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中职数学高教版（2021）拓展模块一 上册第4章 立体几何4.4 平面与平面的位置关系4.4.3 两平面垂直一等奖教学设计
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这是一份中职数学高教版（2021）拓展模块一 上册第4章 立体几何4.4 平面与平面的位置关系4.4.3 两平面垂直一等奖教学设计，共6页。教案主要包含了设计意图等内容，欢迎下载使用。
学习重难点
教材分析
两个平面垂直的判定与性质定理涉及到了前面所学的平面之间的位置关系，二面角等知识.
学情分析
学生通过前面的学习掌握了直线和平面的位置关系，平面之间的位置关系，二面角，为学习本节内容做了准备．
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
4.4.3两平面垂直
（一）创设情境，生成问题
观察教室,可以直观感受到教室的墙面和底面是相互垂直的.如何检验这一结论的正确性呢？
【设计意图】感觉平面位置关系.
（二）调动思维，探究新知
当两个平面所成的角是时,称这两个平面互相垂直.
此时两个平面相交形成的四个二面角都是.
平面α与平面β垂直,记作α⊥β.
要检验墙面和地面所成的二面角是否为直二面角,可以作出它们构成的二面角的平面角,并测量其大小是否为，除此之外,还有什么方法呢？
我们知道,利用直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直.类似地,也可以利用直线与平面垂直来判定平面与平面垂直.
如图所示, 直线 AB⊥平面β, 垂足为 B, AB⊆平面α.
设α∩β=CD, 则B∈CD.在β内过点B作BE⊥CD.
由 AB⊥β可知AB ⊥ CD, AB⊥BE.
于是, ∠ABE是二面角α-CD-β的平面角, 且∠ABE是直角.
因此, α与β所成的角是, 即α⊥β .
两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的条垂线, 那么这两个平面互相垂直.
【设计意图】利用直二面角来定义两个平面垂直，也可以用相交平面所成二面角是直角来定义.
（三）巩固知识，典例练习
【典例1】如图所示,己知∠ACB= 90°,P是平面ABC 外一点,且 PA⊥平面ABC,求证: 平面PAC⊥平面PBC. 证明：因为∠ACB= 90°,所以 AC⊥BC.
因为PA⊥平面ABC, BC⊆平面ABC,所以PA⊥BC.
因为PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.
因为BC⊆平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC.
利用直线与平面的垂直可以判定平面与平面垂直.反过来,也可以借助于两个平面的垂直来判定直线与平面垂直.
两平面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 .
已知: α⊥β, α∩β=CD,AB⊆α,AB⊥CD,垂足为B,如图所示 .
求证: AB⊥ β.
证明 在平面β内过点B作BE⊥CD,则由AB⊥CD可知∠ABE是二面角α-CD- β的平面角.
因为α⊥β,所以∠ABE=， 即 AB⊥BE.
则AB 与两条相交直线 BE、CD 都垂直,故AB⊥ β.
【设计意图】利用直线与平面的垂直可以判定平面与平面垂直.
【典例2】己知平面α⊥平面β,点A∈α,且 AB⊥β,垂足是B. 求证: AB ⊆ α.
证明: 如图所示设α∩β =l,假设 AB⊈α.
在平面α内过点A作AC⊥ l,垂足为C.则AB与AC相交.因为 α⊥β,所以且 AC⊥β.
又因为AB⊥β,所以 AB//AC,这与 AB、AC 相交矛盾,故假设不成立,所以AB ⊆ α.
【设计意图】加深对反证法的理解，帮助学生对两个定理和反证法更深入的理解.
（四）巩固练习，提升素养
1. 判断下列命题的真假
(1)如果m⊥β,m ⊆α,那么α⊥β.
(2) 如果m ⊆α,n⊆β,且m⊥n，那么α⊥β.
（3）如果m ⊆α, α⊥β，那么m⊥β.
(4) 如果α⊥β, α∩β=l, m⊥l, 那么m⊥β.
2. 按要求画出满足条件的一个图形.
(1)直二面角； (2)两个互相垂直的平面.
3. 己知AB为一个圆的直径, 点C为圆上不同于A、B的点,PA垂直于圆所在平面,如图所示,求证: 平面PAC⊥平面PBC.
4. 已知α⊥β, α∩β=l,AB⊆α,AB⊥l,垂足为 B, AB=5cm,C∈B ,线段AC 在B上的射影 BC 的长度为 12cm, 如图所示.求 AC的长.
5. 在墙上挂一个镜框,为了使镜框下沿与地面平行,可先拿两根等长的木棍紧靠壁放在地上,并让木棍与墙角线垂直,再把镜框下沿放到木棍上. 试说明这一方法据的数学原理是什么.
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（六）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节4.4.3；
(2)书面作业： P144习题4.4.3的4.
（七）教学反思
知识
能力与素养
知道两个平面垂直的定义；能用两个平面垂直的判定定理证明两个平面垂直，能用两个平面垂直的性质定理证明直线与平面垂直．
(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。
（2）通过对图形的观察、分析、比较和操作来强化学生的动手操作能力。
重点
难点
两个平面垂直的判定与性质定理．
两个平面垂直的判定与性质定理．
学习重难点
教材分析
两个平面垂直的判定与性质定理涉及到了前面所学的平面之间的位置关系，二面角等知识.
