2023-2024学年山东省青岛市市北区九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年山东省青岛市市北区九年级（上）期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x2+y＝1B．2x+1＝0C．（x+1）2＝4D．
2．（3分）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
3．（3分）已知关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为（ ）
A．4B．﹣4C．3D．﹣3
4．（3分）菱形ABCD的对角线长分别为5和8，它的面积为（ ）
A．20B．40C．24D．30
5．（3分）在数字1，2，3，4中任选两个组成一个两位数，这个两位数能被6整除的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭AB的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点E处放置了一平面镜，并测得BE＝12米；②沿着直线BE后退到点D处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端A，并测得ED＝3米，眼睛到地面的距离CD＝1.6米（此时∠AEB＝∠CED），那么凉亭AB的高为（ ）
A．6.3米B．6.4米C．6.5米D．6.6米
7．（3分）如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标为（ ）
A．（0，0）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（0，﹣1）
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD，DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①AE＝FC，②∠PDE＝15°，③＝，④＝，⑤DE2＝PI•FC，其中正确的为​（ ）
A．①②③B．①②⑤C．②③④⑤D．①②④⑤
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）若，则＝ ．
10．（3分）一个口袋中有5个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，才用了如下的方法；从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有 个．
11．（3分）生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是 ，化为一般形式为 ．
12．（3分）如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB＝6，则DP的长度为 ．
13．（3分）某区为了大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全区学校的设施和设备进行全面改造和更新，2021年区政府己投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2023年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为 ．
14．（3分）如图，把△ABC沿边AB平移到△A1B1C11的位置，图中所示的三角形的面积S1与四边形的面积S2之比为4：5，若AB＝4，则此三角形平移的距离是 ．
​
三、作图题（本大题满分6分）
15．（6分）已知：如图，线段a和∠α．
求作：矩形ABCD，使对角线AC＝a，两条对角线AC、BD的夹角为α．
结论： ．
四、解答题（本大题共7小题，共72分）
16．（18分）（1）用配方法解方程：4x2﹣8x﹣3＝0；
（2）用适当方法解方程：4（2x+1）2﹣9（2x﹣1）2＝0；
（3）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，求m的范围．
17．（6分）甲口袋装有编号为1，2的两张卡片，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五张卡片，两口袋中的卡片除编号外都相同．小刚先从甲口袋中随机抽出一张卡片，小颖再从乙口袋中随机抽出一张卡片，若两张卡片编号之和为奇数，则小刚获胜；若两张卡片编号之和为偶数，则小颖获胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
18．（6分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE＝∠B．
（1）证明：△ADB∽△AED．
（2）若AE＝3，AD＝5，求AB的长．
19．（10分）尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．
（1）若每件商品降价x元，则商店每天的平均销量是 件（用含x的代数式表示，需要化简）；
（2）不考虑其他因素的影响，若商店平均每天至少要销售该商品200件，平均每天的利润达到1280元，每件商品的定价应为多少元？
20．（10分）已知：如图1，四边形BEDF是平行四边形，点A、C在对角线EF所在直线上，且AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）如图2，连接AD、BC，若AC平分∠BAD，四边形ABCD是什么特殊的四边形？请说明理由．
21．（10分）【发现与思考】
如图①，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC中点，连接OE，AE，AE与BD交于点F，AB＝4，BC＝6．
（1）直接写出线段OE、AE的长度：OE＝ ，AE＝ ；
（2）直接写出线段BF与BD的比值：＝ ；
【方法与探究】
如果将【发现与思考】中的“在矩形ABCD中”这一条件变得更为一般化，改为“在平行四边形ABCD中”——如图②，那么条件变了，线段BF与BD的比值是否保持不变？请说明理由；
【拓展与应用】
如图③，在△ABC中，中线AE与中线BD相交于点F，点H是CD的中点，连接HF并延长交AB于点G，若AC＝4，AB＝3，则请直接写出线段AG的长度：AG＝ ．
