山东省济宁市部分学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份山东省济宁市部分学校2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．）
1. 一元二次方程的根的情况为（ ）
A. 无实数根B. 有一个实数根
C. 有两个相等的实数根D. 有两个不相等的实数根
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的情况，涉及一元二次方程根的判别式，由题中一元二次方程得到判别式，即可判断答案，熟记一元二次方程根的情况与判别式符号关系是解决问题的关键．
【详解】解：一元二次方程，
，
，
一元二次方程的根的情况为有两个不相等的实数根，
故选：D．
2. 如图，是由绕点顺时针旋转后得到的图形，且，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查旋转求角度，涉及旋转性质，根据是由绕点顺时针旋转后得到的图形，得到，数形结合即可得到，从而得到答案，熟记旋转性质，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
是由绕点顺时针旋转后得到的图形，
，
，
，
故选：C．
3. 在四张大小、形状完全相同的卡片上，分别画有等腰三角形、平行四边形、正五边形、圆，现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查求解一步概率问题，涉及中心对称图形，根据题意，找出全部结果数及中心对称图形数，利用简单概率公式代值求解即可得到答案，读懂题意，掌握中心对称图形定义及简单概率公式是解决问题的关键．
【详解】解：等腰三角形、平行四边形、正五边形、圆中中心对称图形的是平行四边形、圆2种，
现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是，
故选：B．
4. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在反比例函数的图像上，顶点，均在轴正半轴上，若平行四边形的面积是，求值（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查反比例函数比例系数的几何意义、反比例函数图像上点的坐标特征、平行四边形性质，掌握反比例函数比例系数的几何意义及函数图像上点的坐标特征，设出点的坐标、根据平行四边形面积公式列方程是解题的关键．
根据题意设，关键平行四边形的性质求得，利用面积公式即可求解；
【详解】解：设，
四边形是平行四边形，
，
则，
平行四边形的面积是，
，
解得：
故答案为：A
5. 如图，根据一个几何体的三视图，求这个几何体的表面积（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查由三视图还原立体图形并求组合体的表面积，涉及圆柱的表面积求法，根据三视图准确得到立体图形，熟练掌握圆柱表面积求法列式求解即可得到答案，发挥空间想象能力，熟记圆柱表面积计算方法是解决问题的关键．
【详解】解：有这个几何体的三视图可知，几何体是两个圆柱的组合体，上层是直径较小的圆柱、下层是直径较大的圆柱，
这个几何体的表面积是两个圆柱的表面积减去上层圆柱底面圆面积的2倍，则；
；
这个几何体的表面积是，
故选：C．
6. 下列关于二次函数与一次函数的图象，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质，掌握两个函数各系数的几何意义是关键；利用二次函数与一次函数的性质对每个选项逐一分析即可．
【详解】解： A、对于二次函数来说，，；对于一次函数来说，，，故，矛盾，不符合题意；
B、对于二次函数来说，；对于一次函数来说，，矛盾，不符合题意；
C、对于二次函数来说，，；对于一次函数来说，，符合题意；
D、对于二次函数来说，，；对于一次函数来说，，矛盾，符合题意；
故选：C
7. 在中，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查求角度，涉及非负数和为零的条件、特殊角的三角函数值及三角形内角和定理等知识，先由非负数和为零的条件得到，再由特殊角的三角函数值求出，最后由三角形内角和定理即可得到答案，熟记非负数和为零的条件、特殊角的三角函数值及三角形内角和定理等知识是解决问题的关键．
【详解】解：在中，若，
，，
，
解得，
，
在中，由三角形内角和定理可得，
故选：C．
8. 如图，在与中，，，连接，，若，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，由已知条件可得出，由相似三角形的性质可得出， ，根据角的和差关系得出，再证明，由相似三角形的性质可得出，由直角三角形的性质可得出， 即可得出．
【详解】解：∵，且，即
∴，
∴，
∴
即，
∵
∴，
∴
∵，．
∴，
∴，
故选：A．
9. 如图，在中，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在中，，根据垂径定理可知=,根据圆周角定理可知， 即可求出的度数.
【详解】解：在中，，
∴
根据垂径定理可知=,
根据圆周角定理可知，

