中职数学高教版（2021）拓展模块一 上册1.2 充要条件优质教学设计

这是一份中职数学高教版（2021）拓展模块一 上册1.2 充要条件优质教学设计，共9页。教案主要包含了设计意图等内容，欢迎下载使用。

学习重难点
教材分析
本节课是通过研究椭圆的标准方程来探究椭圆的简单几何性质，是本单元的重点内容之一，利用曲线方程研究曲线的性质，是解析几何的主要任务目的，通过本节课的学习，既让学生了解了椭圆的几何性质，又让学生初步体会了利用曲线方程来研究其性质的过程，同进也为下一步学习双曲线和抛物线的性质做好了铺垫.
学情分析
学生已经学习了椭圆定义和标准方程，有亲历体验和探究的兴趣，具有一定的动手操作，归纳猜想，逻辑推理的能力．
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
（一）创设情境，生成问题
情境与问题
在基础模块,我们利用直线和圆的标准方程得到了圆的性质,是否可以利用椭圆的标准方程来研究椭圆的性质呢？
【设计意图】提示学生数形结合.
（二）调动思维，探究新知
下面以为例,探究椭圆的几何性质.
1．范围
从方程中可以看到：

即 －a≤x≤a，－b≤y≤b．
这说明椭圆位于四条直线所围成的矩形内．
这说明,椭圆位于四条直线x=-a,x=a,y=-b,y=b所围成的矩形框内,如图所示.
2.对称性
在椭圆的标准方程中，将y换成－y，方程依然成立．这说明当点P（x，y）在椭圆上时，其关于x轴的对称点也在椭圆上，因此椭圆关于x轴对称．
同理，将x换成－x，方程依然成立．这说明当点P（x，y）在椭圆上时，其关于y轴的对称点也在椭圆上；将x换成－x，y换成－y，方程依然成立．这说明当点P（x，y）在椭圆上时，其关于坐标原点的对称点也在椭圆上．
由此可知，椭圆既关于x轴对称，又关于y轴对称，还关于坐标原点对称．x轴与y轴都叫做椭圆的对称轴，坐标原点叫做椭圆的对称中心（简称中心）．
3.顶点
在方程中，令y = 0，得x = ±a，说明椭圆与x轴有两个交点和；同样，令x = 0，得y = ±b，说明椭圆与x轴有两个交点和．
椭圆与它的对称轴的交点叫做椭圆的顶点．因此四个点是椭圆的四个顶点．线段分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b．a和b分别表示椭圆的半长轴长和半短轴长．
4．离心率
椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，记作e．即
．
因为a＞c＞0，所以0＜e＜1．当e增大逐渐接近1的时候，c逐渐接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，当e减小逐渐接近0的时候，c逐渐接近0，从而逐渐接近a，此时椭圆逐渐接近于圆．
同样，可以得到椭圆的范围、对称性、顶点、长轴、短轴及离心率等基本性质.
探究与发现
为什么油罐车的储油罐、洒水车的储水箱一般设计为椭圆的形状？
可以降低分散液体对罐壁的压力，在装同体积下，同强度，椭圆型设计上可以缩小壁厚，减少材料。同时，也提高行车平衡能力，而且也便于清洗。如果是方型，就没办法把低下的油放干净，而且行车时油对壁的冲击很大.
【设计意图】椭圆的范围和对称性易于直观判断，运用代数方法进行界定可以帮助学生习得几何问题代数化的思想方法，培养学生科学严谨的科学精神.
（五）巩固知识，典例练习
【典例1】求椭圆16x²+25y²=400的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点的坐标.
解: 将所给的方程化为标准方程，得
这是焦点在x轴上的椭圆的标准方程，并且a = 5，b = 4．
因为 ．
所以椭圆的长轴长2a = 10，短轴长2b = 8，离心率焦点坐标为顶点坐标为
【典例2】分别求满足下列条件的椭圆的标准方程.
（1）经过点M(4，0) 、N(0，－3)；
（2）短轴长为6，离心率为．

解: （1）因为椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点,所以,点M、N就是椭圆的顶点,并且长半轴长a=4,短半轴长b=3.
由于椭圆的长轴在x轴上,故其焦点在x轴上.于是,所求椭圆的标准方程为
（2）因为 所以a = 5，
若椭圆的焦点在x轴上，所求的椭圆方程为
若椭圆的焦点在y轴上，所求的椭圆方程为
温馨提示
求椭圆的标准方程时,如果椭圆的焦点位置不明确,应分别就焦点在x轴和y 轴上两种情形进行讨论.
【典例3】用“描点法”画出椭圆的图形.
分析：由于椭圆具有对称性,一般只需先画出椭圆在第一象限内的图形,然后利用对称性,画出全部图形.
解: 当y≥0时,椭圆的方程可以变形为
在[0,5]内,选取几个整数作为x的值,计算出对应的y值,列表
以表中的x值为横坐标,对应的y值为纵坐标,在直角坐标系中依次描出相应的点(x,y),用光滑的曲线顺次链接各点,得到椭圆在第一象限内的图形.然后利用椭圆的对称性,画出全部图形.
温馨提示
我们可以利用椭圆的顶点和对称性画出大致图像.具体步骤如下：
（1）由a²=25,得a=5,则得到椭圆的两个顶点A1(-5,0)、A2(5,0)；
（2）由b²=9,得b=3,则得到椭圆的另外两个顶点B1(0,-3),B2(0,3) ；
（3）依据椭圆的图形特征,用光滑的曲线连接四个点,则椭圆的大致图像就画好了.
【设计意图】例1强调先将椭圆化为标准方程并要规范解题步骤，例2应强调先确定椭圆的焦点位置再求出相应的量，例3强化学生作图的能力.
（四）巩固练习，提升素养
【巩固1】求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用“描点法”画出它的图形．
解 将所给的方程化为标准方程，得
．
这是焦点在x轴上的椭圆的标准方程，并且a = 5，b = 3．
因为 ．
所以椭圆的长轴长2a = 10，短轴长2b = 6，离心率焦点坐标为顶点坐标为
【巩固2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点P(－3，0) 、Q(0，－2)；
（2）长轴长为18，离心率为．
解 （1）由于点P、Q在坐标轴上，并且以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的焦点就是椭圆的顶点，故点P、Q分别是椭圆长轴和短轴的一个端点．于是
a = 3， b = 2．
由于椭圆的长轴在x轴上，故椭圆的焦点在x轴上．因此所求的椭圆标准方程为
．
（2）因为
所以 a = 9， c = 3．
于是
椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上．因此，所求的椭圆方程为
或．
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）巩固练习，提升素养
1. 求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率、焦点和顶点的坐标.
（1）；（2）
2．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1），焦点在x轴上；
（2），焦点在y轴上；
（3）经过点P(－6，0) 、Q(0，8)；
（4）长轴长为18，离心率为．
3．求下列直线和椭圆的交点坐标
(1) ；
(2) ．
4．如图所示,一个椭圆形溜冰场的长轴的两端到同一个焦点的距离分别为40m和10m,求这个椭圆的标准方程和两个焦点的坐标.
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（六）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？


（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？


【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（七）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节3.1.2；
(2)书面作业： P63习题3.1的3，4，5,6.
（八）教学反思

知识
能力与素养
理解标准方程所表示的椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质．
学生的数学思维能力得到提高．
重点
难点
椭圆的性质．
椭圆离心率概念．
x
0
1
2
3
4
5
y
3
2.94
2.275
2.4
1.8
0