22．（12分）已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，对角线AC、BD相交于点E，动点M从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；与M点同时，动点N从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为2cm/s；当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动．设运动时间为t（s），（0≤t≤4）．解答下列问题：
（1）当t＝ ，以M、N、C为顶点的三角形与以D、B、C为顶点的三角形相似；
（2）设△MNE的面积为S，求出S与t的函数表达式；
（3）延长ME，NE分别交AB，AD于P，Q，连接NP，PQ，MQ，是否存在某一时刻t，使四边形MNPQ是矩形？若存在，求出这一时刻的t值；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年山东省青岛市市北区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x2+y＝1B．2x+1＝0C．（x+1）2＝4D．
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．方程2x2+y＝1是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．方程2x+1＝0是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．方程（x+1）2＝4是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．方程＝x2+1是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）是解此题的关键．
2．（3分）下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【分析】直接利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法分别判断得出答案．
【解答】解：A．对角线相等的四边形是矩形，错误，不合题意；
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，是真命题；
C．对角线相等的四边形是矩形，错误，不合题意；
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形，错误，不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了命题与定理，正确掌握特殊四边形的判定方法是解题关键．
3．（3分）已知关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，则实数m的值为（ ）
A．4B．﹣4C．3D．﹣3
【分析】根据方程根的定义，将x＝1代入方程，解出m的值即可．
【解答】解：关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为x＝1，
所以1+m+3＝0
解得m＝﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握由方程的根求待定系数的方法是将根代入方程求解．
4．（3分）菱形ABCD的对角线长分别为5和8，它的面积为（ ）
A．20B．40C．24D．30
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，计算即可．
【解答】解：菱形的面积为：×5×8＝20；
故选：A．
【点评】本题考查菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
5．（3分）在数字1，2，3，4中任选两个组成一个两位数，这个两位数能被6整除的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及这个两位数能被6整除的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中这个两位数能被6整除的结果有：12，24，42，共3种，
∴这个两位数能被6整除的概率为＝．
故选：C．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
6．（3分）如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭AB的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点E处放置了一平面镜，并测得BE＝12米；②沿着直线BE后退到点D处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端A，并测得ED＝3米，眼睛到地面的距离CD＝1.6米（此时∠AEB＝∠CED），那么凉亭AB的高为（ ）
A．6.3米B．6.4米C．6.5米D．6.6米
【分析】根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答．
【解答】解：根据题意，易得∠CDE＝∠ABE＝90°，∠CED＝∠AEB，
则△ABE∽△CDE，
则＝，即＝，
解得：AB＝6.4．
故树高为6.4米．
故选：B．
【点评】此题考查的是相似三角形的应用，应用反射的基本性质，得出三角形相似是解题关键．
7．（3分）如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标为（ ）
A．（0，0）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（0，﹣1）
【分析】直接利用位似图形的性质得出位似中心即可．
【解答】解：如图所示：位似中心的坐标为（0，﹣1）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了位似变换，解题的关键是正确掌握位似图形的性质．
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD，DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①AE＝FC，②∠PDE＝15°，③＝，④＝，⑤DE2＝PI•FC，其中正确的为​（ ）
A．①②③B．①②⑤C．②③④⑤D．①②④⑤
