高中数学函数中易混问题难点汇总练习

这是一份高中数学函数中易混问题难点汇总练习，共7页。试卷主要包含了定义域与值域，定义域与有意义，值域与函数值变化范围，主元与次元，有解与恒成立，单调区间与区间单调，某点处的切线与过某点的切线，对称与周期等内容，欢迎下载使用。
一、定义域与值域
例1．（I）若函数的定义域为，求实数的取值范围．
（II）若函数的值域为，求实数的取值范围．
分析：（I）若函数的定义域为，就是无论为何实数，永远成立．令，则的图象始终在轴的上方，因此，就有且，从而，．
（II）若函数的值域为，就是应该取遍一切正的实数，也就是集合是值域的子集．当时，，它的值域是，符合要求；当时，只要就能保证集合是值域的子集，解得；时不合要求．故实数的取值范围是．
评注：在处理具体的函数时，要切实把握定义域是自变量取值的集合，而值域是函数值的集合．
二、定义域与有意义
例2．（I）已知函数的定义域为，求实数的取值范围．
（II）已知函数在区间上有意义，求实数的取值范围
分析：（I）因为函数的定义域为，所以不等式的解集是，于是，是方程的根，代入求得．
（II）因为函数在区间上有意义，所以，不等式对恒成立，即对恒成立，而，即．
评注：若在上有意义，则是函数定义域的子集．
三、值域与函数值变化范围
例3．（I）若函数的值域为，求实数的取值范围．
（II）若函数的值恒大于或等于1，求实数的取值范围．
分析：（I）因为函数，所以，即的值域为，于是有，解得或．
（II）因为函数恒成立，即恒成立，因此有恒成立，解得．
评注：函数的值域是函数值的集合，其中每一个元素都是函数值；而函数值恒大于等于1，是指函数值在内，并非要求取遍内的每一个值．
四、主元与次元
例4．（I）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
（II）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
分析：（I）原来的不等式可以转化为对于恒成立；按对称轴分下面三种情况讨论：
i）当时，即时，只要，即，此时矛盾．
ii）当时，即时，只要，即，此时矛盾．
iii）当时，即时，只要，即．
综上，实数的取值范围．
（II）原来的不等式可以转化为对于恒成立；只要即可，于是，解得或或
评注：构造函数时并不一定要以为自变量，应该根据已知条件，选择恰当的变量为主元，从而使问题简化．
五、有解与恒成立
例5．（I）已知，若恒成立，求实数的取值范围．
（II）已知，若有解，求实数的取值范围．
分析：（I）因为恒成立，这就要求的图象全部在直线的上方，即就可，易知，所以，．
（II）要使有解，这就要求的图象上有点在直线的上方即可，即，又，所以，
评注：“有解”是要求某范围内存在使得不等式成立即可．有解，有解．
“恒成立”要求对某范围内任意的，不等式都成立．恒成立，恒成立．
六、单调区间与区间单调
例6．（I）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
（II）若函数单调递增区间是，求实数的取值范围．
分析：（I）在区间上单调递增，那么，对称轴，解得．
（II）图象的对称轴是，那么，的单调递增区间为，于是就有，解得．
评注：若函数在区间上具有单调性，则在的任一子区间上具有相同的单调性，而单调区间是具有单调性的最大区间．
七、某点处的切线与过某点的切线
例7．（I）求曲线在点处的切线方程．
（II）求曲线过点的切线方程．
分析：（I）由得，，所以曲线在点处的切线方程为，即．
（II）设切点为，又，所以切线斜率为，则曲线在点的切线方程为．又在切线上，于是就有，即，解得或；
当时，切点就是，切线为；
当时，切点就是，切线斜率为，切线为．
评注：只有曲线在某点处的切线斜率才是函数在该点处的导函数值，此时切线是唯一的；过某点作曲线的切线，无论该点是否在曲线上，都要设切点坐标，从而求出切点处的切线，满足条件的切线可能不唯一．
八、对称与周期
例8．（I）若函数对一切实数都有，且，求．（II）若函数对一切实数都有，且，求．
分析：（I）因为对于一切，都有，即，恒成立，那么就有的图象关于直线对称，所以，．
（II）因为函数对一切实数都有，那么就有是周期函数且，则 ．
评注：若函数对一切实数都有，则有的图象关于直线对称．若函数对一切实数都有，则有是周期函数，且其中一个周期为．
九、中心对称与轴对称
例9．（I）若函数对一切实数都有，且时有．求解析式．
（II）若函数对一切实数都有，且时有．求解析式．
分析：（I）若函数对一切实数都有，则有的图象关于直线成轴对称；又时有；所以时，有，；
解析式为
（II）函数对一切实数都有，那么的图象关于点成中心对称；又时有；所以时，有，．解析式为
评注：函数对一切实数都有，那么的图象关于点成中心对称．
十、时恒成立与时恒成立
例10．（I）已知函数，（为实数），若对于任意的，都有成立，求实数的取值范围．
（II）已知函数，（为实数），若对于任意的，都有成立，求实数的取值范围．
分析：（I）设，则；于是，对于任意的时，恒成立．即；容易知道，故．
（II）对于任意的，都有恒成立，等价于当时，；容易求得，，于是，故．
评注：时恒成立，等价于时，；时恒成立，等价于时．
十一、函数单调与数列单调
例11．（I）若函数是单调增函数，求实数的取值范围．
（II）若函数（且）是单调增函数，求实数的取值范围．
分析：（I）因为函数在区间是单调增函数，所以对称轴直线，得实数的取值范围是．
（II）因为函数在且上是单调增函数，所以，对于一切，恒成立，即恒成立，故．
评注：数列是特殊的函数．若在上是增函数，则数列一定是增数列，但反之未必成立．因此，函数的单调性与对应数列的单调性有时会不一致，应该慎重处理．