y
x
O
D
B
C
A
P3
P2
P1
综上所述，P点坐标为（，0）或或或成绩（分）
27
28
30
人数
2
3
1
x（元/件）
40
50
60
y（件）
10000
9500
9000