【分析】由△BPC是等边三角形，得AE＝，而BE＝CF，故①正确；由PC＝BC＝CD，∠PCD＝90°﹣60°＝30°，可判定②正确；由△FDN∽△CHB，得，由△BHC与△DHC同高，可知，则判定③错误，过点D作DM⊥CP于M，过点P作PN⊥BC于N，然后根据三角形面积公式即可判断④，由△PED∽△DEB，得，则ED2＝PE•BE，可判定⑤正确．
【解答】解：∵△BPC为等边三角形，
∴PB＝PC，∠PBC＝∠PCB＝60°，
∵FE∥BC，
∴△FEP∽△CPB，
又∵PB＝PC，
∴PE＝PF，
∴FC＝EB，
∵∠PBC＝60°，∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝30°，
在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，
∴AE＝，
又∵BE＝FC，
∴AE＝，
故①正确；
∵PC＝BC＝CD，∠PCD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DPC＝∠PDC＝＝75°，
∴∠PDE＝∠ADC﹣∠PDC＝90°﹣75°＝15°，
故②正确；
∵FD∥BC，
∴△FDH∽△CBH，
∴，
又∵△BHC与△DHC同高，
∴，
又∵，F不是AD中点，
∴≠，
∴，
故③错误；
过点D作DM⊥CP于M，过点P作PN⊥BC于N，
由题意可得∠DCM＝30°，∠CPN＝30，
∴DM＝，PN＝PC＝CD，
∴＝＝，
故④正确，
∵∠EPD＝180°﹣∠EPF﹣∠DPC＝180°﹣60°﹣75°＝45°＝∠ADB，
∠PED＝∠PED，
∴△PED∽△DEB，
∴，
∴ED2＝PE•BE，
又∵PE＝PF，BE＝FC，
∴DE2＝PF•FC，
故⑤正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）若，则＝ ．
【分析】利用设k法来解答是解题的关键．
【解答】解：∵，
∴设a＝4k，b＝7k，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
10．（3分）一个口袋中有5个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数，才用了如下的方法；从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，不断重复上述过程．小明共摸了100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有 20 个．
【分析】小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，则有80次摸到白球；摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：4，由此可估计口袋中黑球和白球个数之比为1：4；即可计算出白球数．
【解答】解：∵小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，则有80次摸到白球，
∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：4，
∵这个口袋中有5个黑球，
∴共有白球5×4＝20个，
故答案为：20
【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．
11．（3分）生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是 x（x﹣1）＝182 ，化为一般形式为 x2﹣x﹣182＝0 ．
【分析】全组有x名同学，总共赠送了x（x﹣1）件，根据题意可列方程x（x﹣1）＝182，然后化为一般形式．
【解答】解：可列方程x（x﹣1）＝182，
一般形式为x2﹣x﹣182＝0．
故答案为：x（x﹣1）＝182；x2﹣x﹣182＝0．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，弄清题意得出等量关系是解题的关键．
12．（3分）如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若AB＝6，则DP的长度为 2 ．
【分析】连接AP，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD﹣PD＝6﹣x，EP＝EF+FP＝3+x，然后根据勾股定理即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AP，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
点E是BC的中点，
∴BE＝CE＝AB＝3，
由翻折可知：AF＝AB，EF＝BE＝3，∠AFE＝∠B＝90°，
∴AD＝AF，∠AFP＝∠D＝90°，
在Rt△AFP和Rt△ADP中，
，
∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），
∴PF＝PD，
设PF＝PD＝x，则CP＝CD﹣PD＝6﹣x，EP＝EF+FP＝3+x，
在Rt△PEC中，根据勾股定理得：
EP2＝EC2+CP2，
∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2，
解得x＝2．
则DP的长度为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
13．（3分）某区为了大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全区学校的设施和设备进行全面改造和更新，2021年区政府己投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2023年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为 20% ．
【分析】利用预计2023年投资金额＝2021年投资金额×（1+每年投资的增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得5（1+x）2＝7.2，
解得x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（舍去），
