高中数学函数零点问题难点汇总练习—求解策略

这是一份高中数学函数零点问题难点汇总练习—求解策略，共5页。试卷主要包含了P95，函数在下列区间是否存在零点？，求零点的个数，函数零点的个数为等内容，欢迎下载使用。
对于函数零点问题，我们除了可应用根的存在性定理直接求解外，还可利用“方程有实根函数的图象与X轴有交点函数有零点” 题目进行适当转换，得到各种不同的求解策略。兹总结如下：
一 、函数零点的存在性定理指出：“如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且，那么，函数在区间（a,b）内有零点，即存在,使得,这个c也是方程的根”。根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如
例1、函数的零点所在的大致区间是（ ）
（A）（0，1）； （B）（1，2）； （C） （2，e）； （D）（3，4）。
分析：显然函数在区间[1,2]上是连续函数，且,，所以由根的存在性定理可知，函数的零点所在的大致区间是（1，2），选B
例2.函数在下列区间是否存在零点？（ ）
（A）（-3，-1）； （B）（-1，2）； （C） （2，3）； （D）（3，4）。
分析：利用函数零点的存在性定理分析，函数在所给出的四个区间中都不满足条件，但由函数的图象可知它一定有零点。仅当函数在区间[a,b]上是单调函数时，函数零点的存在性定理才是函数存在零点的充要条件。
二 、求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题
函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如：
对于求一个陌生函数的零点个数，若能把已知函数分解成两个熟悉的函数，那么可利用构造函数法化归为求两个熟悉函数图象的交点个数求解,如：
例3.求零点的个数。
分析：本题直接求解，无法下手，由函数的零点也是方程的根，即方程的解，但这个方程不是
熟悉的常规方程，由方程的解与两函数图象交点的关系，可构
造函数、,在同一坐标系中作出它们的图象，可得
出它们有三个交点，所以零点的个数有三个。
2对于一元高次函数，可利用导数法研究函数图象的特征，作出函数的图象，确定图象与X轴交点的情况求解。如：
例4.函数零点的个数为
分析：，
令,得列出x,y/,y的对应值表如下：

作出函数的草图可知，函数的图
象与X轴仅有一个交点，则仅有一个零点。
注意：本类型题的特点是找出函数的图象与X轴交点，实质上仍是求函数与函数交点的情况。若把换成，相当在原题中引入参数a，得出一般情况下的解法，如：
例5、（例4变式题）试讨论函数()零点的个数。
分析：方法1：直接模仿例4的解法，可得如下表格:
然后再结合函数的图象与X轴的关系，确定分类讨论的标准，由极大值、极小值与零的关系，讨论图象与X轴交点情况，得出如下结论：
当即时有一个交点；当即时有两个交点；当且即时有三个交点；当即时有两个交点；当即时有一个交点.
方法2：通过构造函数与转化求解，利用例4的方法可得到函数的图象，讨论两个函数图象的位置关系，
可得出结论：当仅有一个零点；
当有二个零点；当有三个零点；
当时有二个零点；当仅有一个零点。
例6、已知，函数在区间（0，3）内零点的个数为 。
分析：本题利用导数法可得出在区间（0，3）上是单调递减函数，且,，由函数的图象可知仅有一个零点。
三．求函数的具体零点或求方程的根。对于某些特殊类型的函数，可通过研究式子的特征，构造新函数,转化求解。如：
例7、求函数的零点。
分析：考察的特点，直接求解难以入手，可转化为求的解，根据式子特点构造函数，显然为奇函数，且在R上单调递增，由可化为，故利用函数的性质可得，则，所以函数的零点为
综上所述，对于函数的零点问题，我们除了要掌握利用函数的零点存在性定理判断外，还要更好地懂得利用函数与方程思想，构造函数，数形结合，优化解题的策略，提高学生分析问题、解决问题的能力。
x
1
(1,3)
3
+
0
-
0
+
y
增函数
减函数
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增函数
减函数
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