学情分析
学生通过前面的学习掌握了直线和平面的位置关系，平面之间的位置关系，二面角，为学习本节内容做了准备．
教学工具
教学课件
课时安排
2课时
教学过程
4.4.3两平面垂直
（一）创设情境，生成问题
观察教室,可以直观感受到教室的墙面和底面是相互垂直的.如何检验这一结论的正确性呢？
【设计意图】感觉平面位置关系.
（二）调动思维，探究新知
当两个平面所成的角是时,称这两个平面互相垂直.
此时两个平面相交形成的四个二面角都是.
平面α与平面β垂直,记作α⊥β.
要检验墙面和地面所成的二面角是否为直二面角,可以作出它们构成的二面角的平面角,并测量其大小是否为，除此之外,还有什么方法呢？
我们知道,利用直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直.类似地,也可以利用直线与平面垂直来判定平面与平面垂直.
如图所示, 直线 AB⊥平面β, 垂足为 B, AB⊆平面α.
设α∩β=CD, 则B∈CD.在β内过点B作BE⊥CD.
由 AB⊥β可知AB ⊥ CD, AB⊥BE.
于是, ∠ABE是二面角α-CD-β的平面角, 且∠ABE是直角.
因此, α与β所成的角是, 即α⊥β .
两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的条垂线, 那么这两个平面互相垂直.
【设计意图】利用直二面角来定义两个平面垂直，也可以用相交平面所成二面角是直角来定义.
（三）巩固知识，典例练习
【典例1】如图所示,己知∠ACB= 90°,P是平面ABC 外一点,且 PA⊥平面ABC,求证: 平面PAC⊥平面PBC. 证明：因为∠ACB= 90°,所以 AC⊥BC.
因为PA⊥平面ABC, BC⊆平面ABC,所以PA⊥BC.
因为PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.
因为BC⊆平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC.
利用直线与平面的垂直可以判定平面与平面垂直.反过来,也可以借助于两个平面的垂直来判定直线与平面垂直.
两平面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 .
已知: α⊥β, α∩β=CD,AB⊆α,AB⊥CD,垂足为B,如图所示 .
求证: AB⊥ β.
证明 在平面β内过点B作BE⊥CD,则由AB⊥CD可知∠ABE是二面角α-CD- β的平面角.
因为α⊥β,所以∠ABE=， 即 AB⊥BE.
则AB 与两条相交直线 BE、CD 都垂直,故AB⊥ β.
【设计意图】利用直线与平面的垂直可以判定平面与平面垂直.
【典例2】己知平面α⊥平面β,点A∈α,且 AB⊥β,垂足是B. 求证: AB ⊆ α.
证明: 如图所示设α∩β =l,假设 AB⊈α.
在平面α内过点A作AC⊥ l,垂足为C.则AB与AC相交.因为 α⊥β,所以且 AC⊥β.
又因为AB⊥β,所以 AB//AC,这与 AB、AC 相交矛盾,故假设不成立,所以AB ⊆ α.
【设计意图】加深对反证法的理解，帮助学生对两个定理和反证法更深入的理解.
（四）巩固练习，提升素养
1. 判断下列命题的真假
(1)如果m⊥β,m ⊆α,那么α⊥β.
(2) 如果m ⊆α,n⊆β,且m⊥n，那么α⊥β.
（3）如果m ⊆α, α⊥β，那么m⊥β.
(4) 如果α⊥β, α∩β=l, m⊥l, 那么m⊥β.
2. 按要求画出满足条件的一个图形.
(1)直二面角； (2)两个互相垂直的平面.
3. 己知AB为一个圆的直径, 点C为圆上不同于A、B的点,PA垂直于圆所在平面,如图所示,求证: 平面PAC⊥平面PBC.
4. 已知α⊥β, α∩β=l,AB⊆α,AB⊥l,垂足为 B, AB=5cm,C∈B ,线段AC 在B上的射影 BC 的长度为 12cm, 如图所示.求 AC的长.
5. 在墙上挂一个镜框,为了使镜框下沿与地面平行,可先拿两根等长的木棍紧靠壁放在地上,并让木棍与墙角线垂直,再把镜框下沿放到木棍上. 试说明这一方法据的数学原理是什么.
【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.自我反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想与方法？
（3）你的学习效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？
【设计意图】培养学生反思学习过程的能力
（六）作业布置，继续探究
(1)读书部分： 教材章节4.4.3；
(2)书面作业： P144习题4.4.3的4.
（七）教学反思
知识
能力与素养
知道两个平面垂直的定义；能用两个平面垂直的判定定理证明两个平面垂直，能用两个平面垂直的性质定理证明直线与平面垂直．
(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。
（2）通过对图形的观察、分析、比较和操作来强化学生的动手操作能力。
重点
难点
两个平面垂直的判定与性质定理．
两个平面垂直的判定与性质定理．
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