故答案为：20%．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（3分）如图，把△ABC沿边AB平移到△A1B1C11的位置，图中所示的三角形的面积S1与四边形的面积S2之比为4：5，若AB＝4，则此三角形平移的距离是 ．
​
【分析】根据题意可以推出△ABC∽△A1BD，结合它们的面积比，即可推出对应边的比，即可推出AA′的长度．
【解答】解：∵把△ABC沿AB边平移到△A1B1C1的位置，
∴AC∥A1C1，
∴△ABC∽△A1BD，
∵S△A1BD：S四边形ACDA1＝4：5，
∴S：S△ABC＝4：9，
∴A1B：AB＝2：3，
∵AB＝4，
∴A1B＝，
∴AA1＝4﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平移的性质、相似三角形的判定和性质，关键在于求证△ABC∽△A1BD，推出A1B的长度．
三、作图题（本大题满分6分）
15．（6分）已知：如图，线段a和∠α．
求作：矩形ABCD，使对角线AC＝a，两条对角线AC、BD的夹角为α．
结论： 四边形ABCD即为所求 ．
【分析】作∠MAN＝α，在射线AM上截取AC，使得AC＝a，过点C作CB⊥AN一点B，分别以A，C为圆心，BC，AB为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求．
【解答】解：如图，四边形ABCD即为所求；
故答案为：四边形ABCD即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
四、解答题（本大题共7小题，共72分）
16．（18分）（1）用配方法解方程：4x2﹣8x﹣3＝0；
（2）用适当方法解方程：4（2x+1）2﹣9（2x﹣1）2＝0；
（3）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，求m的范围．
【分析】（1）用公式法解方程即可；
（2）先化成[2（2x+1）]2﹣[3（2x﹣1）]2＝0，再根据平方差公式即可求解；
（3）根据根的判别式即可求出m的取值范围．
【解答】解：（1）4x2﹣8x﹣3＝0；
配方得：4（x﹣1）2﹣7＝0，
（x﹣1）2＝，
x﹣1＝±，
x＝1±，
∴x1＝，x2＝；
（2）4（2x+1）2﹣9（2x﹣1）2＝0；
[2（2x+1）]2﹣[3（2x﹣1）]2＝0，
（4x+2）2﹣（6x﹣3）2＝0，
（4x+2﹣6x+3）（4x+2+6x﹣3）＝0，
解得x1＝﹣，x2＝；
（3）∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，
∴4﹣4（m﹣1）＞0，
解得m＜2且m≠1．
【点评】本题考查一元二次方程的解法，根的判别式，解题时要注意二次项系数不为0．
17．（6分）甲口袋装有编号为1，2的两张卡片，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五张卡片，两口袋中的卡片除编号外都相同．小刚先从甲口袋中随机抽出一张卡片，小颖再从乙口袋中随机抽出一张卡片，若两张卡片编号之和为奇数，则小刚获胜；若两张卡片编号之和为偶数，则小颖获胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【分析】画树状图展示所有10种等可能的结果，再找出其中两张卡片编号之和为奇数的结果数和两张卡片编号之和为偶数的结果数，然后计算小刚获胜的概率和小颖获胜的概率，则通过比较两概率的大小可判断游戏是否公平．
【解答】解：画树状图为：
共有10种等可能的结果，其中两张卡片编号之和为奇数的结果数为5，两张卡片编号之和为偶数的结果数为5，
所以小刚获胜的概率＝＝，小颖获胜的概率＝＝，
而＝，
所以这个游戏对双方是公平的．
【点评】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
18．（6分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE＝∠B．
（1）证明：△ADB∽△AED．
（2）若AE＝3，AD＝5，求AB的长．
【分析】（1）证出∠BAD＝∠EAD．根据相似三角形的判定可得出结论；
（2）由相似三角形的性质可得出，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠EAD．
∵∠ADE＝∠B，
∴△ADB∽△AED．
（2）解：∵△ADB∽△AED，
∴，
∵AE＝3，AD＝5，
∴，
∴AB＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
19．（10分）尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出20件．
（1）若每件商品降价x元，则商店每天的平均销量是 （80+40x） 件（用含x的代数式表示，需要化简）；
（2）不考虑其他因素的影响，若商店平均每天至少要销售该商品200件，平均每天的利润达到1280元，每件商品的定价应为多少元？
【分析】（1）利用商店每天的平均销售量＝80+20×，即可求出结论；
（2）设每件商品的定价为x元，则每件商品的销售利润为（x﹣15）元，平均每天能售出（1080﹣40x）件，利用总利润＝每件的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于x 一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）80+×20
＝80+40x（件）．
故答案为：（80+40x）．
（2）设每件商品的定价为x元，则每件商品的销售利润为（x﹣15）元，平均每天能售出80+×20＝（1080﹣40x）件，
依题意得：（x﹣15）（1080﹣40x）＝1280，
整理得：x2﹣42x+437＝0，
解得：x1＝19，x2＝23．
当x1＝23时，1080﹣40×23＝160＜200舍去，
答：每件商品的定价应为19元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．（10分）已知：如图1，四边形BEDF是平行四边形，点A、C在对角线EF所在直线上，且AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）如图2，连接AD、BC，若AC平分∠BAD，四边形ABCD是什么特殊的四边形？请说明理由．
【分析】（1）根据SAS可得：△ABE≌△CDF
（2）连接BD交AC于点O，证明四边形ABCD是菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形BEDF是平行四边形，
