2023-2024学年新疆昌吉州高一（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年新疆昌吉州高一（上）期中数学试卷，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列说法正确的有（ ）
①；
②；
③﹣1∈N；
④；
⑤．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．设集合A＝{x|2x﹣3＜0}，则下列结论正确的是（ ）
A．1∈A，且2∈AB．1∉A，且2∉AC．1∈A，且2∉AD．1∉A，且2∈A
3．命题“∃a∈[0.1]，a4+a2＞1”的否定是（ ）
A．∃a∉[0，1]，a4+a2＞1B．∃a∈[0，1]，a4+a2≤1
C．∀a∈[0，1]，a4+a2＞1D．∀a∈[0，1]，a4+a2≤1
4．已知幂函数f（x）＝（k+2）xα的图象过点，则k﹣α的值为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．0D．1
5．“a＜2且b＜2”是“a+b＜4”的（ ）条件．
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．若函数f（x）是R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，则下列关系成立的是（ ）
A．f（﹣3）＞f（0）＞f（1）B．f（﹣3）＞f（1）＞f（0）
C．f（1）＞f（0）＞f（﹣3）D．f（1）＞f（﹣3）＞f（0）
7．设定义在R上的函数y＝f（x）是偶函数，且f（x）在（﹣∞，0）为增函数．若对于x1＜0＜x2，且x1+x2＞0，则有（ ）
A．f（|x1|）＜f（|x2|）B．f（﹣x2）＞f（﹣x1）
C．f（x1）＜f（﹣x2）D．f（﹣x1）＞f（x2）
8．不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，则函数y＝ax2﹣bx+c的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
（多选）9．下列各组函数不是同一函数的是（ ）
A．
B．f（x）＝x+1，g（x）＝x+x0
C．
D．
（多选）10．下列命题为真命题的是（ ）
A．若a＞b＞0，则
B．若m＞n＞0，则
C．如果c＞a＞b＞0，那么
D．a≥b＞﹣1，则
（多选）11．下列命题中，真命题的是（ ）
A．∀x∈R，都有x2﹣x≥x﹣1
B．∃x∈（1，+∞），使得
C．任意非零实数a，b，都有
D．函数最小值为2
（多选）12．已知函数f（x）＝x2﹣4x在[0，m]上的值域为[﹣4，0]，则实数m的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
三、填空题
13．已知集合A＝{x|0＜x＜4，x∈N}的真子集有 个．
14．函数f（x）＝﹣x2+（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是增函数，那么实数a的取值范围是
15．已知函数f（x）的定义域为{x|1≤x≤3}，则函数y＝f（2x﹣1）的定义域为 ．
16．某班有39名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组有多少人 ．
四、解答题
17．已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）求f（﹣3）的值；
18．解下列不等式：
（1）2x2+5x﹣3＜0；
（2）﹣3x2+6x﹣2≤0；
（3）4x2+4x+1＞0．
19．设集合U＝{x|x≤5}，A＝{x|1≤x≤5}，B＝{x|﹣1≤x≤4}，求：
（1）A∪B；
（2）∁UA∪B；
（3）∁UA∪∁UB．
20．用定义证明函数在区间[0，+∞）上单调递减．
21．已知函数f（x）＝ax2+ax﹣1．
（1）若f（2）＝1，求实数a的值；
（2）若x∈R，f（x）＜0恒成立，求：实数a的取值范围．
22．做一个体积为48m3，高为3米的无上边盖的长方体纸盒，底面造价每平方米40元，四周每平方米为50元，问长与宽取什么数值时用总造价最低，最低是多少？
参考答案与试题解析
一、单选题
1．【分析】根据数集的概念及字母表示逐个判断，即可得到本题的答案．
【解答】解：由是有理数，可知①正确；根据不是正整数，可知②错误；
根据﹣1不是自然数，可知③错误；根据不是有理数，可知④错误；
根据不是整数，可知⑤正确，综上，正确的说法有2个．
故选：B．
【点评】本题主要考查实数的分类、数集的概念及其字母表示等知识，考查了概念的理解能力，属于基础题．
2．【分析】根据题意，分别判断1与2是否满足集合A中的不等式，即可得出正确结论．
【解答】解：因为A＝{x|2x﹣3＜0}，x＝1满足2x﹣3＜0，x＝2不满足2x﹣3＜0，所以1∈A，且2∉A．
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的概念与表示、元素与集合的关系等知识，考查了概念的理解能力，属于基础题．
3．【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即得．
【解答】解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“∃a∈[0，1]，a4+a2＞1”的否定是“∀a∈[0，1]，a4+a2≤1”．
故选：D．
