2023-2024学年山东省济南市历城区稼轩学校八年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年山东省济南市历城区稼轩学校八年级（上）期中数学试卷，共29页。
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（4分）平面直角坐标系中，与点A（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣3，2）D．（﹣2，﹣3）
3．（4分）如图所示的数轴被墨迹污染了，则下列选项中可能被覆盖住的数是（ ）
A．B．﹣C．﹣D．﹣
4．（4分）已知A（﹣，y1）、B（﹣，y2）、C（1，y3）是一次函数y＝﹣3x+b的图象上三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1
5．（4分）一次函数y＝kx和y＝﹣x+3的图象如图所示，则二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
6．（4分）已知是二元一次方程组的解，则a﹣b的值为（ ）
A．3B．2C．1D．﹣1
7．（4分）一次函数y1＝mx+n与y2＝mnx（m、n为常数，且mn≠0）在同一平面直角坐标内的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将20元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
9．（4分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长
直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则图2中EF的长为（ ）
A．3B．4C．D．
10．（4分）如图，直线y＝2x﹣6与x轴、y轴分别交于A，B两点，C在y轴的正半轴上，D在直线AB上，且CB＝10，CD＝OD．若点P为线段AB上的一个动点，且P关于x轴的对称点Q总在△OCD内（不包括边界），则点P的横坐标m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二.填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）10的算术平方根是 ．
12．（4分）如图，在数轴上点D表示的实数为 ．
13．（4分）在平面直角坐标系中，点P（m，3），点Q（2﹣2m，m﹣3），且PQ∥y轴，则m＝ ．
14．（4分）一支原长为12cm的蜡烛，点燃后其剩余长度与燃烧时间之间的关系如下表：
则这支蜡烛最多可燃烧 分钟．
15．（4分）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，图示距离为110cm；再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置，图示距离为60cm，则桌子的高度等于 cm．
16．（4分）已知一次函数y＝ax﹣a+2（a为常数，且a≠0）．若当﹣1≤x≤4时，函数有最大值7，则a的值为 ．
三、解答题（共9个小题，共86分）
17．（8分）化简与求值：
（1）；
（2）．
18．（10分）解方程组：
（1）；
（2）．
19．（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）在y轴上求作点D，使得AD+BD最小，请你直接写出D点坐标；
（3）若点P为x轴上一动点，且满足△BCP的面积为1，请你直接写出P点坐标．
20．（8分）某班级为表彰运动会表现优秀的同学，班主任老师安排小明和小红购买奖品，图①，图2是小明和小红购买奖品后的对话情境，根据信息解决问题，试计算两种笔记本各买了多少本？
21．（8分）为了积极响应国家新农村建设的号召，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行广播宣传．如图，笔直的公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄到公路MN的距离为600m，假使宣讲车P周围1000m以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶．
（1）村庄能否听到广播宣传？请说明理由．
（2）已知宣讲车的速度是200m/min，如果村庄能听到广播宣传，那么总共能听多长时间？
22．（10分）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图①所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种上面无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．
（1）做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需正方形纸板张 张（直接填空），需长方形纸板 张（直接填空）．
（2）若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？（要求列二元一次方程组解决此问题）
23．（10分）小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：
∵，