∴BE＝DF，BE∥DF，
∴∠BEF＝∠DFE，
∴∠AEB＝∠CFD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：四边形ABCD是菱形，理由如下：
如图，连接BD交AC于点O，
∵△ABE≌△CDF，
∴∠BAC＝∠DCA，AB＝CD，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴DA＝DC，
∴四边形ABCD是菱形，
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
21．（10分）【发现与思考】
如图①，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC中点，连接OE，AE，AE与BD交于点F，AB＝4，BC＝6．
（1）直接写出线段OE、AE的长度：OE＝ 2 ，AE＝ 5 ；
（2）直接写出线段BF与BD的比值：＝ ；
【方法与探究】
如果将【发现与思考】中的“在矩形ABCD中”这一条件变得更为一般化，改为“在平行四边形ABCD中”——如图②，那么条件变了，线段BF与BD的比值是否保持不变？请说明理由；
【拓展与应用】
如图③，在△ABC中，中线AE与中线BD相交于点F，点H是CD的中点，连接HF并延长交AB于点G，若AC＝4，AB＝3，则请直接写出线段AG的长度：AG＝ ．
【分析】（1）根据矩形的性质得到AO＝OC，∠ABC＝90°，BO＝OD＝BD，根据三角形中位线定理得到OE＝＝＝2；根据勾股定理即可得到结论；
（2）由（1）知，OE是△ACB的中位线，根据相似三角形的性质得到BF＝2OF，根据矩形的性质得到BO＝OD＝BD，于是得到结论；
【方法与探究】根据平行四边形的性质得到AO＝OC，BO＝OD＝BD，根据三角形中位线定理得到OE∥AB，OE＝AB，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
【拓展与应用】如图③，过D作DP∥BC交AE于P，过C作CN∥HG交BD于M，交AB于N，根据三角形中位线定理和相似三角形的性质得到结论．
【解答】解：【发现与思考】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC，∠ABC＝90°，BO＝OD＝BD，
∵点E是BC中点，
∴BE＝，
∴OE是△ACB的中位线，
∴OE＝＝＝2；
∴AE＝＝＝5；
故答案为：2，5；
（2）由（1）知，OE是△ACB的中位线，
∴OE∥AB，OE＝AB，
∴△OFE∽△BFA，
∴＝，
∴BF＝2OF，
∴OB＝OD＝3OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BO＝OD＝BD，
∴＝＝；
故答案为：；
【方法与探究】不变，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝OD＝BD，
∵点E是BC中点，
∴BE＝CE，
∴OE是△ACB的中位线，
∴OE∥AB，OE＝AB，
∴△OFE∽△BFA，
∴＝，
∴BF＝2OF，
∴OB＝OD＝3OF，
∴BD＝6OF，
∴＝＝；
故答案为：；
【拓展与应用】
如图③，过D作DP∥BC交AE于P，
∵BD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∴AP＝PE，
∴PD是△ACE的中位线，
∴PD＝，
∵AE是△ABC的中线，
∴BE＝CE，
∴PD＝BE，
∵PD∥BC，
∴△PDF∽△EBF，
∴，
如图③，过C作CN∥HG交BD于M，交AB于N，
∵点H是CD的中点，
∴DH＝CH，
∴DF＝FM，
∴BM＝FM，
∴BN＝GN，
∵HG∥CN，
∴＝3，
∴AG＝3NG，
∴AB＝5NG，
∴＝＝，
∴AB＝3，
∴AG＝．
故答案为：．
【点评】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
22．（12分）已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，对角线AC、BD相交于点E，动点M从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；与M点同时，动点N从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为2cm/s；当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动．设运动时间为t（s），（0≤t≤4）．解答下列问题：
（1）当t＝ 或 ，以M、N、C为顶点的三角形与以D、B、C为顶点的三角形相似；
（2）设△MNE的面积为S，求出S与t的函数表达式；
（3）延长ME，NE分别交AB，AD于P，Q，连接NP，PQ，MQ，是否存在某一时刻t，使四边形MNPQ是矩形？若存在，求出这一时刻的t值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）分两种情况讨论，由相似三角形的判定列出等式，即可求解；
（2）由面积的和差关系可求解；
（3）先证四边形PNMQ是平行四边形，则当QN＝PM时，平行四边形PNMQ是矩形，由勾股定理可求解．
【解答】解：（1）∵∠BCD＝∠MCN＝90°，
∴当或时，△MCN和△DCB相似，
若，则，
解得：t＝，
若，则，
解得：t＝，
故答案为：或；
（2）如图，过点E作EF⊥BC于F，EH⊥CD于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AE＝EC，BE＝DE，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴EF∥AB，EH∥BC，
∴＝＝，＝＝，
∴EF＝3cm，EH＝4cm，
∴△MNE的面积＝S＝×6×8﹣×2t×（6﹣t）﹣×（8﹣2t）×3﹣×4×t＝t2﹣5t+12；
∴S与t的函数表达式为：S＝t2﹣5t+12；
（3）存在，
如图，过点E作EF⊥BC于F，EH⊥CD于H，
∵AB∥DC，AD∥BC，
∴＝1，＝1，
∴PE＝EM，QE＝EN，
∴四边形PNMQ是平行四边形，
∴当QN＝PM时，平行四边形PNMQ是矩形，
∴EN＝EM，
∴（2t﹣4）2+32＝（3﹣t）2+42，
∴t＝0（舍去），t＝，
∴t的值为．
【点评】本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．