四川省德阳市2023-2024学年高二下学期期末数学试题

这是一份四川省德阳市2023-2024学年高二下学期期末数学试题，共9页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页，2160的不同正因数个数为，设i为虚数单位，复数满足，则，双曲线C等内容，欢迎下载使用。

说明：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．
2．本试卷满分150分，120分钟完卷．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．集合，集合，则集合（ ）
A．B．C．D．
2．平面向量，，若，则实数（ ）
A．B．9C．D．
3．已知二项式的展开式中的系数是，则实数a的值为（ ）
A．B．4C．D．2
4．为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布．试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为（ ）
A．0.13%B．1.3%C．3%D．3.3%
参考数据：若，则，，．
5．已知定义域为R的奇函数满足，，则（ ）
A．B．5C．D．2024
6．高温可以使病毒中的蛋白质失去活性，从而达到杀死病毒的效果，某科研团队打算构建病毒的C．—2024成活率与温度的某种数学模型，通过实验得到部分数据如下表：
由上表中的数据求得回归方程为，可以预测当温度为14℃时，病毒数量为（ ）
A．12B．10C．9D．11
参考公式：，
7．体积为4的长方体中，则该长方体的最小外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．2160的不同正因数个数为（ ）
A．42B．40C．36D．30
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．设i为虚数单位，复数满足，则（ ）
A．的虚部为1B．
C．在复平面内的对应点位于第一象限D．
10．双曲线C：的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（ ）
A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为
B．双曲线C的离心率为
C．直线AP与BQ的斜率之积为
D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2
11．甲、乙、丙三名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知甲加工的次品率为6%，乙、丙加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%、30%、45%，从中任取一个零件进行检查，下列选项正确的有（ ）
A．该零件出自于甲加工的概率为0.25
B．该零件是次品的概率为0.0525
C．若该零件是次品，则出自于乙加工的概率为
D．若该零件是次品，需要对三名钳工进行罚款，则甲、乙、丙的罚款额之比为2：2：3
12．直线：与：的交点为P，记点P的轨迹为，动点Q在曲线：上，下列选项正确的有（ ）
A．若点，则
B．是面积为的圆
C．过Q作的切线，则切线长的最小值为
D．有且仅有一个点Q，使得在Q处的切线被截得的线段长为2
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案直接填在答题卡上）
13．已知函数的零点为和1，则__________．
14．口袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用X表示取出的两个球中白球的个数，则X的数学期望__________．
15．已知O为坐标原点，F为椭圆C：的右焦点，若C上存在一点P，使得为等边三角形，则椭圆C的离心率为__________．
16．，，都有，则实数m的取值范围为__________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．）
17．（本题满分10分）现代科技日新月异，电子产品更是更新换代迅速，某手机开发公司推出一款新手机，为了解某地区消费者对新手机的满意度，从中随机调查了150名消费者，得到如下数据：
（1）能否有97.5%的把握认为消费者对新手机的满意度与性别有关；
（2）若用频率估计概率，从该地区消费者中随机选取3人，用表示不满意的人数，求的分布列与数学期望．
参考数据：
（，其中）
18．（本题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，，M、N分别是BC、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
19．（本题满分12分）
已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．
（1）求内角C；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围．
20．（本题满分12分）
数列的前n项和为，且．
（1）求证：数列为等比数列，并求其通项公式；
（2）令，数列的前n项和为．求证：．
21．（本题满分12分）
已知抛物线C：的焦点F到顶点的距离为1．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，且，，求直线l在x轴上的截距的取值范围．
22．（本题满分12分）
已知在中，，，，记的面积为S．
（1）请利用所学过的相关知识证明：；
（2）已知O为坐标原点，曲线在点处的切线与该曲线的另一个交点为Q，若存在，使得的面积为，求实数的取值范围．
德阳市高中2022级第二学年教学质量监测考试
数学参考答案与评分标准
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．D2．B3．C4．A
5．A6．C7．B8．B
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9．AC10．BCD11．ABD12．AD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．414．1.215．16．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．解：（1）
所以有97.5%的把握认为消费者对新手机的满意度与性别有关．
（2）由表中数据可知，被调查者中“不满意”的频率为．
所以，，，
，，
其分布列为
所以．
18．（1）证明：由题意以A为坐标原点建立如图空间直角坐标系
则，，
所以，，
所以，
，
即，，
又，所以平面．
（2）解：由（1）知平面的法向量可取，平面的法向量可取为
设平面与平面夹角为，
则．
19．解：（1）在中由正弦定理及已知条件得：
即
由余弦定理得：
又，所以．
（2）由于为锐角三角形，所以，即，
所以，
即的取值范围为．
20．解：（1）因为①
所以当时，②
①-②得：，即
又当时，，即，所以
所以，从而数列为以2为首项，2为公比的等比数列，
；
（2）由（1）知，
所以
21．解：（1）由题意得：，所以，
从而抛物线C的方程为：．
（2）由（1）知，且必然存在斜率，故可设：，，
由得：，
则，
由得：
从而
令，由于
则
所以在上单调递增，从而
即
所以直线在轴上的截距的取值范围为．
22．解：（1）由题意得：，
所以
从而
又，，
所以，，
所以
从而
（2），所以切线的斜率为，
从而切线方程为
由
得：
所以，又，
所以的面积，
于是问题转化为关于m的方程在上有解
即在上有解或在上有解
当时，
所以在上单调递增，故而
当时，
所以在上单调递增，故而
综上得的取值范围为．温度x（℃）
6
8
10
病毒数量y（万个）
30
22
20
满意
不满意
男
60
40
女
40
10
0.150
0.100
0.050
0.025
2.072
2.706
3.841
5.024
0
1
2
3