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中职数学高教版(2021)拓展模块一 上册4.4.2 二面角优秀精练
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基础巩固
1.从一条直线出发的两个___________所组成的空间图形叫做二面角.
【答案】半平面
2.在正方体中,二面角的大小是___________.
【答案】##
【分析】根据二面角的定义判断二面角的大小.
【详解】画出图象如下图所示,
由于,
所以是二面角的平面角,
根据正方体的性质可知.
故答案为:
3.自二面角内任意一点分别向两个面引垂线,则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是( )
A.相等B.互补C.互余D.相等或互补
【答案】D
【分析】作出图像数形结合即可判断.
【详解】如图,
A为二面角αlβ内任意一点,AB⊥α,AC⊥β,过B作BD⊥l于D、连接CD,
则∠BDC为二面角αlβ的平面角,∠ABD=∠ACD=90°,
∠BAC为两条垂线AB与AC所成角或其补角,
∵∠A+∠BDC=180°,
∴当二面角的平面角为锐角或直角时,AB与AC所成角与二面角的平面角大小相等,
当二面角的平面角为钝角时,AB与AC所成角与二面角的平面角大小互补.
故选:D.
4.以下说法正确的是( )
A.空间异面直线的夹角取值范围是
B.直线与平面的夹角的取值范围是
C.二面角的取值范围是
D.向量与向量夹角的取值范围是
【答案】C
【分析】空间异面直线的夹角取值范围是,所以选项错误;直线与平面的夹角的取值范围是,所以选项错误;二面角的取值范围是,所以选项正确;向量与向量夹角的取值范围是,所以选项错误.
【详解】选项:空间异面直线的夹角取值范围是,所以选项错误;
选项:直线与平面的夹角的取值范围是,所以选项错误;
选项:二面角的取值范围是,所以选项正确;
选项:向量与向量夹角的取值范围是,所以选项错误.
故选:C
5.如图,P是二面角内的一点,PA⊥α,PB⊥β,垂足分别为A,B.若∠APB=80°,则二面角的大小为____.
【答案】100°####
【分析】根据∠APB与二面角大小互补进行求解
【详解】设二面角的大小为,
因为PA⊥α,PB⊥β,垂足分别为A,B.,
所以,所以.
故答案为:100°
6.已知二面角的大小为130°,两条异面直线a,b满足,,且,,则a,b所成角的大小为___________.
【答案】50°
【分析】利用a,b所成角与二面角的平面角的关系求解.
【详解】解:由题意知a,b所成角与二面角的平面角互补,
又二面角的大小为130°,
所以a,b所成角的大小为50°.
故答案为:50°
能力进阶
1.二面角的定义
从一条直线出发的两个______所组成的图形叫做二面角.这条______叫做二面角的棱,这两个______叫做二面角的面.
[问题]二面角的范围是什么?_____
【答案】 半平面 直线 半平面 .
【分析】根据二面角的定义填空.
【详解】从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面,
故答案为:半平面,直线,半平面,
2.若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系是( )
A.相等B.互补
C.相等或互补D.不确定
【答案】C
【分析】根据二面角的性质进行求解即可.
【详解】若方向相同则相等,若方向相反则互补,
故选:C.
3.如图,已知,,垂足为、,若,则二面角的大小是______.
【答案】##
【分析】根据与二面角大小互补进行求解.
【详解】设二面角的大小为,
因为,,垂足为、,
所以,又,所以.
故答案为:
4.在正方体中,二面角的大小是________.
【答案】
【分析】在正方体中,,则是二面角的平面角,即可得出答案.
【详解】在正方体中,平面.
所以
所以是二面角的平面角.
在直角中,,所以
故答案为:
5.自二面角内任意一点分别向两个面引垂线,则两垂线的夹角与二面角的平面角的关系是( )
A.相等B.互补C.互余D.无法确定
【答案】D
【分析】根据题意作出相应图形如图,找到二面角的平面角以及两垂线的夹角即可得到答案.
【详解】
如图,过二面角内的一点作,设BD、CD为AB、AC所在平面与α、β的交线,
则平面,从而
所以∠BDC为二面角α-l-β的平面角.
又∠ABD=∠ACD=90°,
所以∠A+∠BDC=180°.
当时,为两垂线的夹角,此时两垂线的夹角与二面角的平面角互补;
当时,两垂线的夹角等于,此时两垂线的夹角与二面角的平面角相等;
即两垂线的夹角与二面角的平面角的关系是相等或互补.
故选:D.
素养提升
1.二面角及其相关概念:平面内的一条直线把这个平面分成两部分,其中的每一个部分都叫做__________.一条直线和由这条直线出发的__________所组成的图形叫做__________,这条直线叫做__________,每个半平面叫做__________.
二面角的表示方法:______________________________.
二面角的平面角的概念:以二面角的棱上__________为端点,在两个面内分别作__________,这两条射线所成的角叫做__________.
二面角的取值范围是____________________.
平面角是直角的二面角叫做____________________
【答案】 半平面 两个半平面 二面角 二面角的棱 二面角的面 二面角,二面角 任意一点 垂直于棱的射线 二面角的平面角 直二面角
【分析】根据二面角及其相关概念填空即可.
【详解】二面角的概念: 平面内的一条直线把这个平面分成两部分,其中的每一个部分都叫作半平面.一条直线和由这条直线出发的所组成的两个半平面图形叫作二面角,这条直线叫作二面角的棱,每个半平面叫作二面角的面.
二面角的表示方法: 二面角,二面角
二面角的平面角的概念:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的射线, 这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.
二面角的取值范围是:
平面角是直角的二面角叫作: 直二面角
故答案为: 半平面,两个半平面,二面角,二面角的棱,二面角的面
,二面角,二面角,任意一点,垂直于棱的射线
,二面角的平面角,,直二面角
2.如图,在长方体中,为的中点,则二面角的大小为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【分析】由二面角的定义证明即为二面角的平面角,求出此角即得.
【详解】如图,在长方体中,平面,平面,平面,所以,且,所以即为二面角的平面角,又,易得.
故选:B.
3.下列命题错误的是( )
A.若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线
B.如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线也与这个平面平行
C.如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行
D.一个平面垂直于二面角的棱,它和二面角的两个面的交线形成的角就是二面角的一个平面角
【答案】B
【分析】利用线面垂直的定义可判断A,利用线面的位置关系可判断B,利用面面平行判定定理可判断C,利用二面角的定义可判断D.
【详解】A,一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线,故A正确;
B,如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线与这个平面平行或在这个平面内,故B错误;
C,如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行,故C正确;
D,一个平面垂直于二面角的棱,它和二面角的两个面的交线都垂直,故它们形成的角就是二面角的一个平面角,故D正确.
故选:B.
4.二面角为,异面直线、分别垂直于、,则与所成的角为( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【分析】根据二面角的定义和线面垂直的性质可得选项.
【详解】解:因为二面角为,异面直线、分别垂直于、,则与所成的角为,
故选:B.
5.在60°的二面角的一个面内有一个点,若它到另一个面的距离是10cm,则该点到二面角的棱的距离是______.
【答案】##
【分析】画出空间图形,说明为二面角的平面角,且,再结合三角函数求解.
【详解】解:如图所示,两平面相交于,,,,
,,.
则为二面角的平面角,且,
所以所以.
即点到二面角的棱的距离为.
故答案为:.
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