∴．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：＝ ；
（2）计算：+；
（3）若a＝，求2a2﹣8a+1的值．
24．（12分）在A、B两地之间有服务区C，甲车由A地驶往服务区C，乙车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离服务区C的路程y1、y2（单位：千米）与乙车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车的速度是 千米/时；
（2）求图象中线段DF的函数解析式；
（3）当两车距服务区C的路程之和是360千米时，直接写出此时乙车的行驶时间．
25．（12分）如图1，已知直线l1：y＝﹣x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与y轴交于点C（0，﹣1），与直线l1交于点D（2，t）．
（1）求直线l2的解析式；
（2）如图2，若点P在直线l1上，过点P作PQ∥y轴交l2于点Q，交x轴于点G，使S△PCG＝2S△QCG，求此时P点的坐标；
（3）将直线l1：y＝﹣x+5向左平移10个单位得直线l3交x轴于点E，点F是点C关于原点的对称点．过点F作直线l4∥x轴．在直线l4上是否存在动点M，使得△MCE为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年山东省济南市历城区稼轩学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）以下各数﹣3，，，π，1.9191191119…（每两个9之间依次多一个1），其中无理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据无理数的定义：不能表示成两个整数之商的数即不循环的无限小数即可求解．
【解答】解：﹣3是整数，不是无理数，
是无限不循环小数，是无理数，
是分数，不是无理数，
π是无限不循环小数，是无理数，
1.9191191119…（每两个9之间依次多一个1）是无限不循环小数，是无理数，
符合题意的有3个，
故选：C．
【点评】本题主要考查了无理数，掌握无理数的定义是解题的关键．
2．（4分）平面直角坐标系中，与点A（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣3，2）D．（﹣2，﹣3）
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
【解答】解：点A（﹣2，3）关于x轴对称的点的坐标为（﹣2，﹣3）．
故选：D．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
3．（4分）如图所示的数轴被墨迹污染了，则下列选项中可能被覆盖住的数是（ ）
A．B．﹣C．﹣D．﹣
【分析】根据题意可知在﹣3与﹣2之间，据此判断，观察选项中的四个数哪一个在这个范围内即可．
【解答】解：设被覆盖住的数是x，
由图可知：﹣3＜x＜﹣2，
∵﹣＜﹣，即＜﹣3，不在此范围内，故A错；
∵﹣≈﹣1.732＞﹣2，不在此范围内，故C错；
∵﹣≈﹣1.414＞﹣2，不在此范围内，故D错；
所以B正确，
故选：B．
【点评】本题考查有理数的大小比较，是基础题．
4．（4分）已知A（﹣，y1）、B（﹣，y2）、C（1，y3）是一次函数y＝﹣3x+b的图象上三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出y1，y2，y3的值，比较后可得出结论．
【解答】解：∵A（﹣，y1）、B（﹣，y2）、C（1，y3）是一次函数y＝﹣3x+b的图象上三点，
∴y1＝1+b，y2＝+b，y3＝﹣3+b．
∵﹣3+b＜1+b＜+b，
∴y3＜y1＜y2．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出y1，y2，y3的值是解题的关键．
5．（4分）一次函数y＝kx和y＝﹣x+3的图象如图所示，则二元一次方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【分析】两个一次函数图象的交点坐标就是两函数组成的方程组的解．
【解答】解：∵一次函数y＝kx和y＝﹣x+3的图象交于点（1，2），
∴二元一次方程组的解是，
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组，掌握二元一次方程（组）与一次函数的关系是解题的关键．
6．（4分）已知是二元一次方程组的解，则a﹣b的值为（ ）
A．3B．2C．1D．﹣1
【分析】把x＝2．y＝1代入方程组得出方程组求出方程组的解即可．
【解答】解：把x＝2．y＝1代入方程组得：
①+②得：4a＝8，
解得：a＝2，
把a＝2代入①得：4+b＝7，
解得：b＝3，
a﹣b＝2﹣3＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组的应用，解此题的关键是能得出关于a、b的方程组，难度适中．
7．（4分）一次函数y1＝mx+n与y2＝mnx（m、n为常数，且mn≠0）在同一平面直角坐标内的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数与正比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、由一次函数的图象可知，m＜0，n＞0，故mn＜0；由正比例函数的图象可知mn＜0，两结论一致，故本选项符合题意；