【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
4．【分析】根据幂函数定义求得k，再根据图象过的点求得α，即可得答案．
【解答】解：由题意f（x）＝（k+2）xα是幂函数，
则k+2＝1，∴k＝﹣1，
即f（x）＝xα，将代入可得，∴α＝﹣1，
故k﹣α＝0．
故选：C．
【点评】本题考查函数的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果．
【解答】解：若a＜2且b＜2，则a+b＜4，故充分性满足；
但是由a+b＜4推不出a＜2且b＜2，例如a＝0，b＝3，故必要性不满足；
所以“a＜2且b＜2”是“a+b＜4”的充分不必要条件．
故选：C．
【点评】本题考查了充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．【分析】根据题意，由函数为偶函数，则有f（﹣3）＝f（3），进而由函数在[0，+∞）上是增函数，则有f（0）＜f（1）＜f（3），综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）为R上的偶函数，则f（﹣3）＝f（3），
又由函数在[0，+∞）上是增函数，f（0）＜f（1）＜f（3），
则有f（﹣3）＞f（1）＞f（0）．
故选：B．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意充分函数的奇偶性．
7．【分析】x1＜0＜x2，且x1+x2＞0⇒﹣x2＜x1＜0，f（x）在（﹣∞，0）为增函数⇒f（﹣x2）＜f（x1），y＝f（x）是R上的偶函数⇒f（x2）＜f（﹣x1），即可得到答案．
【解答】解：∵y＝f（x）是R上的偶函数，
∴f（﹣x1）＝f（x1）＝f（|x1|），f（﹣x2）＝f（x2）＝f（|x2|），
∵x1＜0＜x2，且x1+x2＞0，
∴﹣x2＜x1＜0，
∵f（x）在（﹣∞，0）为增函数，
∴f（﹣x2）＜f（x1），
∴f（﹣x2）＜f（﹣x1），可排除A、B、C；
即f（﹣x1）＞f（x2），此即答案D．
故选：D．
【点评】本题考查奇偶性与单调性的综合，关键在于正确理解与把握偶函数的性质“f（﹣x）＝f（x）＝f（|x|）”，属于中档题．
8．【分析】根据不等式ax2﹣bx+c＞0的解集得出a＜0，且﹣2和1是对应方程的解，是函数y＝ax2﹣bx+c的零点，由此判断二次函数y＝ax2﹣bx+c的图像情况．
【解答】解：因为不等式ax2﹣bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜1}，
所以a＜0，且﹣2和1是对应方程ax2﹣bx+c＝0的解，
所以﹣2和1是函数y＝ax2﹣bx+c的零点，
所以二次函数y＝ax2﹣bx+c的图像大致为开口向下，零点为﹣2和1．
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的解集与对应方程的根和函数零点的应用问题，是基础题．
二、多选题
9．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断是同一个函数．
【解答】解：对于A，，g（x）＝x﹣1，x∈R，两个函数的定义域不同，不是同一函数；
对于B，f（x）＝x+1，x∈R，g（x）＝x+x0＝x+1（x≠0），两个函数的定义域不同，不是同一函数；
对于C，f（x）＝x，x∈R，，x∈R，两个函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于D，，x∈[2，+∞），，x∈（﹣∞，﹣2]⋃[2，+∞），
两个函数的定义域不同，不是同一函数．
故选：ABD．
【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一个函数的应用问题，是基础题．
10．【分析】举特例判断选项A，由不等式的性质判断选项B、C、D，由此得出答案．
【解答】解：对A，令a＝3，，则，选项A错误；
对B，∵，
∴，选项B正确．
对C，∵c＞a＞b＞0，
∴﹣a＜﹣b＜0，
∴0＜c﹣a＜c﹣b，
∴，
又a＞b＞0，
∴，选项C正确．
对D，a≥b＞﹣1，则a+1≥b+1＞0，a（1+b）＝a+ab≥b+ab＝b（1+a），
则，选项D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
11．【分析】由基本不等式，全称量词，存在量词命题逐项判断命题的真假即可．
【解答】解：对于选项A，∀x∈R，都有x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0，所以x2﹣x≥x﹣1恒成立．故为真命题．
对于选项B，当x＝2时，，故为真命题．
对于选项C，当a＝1，b＝﹣1时，，故为假命题．
对于选项D，，当且仅当，此时无解，故等号不成立，所以为假命题．
故选：AB．
【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，还考查了命题的真假关系的判断．属于中档题．
12．【分析】配方后得到当x＝2时，f（x）取得最小值﹣4，结合f（0）＝f（4）＝0，求出m∈[2，4]，得到答案．
【解答】解：f（x）＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
当x∈（﹣∞，2）时，f（x）单调递减，当x∈（2，+∞）时，f（x）单调递增，
故当x＝2时，f（x）取得最小值﹣4，
又f（0）＝f（4）＝0，
故要想f（x）＝x2﹣4x在[0，m]上的值域为[﹣4，0]，
