中职数学高教版（2021）拓展模块一 上册2.3 向量的内积优秀课后练习题

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基础巩固
1．已知向量与的夹角满足，且，，则（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】A
【分析】直角根据向量数量积的定义计算即可.
【详解】由题意知，.
故选：A
2．下列命题中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的加法、加法法则可判断ABD选项的正误，利用平面向量数量积可判断C选项的正误.
【详解】对于A选项，，A选项正确；
对于B选项，，B选项错误；
对于C选项，，C选项错误；
对于D选项，，D选项错误.
故选：A.
3．在锐角中，关于向量夹角的说法，正确的是（ ）
A．与的夹角是锐角B．与的夹角是锐角
C．与的夹角是锐角D．与的夹角是钝角
【答案】C
【分析】作出图形，结合向量夹角的定义可得出合适的选项.
【详解】如下图所示：
对于A选项，与的夹角为，为钝角，A错；
对于B选项，与的夹角为，为钝角，B错；
对于CD选项，与的夹角等于，为锐角，C对D错；
故选：C.
4．给出以下结论，其中正确结论的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由平面向量数量积的定义对结论逐一判断
【详解】由数量积的定义知，
对于①，若，则或，不一定成立，①错误
对于②，成立，②正确
对于③，与共线，与共线，两向量不一定相等，③错误
对于④，，④正确
故选：B
5．已知，，，则与的夹角是（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【答案】C
【分析】利用向量夹角余弦公式进行求解.
【详解】，
因为，
所以，
与的夹角是120°.
故选：C
6．已知平面向量满足与的夹角为,则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】利用向量数量积运算法则得到，从而得到.
【详解】，
所以,
故选：D
能力进阶
1．已知等边三角形，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量夹角的定义求解即可.
【详解】因为等边三角形，故与的夹角为，与的夹角和与的夹角互补，为.
故选：A
2．在中，若，则此三角形为（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形
【答案】A
【分析】由向量数量积的定义式可得，即可判断.
【详解】∵，
∴，
∴是钝角，则△ABC是钝角三角形.
故选：A.
3．若的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】由数量积的定义即可计算
【详解】.
故选：B
4．已知向量，满足，，且，的夹角为30°，则（ ）
A．B．7C．D．3
【答案】C
【分析】计算出，再根据计算出结果.
【详解】由题意得：，
所以.
故选：C
5．已知向量均为单位向量，且，则（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】B
【分析】根据向量数量积的运算性质及垂直关系的向量表示即可求解.
【详解】解：因为向量均为单位向量，且，
所以，，
所以，
故选：B.
6．已知，且与的夹角为120°.
求：(1) ； (2) ； (3) .
【答案】（1）-1
（2）-5
（3）
【详解】试题分析：解： (1) 4分
(2) 8分
(3) （12分）
素养提升
1．下列命题正确的是（ ）
A．单位向量都相等B．若与都是单位向量，则
C．D．若与共线，与共线，则与共线
【答案】C
【分析】根据单位向量的定义、向量数乘、及向量共线的前提条件，可判断各选项的正误.
【详解】A：单位向量的模为1，但方向不一定相同，错误；
B：若与都是单位向量，当夹角为0时，夹角不为0则不为1，错误；
C：由向量数乘仍为向量，模扩大或缩短相应的倍数，知：，正确；
D：若与共线，与共线，当为零向量时，则与不一定共线，错误；
故选：C
2．已知与均为单位向量，且与的夹角为，则（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】D
【分析】根据结合数量积的运算律即可得解.
【详解】解：因为与均为单位向量，且与的夹角为，
所以.
故选：D.
3．平面向量满足，且，则（ ）
A．B．13C．D．21
【答案】A
【分析】由得到，由向量数量积运算法则求出，从而求出.
【详解】由得：，所以，其中，故.
故选：A
4．已知单位向量的夹角为，与垂直，则 ______
【答案】##0.5
【分析】由与的数量积为0可得值．
【详解】，
与垂直，则，．
故答案为：．
5．已知向量满足，且．
(1)求与的夹角；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数量积的定义和运算律即可求解夹角.
（2）根据模长公式即可求解.
（1）
由，
得，因为，所以．
（2）
由题意得