B、由一次函数的图象可知，m＜0，n＞0，故mn＜0；由正比例函数的图象可知mn＞0，两结论不一致，故本选项不符合题意；
C、由一次函数的图象可知，m＞0，n＞0，故mn＞0；由正比例函数的图象可知mn＜0，两结论不一致，故本选项不符合题意；
D、由一次函数的图象可知，m＞0，n＜0，故mn＜0；由正比例函数的图象可知mn＞0，两结论不一致，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
8．（4分）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将20元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（ ）
A．2种B．3种C．4种D．5种
【分析】设可以购买x支康乃馨，y支百合，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可得出小明有3种购买方案．
【解答】解：设可以购买x支康乃馨，y支百合，
依题意，得：2x+3y＝20，
∴x＝10﹣y．
∵x，y均为正整数，
∴或或，
∴小明有3种购买方案．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
9．（4分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长
直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则图2中EF的长为（ ）
A．3B．4C．D．
【分析】由图形2可知，中间四边形的边长为（a﹣b）的小正方形，由大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积得出＝25，再结合ab＝8即可得出（a﹣b）的值，再根据勾股定理即可求出EF的长．
【解答】解：由图形2可知，中间四边形的边长为（a﹣b）的小正方形，
∵大正方形的面积为25，
∴AB2＝25，
又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积，
∴＝25，
∴（a﹣b）2+2ab＝25，
∴（a﹣b）2+2×8＝25，
∴（a﹣b）＝3（负值已舍），
即图2中小正方形的边长为3，
∴EF＝＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理，正确得出大正方形的面积表示方法是解题的关键．
10．（4分）如图，直线y＝2x﹣6与x轴、y轴分别交于A，B两点，C在y轴的正半轴上，D在直线AB上，且CB＝10，CD＝OD．若点P为线段AB上的一个动点，且P关于x轴的对称点Q总在△OCD内（不包括边界），则点P的横坐标m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先求出A（3，0）、B（0，﹣6），进而求出C（0，4），再由CD＝OD可知点D在线段OC的垂直平分线上，即在直线y＝2上，则D（4，2），利用待定系数法求出直线CD和直线OD的解析式，根据关于x轴对称的点横坐标相同及坐标互为相反数求出点Q的坐标，再根据点Q在△OCD内，则当x＝m时，点Q的纵坐标在直线CD和直线OD二者的函数值之间，由此建立不等式求解即可．
【解答】解：在y＝2x﹣6中，当x＝0时，y＝2x﹣6＝﹣6，当y＝2x﹣6＝0时，x＝3，
∴A（3，0），B（0，﹣6），
∵C在y轴的正半轴上，CB＝10，
∴C（0，4），
∵CD＝OD．
∴点D在线段OC的垂直平分线上，即在直线y＝2上，
在y＝2x﹣6中，当y＝2x﹣6＝2时，x＝4，
∴D（4，2）；
设直线CD解析式为y＝kx+b，
，
∴
∴直线CD解析式为y＝﹣x+4．
同理可得直线OD的解析式为y＝x，
∵点P为线段AB上的一个动点，且其横坐标为m，
∴P（m，2m﹣6），
∵P、Q关于x轴对称，
∴Q（m，6﹣2m），
∵点Q总在△OCD内（不包括边界），
∴m＜6﹣2m＜﹣m+4．
解得＜m＜．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化一轴对称，正确理解题意得到点Q在△OCD内，则当x＝m时，点Q的纵坐标在直线CD和直线OD二者的函数值之间是解题的关键．
二.填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）10的算术平方根是 ．
【分析】根据算术平方根的定义进行解答即可．
【解答】解：10的算术平方根是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了求一个数的算术平方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义．
12．（4分）如图，在数轴上点D表示的实数为 1﹣ ．
【分析】根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点D的位置可得答案．
【解答】解：∵AB＝2﹣1＝1，AC＝2，
∴BC＝＝，
∴点D表示的数为1﹣，
故答案为：1﹣．
【点评】本题考查了实数与数轴，勾股定理的应用，体现了数形结合的数学思想，解题时注意点D在数轴的负半轴上．
13．（4分）在平面直角坐标系中，点P（m，3），点Q（2﹣2m，m﹣3），且PQ∥y轴，则m＝ ．