则要m∈[2，4]，
故实数m的值可以是2，3，4．
故选：BCD．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于基础题．
三、填空题
13．【分析】根据集合的定义，求出A＝{1，2，3}，由A的集合有3个元素，利用真子集的定义，计算真子集个数可得答案．
【解答】解：由已知得A＝{x|0＜x＜4，x∈N}＝{1，2，3}，
故A的真子集个数为：23﹣1＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了描述法和列举法的定义，集合真子集个数的计算公式，是基础题．
14．【分析】根据二次函数的单调性与开口方向和对称轴有关，先求出函数的对称轴，然后结合开口方向及在（﹣∞，4]上单调性判断对称轴与4的大小即可求解．
【解答】解：二次函数f（x）＝﹣x2+（a﹣1）x+2是开口向下的二次函数，
对称轴为x＝，
∴二次函数f（x）＝﹣x2+（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是增函数，
∴≥4，
解得：a≥9．
故答案为：[9，+∞）．
【点评】本题主要考查了二次函数的单调性的运用，注意讨论对称轴和区间的关系，二次函数是高考中的热点问题，属于基础题
15．【分析】根据函数定义域的求法，直接解不等式1≤2x﹣1≤3，即可求函数y＝f（2x﹣1）的定义域．
【解答】解：∵函数y＝f（x）的定义域为{x|1≤x≤3}，
∴1≤2x﹣1≤3，
解得：1≤x≤2，
即函数y＝f（2x﹣1）的定义域是为{x|1≤x≤2}．
故答案为：{x|1≤x≤2}．
【点评】本题主要考查复合函数定义域的求法，属于基础题．
16．【分析】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为A，B，C，根据容斥原理可求出结果．
【解答】解：设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的人数为x，
因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为0，画出韦恩图，如图所示：
由图可知：20﹣x+6+5+x+4+9﹣x＝39，解得x＝5，
所以同时参加数学和化学小组有5人．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了集合之间的元素关系，考查了韦恩图的应用，属于基础题．
四、解答题
17．【分析】（1）根据分式及偶次根式成立的条件可得，，解不等式可求函数的定义域
（2）直接把x＝﹣3代入到函数解析式中可求
【解答】解：（1）由题意可得，，
解不等式可得{x|x⩾﹣3且x≠﹣2}，
故函数的定义域为{x|x⩾﹣3且x≠﹣2}；
（2）f（﹣3）＝﹣1．
【点评】本题主要考查函数的定义域及其求法，属于基础题．
18．【分析】（1）因式分解可得结果；
（2）配方法可得结果；
（3）配方法可得结果．
【解答】解：（1）由2x2+5x﹣3＜0，得（x+3）（2x﹣1）＜0，得，
所以不等式2x2+5x﹣3＜0的解集为．
（2）由﹣3x2+6x﹣2≤0得3x2﹣6x+2≥0，得，
得，得或，即或，
所以原不等式的解集为或．
（3）由4x2+4x+1＞0得（2x+1）2＞0，所以．
所以原不等式的解集为．
【点评】本题考查了一元二次不等式的求解，是基础题．
19．【分析】（1）根据并集定义可直接求得结果；
（2）根据补集和并集定义可求得结果；
（3）根据补集和交集定义可求得结果．
【解答】解：（1）由并集定义知：A∪B＝{x|﹣1≤x≤5}；
（2）∵∁UA＝{x|x＜1}，
∴（∁UA）∪B＝{x|x≤4}；
（3）∵∁UA＝{x|x＜1}，∁UB＝{x|x＜﹣1或4＜x≤5}，
∴（∁UA）∩（∁UB）＝{x|x＜﹣1}．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
20．【分析】利用函数单调性的定义证明即可．
【解答】证明：任取x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，
则，
因为0≤x1＜x2，
所以x2﹣x1＞0，x2+x1＞0，且，，
所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在区间[0，+∞）上单调递减．
【点评】本题考查了函数单调性的证明，解题的关键是掌握函数单调性的定义，属于基础题．
21．【分析】（1）由函数的解析式求函数值即可求a的值；
（2）利用二次函数的图象即可求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）＝ax2+ax﹣1，f（2）＝1，
∴f（2）＝4a+2a﹣1＝1，解得 ．
（2）当a＝0时，f（x）＜0恒成立；当a＜0且Δ＝a2+4a＜0时，解得﹣4＜a＜0；当a＞0时，f（x）＜0不恒成立．
∴实数a的取值范围为（﹣4，0]．
【点评】本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题．
22．【分析】设长方体底面的长为am，宽为bm，可得，总造价为y元，表示出y，再由基本不等式即可得解．
【解答】解：设长方体底面的长为am，宽为bm，显然a，b＞0，则3ab＝48，故，总造价为y元，
则，当且仅当，即a＝b＝4时等号成立，
∴当底面的长与宽均为4米时总费用最少，最少为3040元．
【点评】本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用，属于基础题