故选D.
【点睛】考查垂径定理和圆周角定理，掌握垂径定理是解题的关键.
10. 如图，已知开口向下的抛物线对称轴为直线，与x轴交于点1,0，与一次函数的图象交于，下列结论正确的有（ ）
①；
②；
③使不等式成立的x的取值范围是或；
④若关于x的一元二次方程有实数根，则；
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质和一元二次方程的根与系数，根据图像可知，结合对称轴得，即可判定①和②错误；进一步结合交点和图像位置关系可知其取值范围，判定③正确；结合一元二次方程的根与系数即可求得④正确．
【详解】解：由图像知，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，则，
∴，则①错误；
，则②错误；
∵一次函数的图象与抛物线交于，，
∴不等式成立的x的取值范围是或，则③正确；
∵一元二次方程有实数根，
∴，解得，则④正确；
故选：B．
第II卷（非选择题共70分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 春节前夕，为减少库存，某商店决定对一种饮料进行降价促销，根据市场调查，这种饮料的销售单价定为120元/箱时，每天可售出100箱，销售单价每降低2元，每天可多售出7箱，已知每箱饮料的进价为80元/箱，当这种饮料降价后的销售单价为多少元时，该商店可获利3976元？设降价后的销售单价为元，则可列方程为________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查根据实际问题列方程，设降价后的销售单价为元，由销售利润为3976元建立等量关系列方程即可得到答案，读懂题意，找准等量关系是解决问题的关键．
【详解】解：设降价后的销售单价为元，则由题意可得
，即，
故答案为：．
12. 如图，在中，是边上的高，，，，则线段长为________
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查了余弦的定义，勾股定理，由余弦的定义可得出，根据勾股定理求出，再根据线段的和差即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：5．
13. 如图，P为抛物线上第一象限内点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形的周长的最大值为________

【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图像上点的坐标特征，最后根据二次函数的性质求最值是解题的关键．设点P的坐标为，，根据四边形的周长得到，再由二次函数的性质即可求得最大值．
【详解】解：设点P的坐标为，，
由题意可知：四边形的周长，
∴，
当时，C有最大值12．
故答案为：12．
14. 如图，在四边形中，，设，则________

【答案】
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；
根据等腰三角形的性质可得，，进而根据内角和求解即可；
【详解】解：，
，
，
，
，
故答案为：
15. 如图，为圆的直径，为圆弧上的三等分点，已知，求阴影部分的面积________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求不规则图形面积，涉及等边三角形的判定与性质、平行线的判定、同底等高三角形面积及扇形面积公式等知识，连接，如图所示，由等边三角形的判定与性质及平行线的判定得到，进而确定阴影部分的面积，利用扇形面积公式代值求解即可得到答案，根据题意，准确作出辅助线，数形结合将不规则图形面积转化为规则图形面积是解决问题的关键．
【详解】解：连接，如图所示：
为圆弧上的三等分点，
，
，
是等边三角形，则，
，
，
，
线段与构成的弓形面积始终不变，
阴影部分的面积，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，共55分，解答时应写出证明过程或解题步骤．）
16. 计算题
（1）
（2）
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】此题考查了解一元二次方程和实数的混合运算.
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用立方根、零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值进行计算即可．
【小问1详解】
解：，
，
∴或，
解得，；
【小问2详解】
解：
．
17. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是一个单位长度．

（1）将以点C为旋转中心，逆时针旋转，得到，画出的图形并写出的坐标；
（2）以原点为位似中心，画出与的相似比为2的图形，得到，并写出的坐标．
【答案】（1）见解析，
（2）见解析；或
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变换——旋转和位似图形：
（1）分别确定A，B，C的对应点，再顺次连接即可；
（2）根据位似图形的性质，分别确定A，B，C的对应点，再顺次连接即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求；
∴；
小问2详解】
解：如图，即为所求．