【分析】根据平行于y轴的直线上的点横坐标相同求出m的值即可
【解答】解：∵P（m，3），点Q（2﹣2m，m﹣3），且PQ∥y轴，
∴m＝2﹣2m，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了坐标与图形，熟知平行于y轴的直线上的点横坐标相同是解题的关键．
14．（4分）一支原长为12cm的蜡烛，点燃后其剩余长度与燃烧时间之间的关系如下表：
则这支蜡烛最多可燃烧 150 分钟．
【分析】设这支蜡烛剩余长度为ycm，燃烧时间为x分钟，根据蜡烛剩余长度与燃烧时间的关系可知每燃烧10分钟，蜡烛剩余长度减少0.8cm，由此建立y与x之间的函数关系式，再求出y＝0时的x值即可．
【解答】解：设这支蜡烛剩余长度为ycm，燃烧时间为x分钟，由表可知，每燃烧10分钟，蜡烛剩余长度减少0.8cm，
则y＝12﹣0.08x，
当y＝0时，12﹣0.08x＝0，
解得x＝150，
所以这支蜡烛最多可燃烧150分钟，
故答案为：150．
【点评】本题考查了一次函数的实际应用，正确求出函数关系式是解题关键．
15．（4分）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，图示距离为110cm；再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置，图示距离为60cm，则桌子的高度等于 85 cm．
【分析】根据“按图①所示的方式放置，图示距离为110cm”和“图②所示的方式放置，图示距离为60cm”列方程组求解．
【解答】解：设桌子的高度为xcm，长方体木块的长为acm，宽为bcm，
则：，
①+②得：2x＝170，
解得：x＝85，
故答案为：85．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键．
16．（4分）已知一次函数y＝ax﹣a+2（a为常数，且a≠0）．若当﹣1≤x≤4时，函数有最大值7，则a的值为 或﹣ ．
【分析】分类讨论：a＞0时，y随x的增大而增大，所以当x＝2时，y有最大值2，然后把y＝2代入函数关系式可计算出对应a的值；a＜0时，y随x的增大而减小，所以当x＝﹣1时，y有最大值2，然后把x＝﹣1代入函数关系式可计算对应a的值．
【解答】解：①a＞0时，y随x的增大而增大，
则当x＝4时，y有最大值7，把x＝4，y＝7代入函数关系式得7＝4a﹣a+2，解得a＝；
②a＜0时，y随x的增大而减小，
则当x＝﹣1时，y有最大值7，把x＝﹣1代入函数关系式得 7＝﹣a﹣a+2，解得a＝﹣，
所以a＝或a＝﹣，
故答案为或﹣．
【点评】本题考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
三、解答题（共9个小题，共86分）
17．（8分）化简与求值：
（1）；
（2）．
【分析】（1）原式先计算除法，再计算减法运算即可求出值；
（2）利用平方差公式和完全平方公式展开，再计算加减即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝3﹣
＝2；
（2）原式＝4﹣5﹣3+4﹣4
＝﹣8+4．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（10分）解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）运用加减消元法解出x的值，再运用代入消元法解出y的值，即可作答；
（2）先去分母，再运用代入消元法解出y的值，即可作答．
【解答】解：（1）因为，
所以②+①×2，得11x＝66，
解得x＝6，
把x＝6代入①，得18+4y＝16，
解得，
所以方程组的解为；
（2）因为，
所以整理①得3x﹣3+2y+2＝6，即3x+2y＝7，
所以整理②得x＝4﹣y，
把x＝4﹣y代入3x+2y＝7，
得3×（4﹣y）+2y＝7，
解得y＝5，
把y＝5代入x＝4﹣y，
解得x＝﹣1，
所以方程组的解为．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能选择适当的方法解方程组是解此题的关键．
19．（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）在y轴上求作点D，使得AD+BD最小，请你直接写出D点坐标；
（3）若点P为x轴上一动点，且满足△BCP的面积为1，请你直接写出P点坐标．
【分析】（1）根据题意和图形，可以画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）根据轴对称和两点之间线段，可以得到使得AD+BD最小时点D所在的位置，然后写出D点坐标即可；
（3）分3种情况结合图形求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标是（3，﹣2）；
（2）作点A 关于y轴的对称点A'，连接BA'与y轴交于点D，则此时AD+BD最小，D点坐标是（0，2）．
（3）如图，当P（1，0）时，．
如图，当P点横坐标大于1，时，，不符合题意；
当P点横坐标小于1时，同理可求S△BCP＜1，不符合题意；
综上可知，当△BCP的面积为1时，P点坐标（1，0）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称图象、最短路径问题，坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（8分）某班级为表彰运动会表现优秀的同学，班主任老师安排小明和小红购买奖品，图①，图2是小明和小红购买奖品后的对话情境，根据信息解决问题，试计算两种笔记本各买了多少本？
【分析】依题意，设5元的笔记本买了x本，8元的笔记本买了y本，由图中信息列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设5元的笔记本买了x本，8元的笔记本买了y本，
由题意得：
，
整理得
解得：
所以5元的笔记本买了25本，8元的笔记本买了15本．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
21．（8分）为了积极响应国家新农村建设的号召，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行广播宣传．如图，笔直的公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄到公路MN的距离为600m，假使宣讲车P周围1000m以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶．
（1）村庄能否听到广播宣传？请说明理由．
（2）已知宣讲车的速度是200m/min，如果村庄能听到广播宣传，那么总共能听多长时间？
【分析】（1）根据村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，即可得出村庄能听到广播宣传．
（2）根据勾股定理得到BP＝BQ＝＝800（米），求得PQ＝1600米，即可得出结果．
【解答】解：（1）村庄能听到广播宣传，理由如下：
∵村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，
∴村庄能听到广播宣传．
（2）如图：假设当宣传车行驶到P点开始能听到广播，行驶到Q点不能听到广播，
则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，
由勾股定理得：
BP＝BQ＝＝800（米），
∴PQ＝1600米，
∴能听到广播的时间为：1600÷200＝8（分钟），
∴村庄总共能听到8分钟的宣传．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，结合生活实际，便于更好的理解题意是解题的关键
22．（10分）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图①所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种上面无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．
（1）做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需正方形纸板张 5 张（直接填空），需长方形纸板 10 张（直接填空）．
（2）若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？（要求列二元一次方程组解决此问题）
【分析】（1）利用需要正方形纸板张数＝1×制作竖式纸盒个数+2×制作横式纸盒个数，可求出所需正方形纸板张数，利用需要长方形纸板张数＝4×制作竖式纸盒个数+3×制作横式纸盒个数，即可求出所需长方形纸板张数；
（2）设加工竖式纸盒x个，横式纸盒y个，根据制作的两种纸盒正好使用正方形纸板162张、长方形纸板338张，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵1×1+2×2＝5（张），4×1+3×2＝10（张），
∴做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需正方形纸板张5张，需长方形纸板10张．
故答案为：5，10；
（2）设加工竖式纸盒x个，横式纸盒y个，
根据题意得：，
解得：．
答：加工竖式纸盒38个，横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
23．（10分）小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：
∵，
∴．
∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：＝ ﹣1 ；
（2）计算：+；
（3）若a＝，求2a2﹣8a+1的值．
【分析】（1）直接分母有理化得出答案；
（2）直接分母有理化得出答案；
（3）根据题意得出a的值，再得出a2﹣4a＝1，再把已知变形得出答案．
【解答】解：（1）＝＝﹣1．
故答案为：﹣1；
（2）原式＝（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）
＝﹣1
＝10﹣1
＝9．
（3）因为a＝＝+2，
所以a﹣2＝．所以（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5．
所以a2﹣4a＝1．
所以2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×1+1＝3．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算以及二3．次根式化简求值，正确化简二次根式是解题关键．