∴的坐标为或．
18. 某通信公司推出两种电话计费方式
（1）设一个月内用手机主叫时间为，根据上表，写出在不同时间范围内，两种方式的计费金额关于的函数解析式；
（2）你认为选择哪种方式更省钱？请直接写出答案．
【答案】（1）对于种计费方式：；对于种计费方式：
（2）①若时，方式更省钱；②若时，方式一样省钱；③若时，方式更省钱
【解析】
【分析】本题考查分段函数解实际应用题，读懂题意，理解不同分段函数的含义，准确列式求解是解决问题的关键．
（1）根据题中两种计费方式的表格直接分段表述出计费金额关于的函数解析式即可得到答案；
（2）由（1）中所得到的两种方式的计费金额关于的函数解析式，分类比较计费金额大小即可得到答案．
【小问1详解】
解：设计费金额为元，
对于种计费方式：，化简得；
对于种计费方式：，化简得；
【小问2详解】
解：由（1）可知：
①当一个月内用手机主叫时间为时，方式的计费金额为元；方式的计费金额为元；方式更省钱；
②当一个月内用手机主叫时间为时，方式的计费金额为元；方式的计费金额为元；
若时，，此时方式更省钱；
若时，，此时方式一样省钱；
若时，，此时方式更省钱；
③当一个月内用手机主叫时间为时，方式计费金额为元；方式的计费金额为元；
，此时方式更省钱；
综上所述，①若时，方式更省钱；②若时，方式一样省钱；③若时，方式更省钱．
19. 为测量某栋楼的高度，小丽与小明先从与楼底端在同一水平线上的点出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，在处测得楼顶的俯角为，底部的俯角为，求该栋楼的高度．（参考数据：，，结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】过点作于，作于，如图所示，根据坡度定义，设，在中，由勾股定理列方程求解即可得到，根据题意，利用矩形的判定得到四边形是矩形，结合矩形的性质及含的直角三角形性质，在得到，进而由勾股定理列方程求出，最后在中解直角三角形即可得到答案．
【详解】解：过点作于，作于，如图所示：
沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，
，且，
设，则在中，由勾股定理可得，即，解得或（负值不合题意，舍去），
，
，
四边形是矩形，则，
在中，，则，
，设，则，由勾股定理可得，解得，即，
在中，，则，解得，
，
答：该栋楼的高度是．
【点睛】本题考查三角函数测高，涉及坡度定义、勾股定理、解方程、矩形的判定与性质、含的直角三角形性质、解直角三角形等知识，根据题意，构造出直角三角形，利用三角函数求线段长是解决问题的关键．
20. 如图，，是的弦，平分．过点作的切线交的延长线于点，连接，．延长交于点，交于点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求长
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识；
（1）欲证明是的切线，只要证明，由即可解决问题．
（2）先证明，在中利用30度性质以及勾股定理即可解决问题．
【小问1详解】
证明：如图，连接．
为圆的切线，
．
平分，
．
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
是的切线；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
在中，，，
，
．
21. 如图，在矩形中，，，点P沿边从点A开始向点B以速度移动，点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动．如果P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（），那么：
（1）当t为何值时，为等腰直角三角形？
（2）当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与相似？
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由题意，，，根据等腰直角三角形的性质知，所以，即可求得答案；
（2）对和两种情况分别列方程求解，即得答案．
【小问1详解】
由题意，，，
若为等腰直角三角形，则，
，
解得，
当为何值时，为等腰直角三角形；
【小问2详解】
分两种情况讨论：
在矩形中，
①若时，，
，
解得；
②若时，，
，
解得；
所以当或时，以点Q，A，P为顶点的三角形与相似．
22. 如图，二次函数的图像与x轴交于A-4,0，两点，直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点C，点D的坐标为
（1）求抛物线的解析式与直线l的解析式；
（2）若P是抛物线上的点且在直线l的下方，连接，，当的面积最大时，求出点P的坐标及该面积的最大值；
（3）若Q是y轴上的点，且，请直接写出点Q的坐标
【答案】（1）
（2）点，的面积最大为；
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的结合，涉及二次函数的性质和一次函数解析式的求解，
（1）利用待定系数法将点A、点B和点D代入求解即可；
（2）利用待定系数法求得直线的解析式为，过点P作轴交于点H，设点，则点，那么，化简求得二次函数的最大值即可；
（3）根据直线的解析式为，求得点，则，分类讨论①若点Q位于直线上面；②若点Q位于直线下面，分别求解即可．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图像与x轴交于A-4,0，两点，且过点D，
∴，解得，
则二次函数；
【小问2详解】
解：设直线的解析式为y=kx+bk≠0，
则，解得，
∴直线的解析式为，
过点P作轴交于点H，如图，
设点，则点，
∴
则当时，点，的面积最大为；
【小问3详解】
解：∵直线的解析式为，
∴点，
∴，
则，
根据题意设点，
①若点Q位于直线上面，
过点D作轴交于点Q，如图，
∵，
∴，
则点；
②若点Q位于直线下面，
∵，，
∴点Q位于与y轴平行的直线上，与题意矛盾，
则无解；
故点Q的坐标．
计费方式
月使用费/元
主叫限定时间/
主叫超时费/（元/）
28
100
0.25
46
400
0.18