24．（12分）在A、B两地之间有服务区C，甲车由A地驶往服务区C，乙车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离服务区C的路程y1、y2（单位：千米）与乙车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车的速度是 70 千米/时；
（2）求图象中线段DF的函数解析式；
（3）当两车距服务区C的路程之和是360千米时，直接写出此时乙车的行驶时间．
【分析】（1）根据函数图象，结合路程除以速度，即可求解；
（2）先求得乙车的速度，进而得出F（9，420），待定系数求得解析式，即可求解；
（3）分别求得各段解析式，根据题意，列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【解答】解：（1）由图象可知，甲车的平均速度为＝70（千米/小时），
故答案为：70；
（2）由图象可知，乙车的速度为＝60（千米/小时），
∴乙车到达A地所用时间为＝7（小时），
∴乙车从B地到A地所用时间为2+7＝9（小时），
∴F（9，420），
设DF所在直线的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
把D（2，0）和F（9，420）代入解析式得：
，
解得，
∴DF所在直线的函数解析式为y2＝60x﹣120；
（3）依题意得：y1＝﹣70x+420（0≤x≤2），
y2＝，
设乙车的行驶x小时后，两车距服务区C的路程之和是360千米，
①甲乙未相遇时，
则﹣70x+420﹣60x+120＝360，
解得x＝；
②当乙车经过服务区C，
﹣70x+420+60x﹣120＝360，
解得x＝﹣6（舍）；
③当甲乙相遇后，
60x﹣120＝360，
解得x＝8．
综上所述，当乙车小时或8小时时两车距服务区C的路程之和是360千米．
【点评】本题考查了一次函数的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意结合图象说出其图象表示的实际意义，这样便于理解题意及正确的解题．
25．（12分）如图1，已知直线l1：y＝﹣x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与y轴交于点C（0，﹣1），与直线l1交于点D（2，t）．
（1）求直线l2的解析式；
（2）如图2，若点P在直线l1上，过点P作PQ∥y轴交l2于点Q，交x轴于点G，使S△PCG＝2S△QCG，求此时P点的坐标；
（3）将直线l1：y＝﹣x+5向左平移10个单位得直线l3交x轴于点E，点F是点C关于原点的对称点．过点F作直线l4∥x轴．在直线l4上是否存在动点M，使得△MCE为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1 ）把点D坐标代入直线l1：y＝﹣x+5求出t的值，利用待定系数法即可求解；
（2 ）根据三角形面积公式可得PG＝2QG，即可求解；
（3）设M（a，1），则MC＝＝，ME＝，CE＝，分ME＝MC，CE＝MC，ME＝CE三种情况列式求解即可．
【解答】解：（1）∵D（2，t）在直线l1：y＝﹣x+5上，
∴t＝﹣2+5＝3，
∴D（2，3），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
将点C，D代入得，，
解得，，
所以，直线l2的解析式为y＝2x﹣1；
（2）设P（a，5﹣a），
∵PQ∥y轴，
G（a，0），Q（a，2a﹣1），
分两种情况：
①如图，点P、Q在x轴两侧，
∵S△PCG＝PG•|a|，S△QCG＝GQ•|a|且S△PCG＝2S△QCG，
∴PG＝2QG，
∴5﹣a＝2（1﹣2a），
解得：a＝﹣1，
∴P点的坐标为（﹣1，6）；
②如图，点P、Q都在x轴上方，
∵S△PCG＝PG•|a|，S△QCG＝GQ•|a|且S△PCG＝2S△QCG，
∴PG＝2QG，
∴5﹣a＝2（2a﹣1），
解得：a＝，
∴P点的坐标为（，）；
综上，P点的坐标为（﹣1，6）或（，）；
（3）存在，理由如下：
对于直线l1：y＝﹣x+5，
当x＝0时，y＝5；当y＝0时，x＝5．
∴A（5.0），B（0.5），
∵将直线l1：y＝﹣x+5向左平移10个单位得直线l3交x轴于点E，点F是点C关于原点的对称点．点C（0，﹣1），
∴E﹣5.0），N（0．﹣5），F（0，1），
如图，
∵将直线l1：y＝﹣x+5向左平移10个单位得直线l3，
∴直线l3：y＝﹣x﹣5，
又∵F（0.1）
∴l4的解析式为：y＝1，
设M（a，1），则MC＝＝，ME＝，CE＝，
当△MCE为等腰三角形，有：
①ME＝MC时，＝，
解得，a＝﹣，即M（﹣，1），
②CE＝MC时，＝，
解得：a＝或a＝﹣，
即M（，1）．M（﹣，1），
③ME＝CE时，＝，
解得，a＝0或a＝﹣10（此时三点共线，不构成三角形，舍去），
即M（0，1），
综上，点M的坐标为：M（﹣，1）或M（，1）或M（﹣，1）或M（0，1）．
【点评】本题为一次函数综合题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，等腰三角形的性质等知识，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．燃烧时间/分
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