云南省昆明市第十中学2023-2024学年九年级下学期开学数学试题（原卷版+解析版）

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1. 的相反数是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，根据相反数的定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”进行解答即可．
【详解】解：的相反数是3，
故选：A．
2. 1海里等于1852米．如果用科学记数法表示，1海里等于（ ）米．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由科学记数法的表示方法可直接得到答案．
【详解】解：
故选：B．
【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
3. 如图所示物体的左视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．
【详解】解：从左边看下边是一个大矩形，矩形的左上角是一个小矩形，四个选项中只有A选项符合题意．
故选：A．
4. 如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC＝40°，则∠A的度数为( )
A 80°B. 100°C. 110°D. 130°
【答案】D
【解析】
【分析】连接OC，然后根据等边对等角可得：∠OCB=∠OBC=40°，然后根据三角形内角和定理可得∠BOC=100°，然后根据周角的定义可求：∠1=260°，然后根据圆周角定理即可求出∠A的度数．
【详解】解：连接OC，如图所示，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=40°，
∴∠BOC=100°，
∵∠1+∠BOC=360°，
∴∠1=260°，
∵∠A=∠1，
∴∠A=130°．
故选D．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，即同弧所对的圆周角是其圆心角的一半．
5. 学校为了丰富学生课余活动开展了一次“爱我云南，唱我云南”的歌咏比赛，共有18名同学入围，他们的决赛成绩如表．则入围同学决赛成绩的中位数和众数分别是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据中位数和众数的定义解答．第9和第10个数的平均数就是中位数，9.60出现的次数最多．
本题考查了众数和中位数的定义，中位数：将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．众数：一组数据中出现次数最多的数据为这组数据的众数．掌握众数和中位数的定义是关键．
【详解】解：在这一组数据中9.60是出现次数最多的，
故众数是9.60，
而这组数据一共15个数，处于中间位置的那两个数都是和，
由中位数的定义可知，这组数据的中位数是，
故选：B
6. 在同一平面直角坐标系中，函数（k≠0）与(的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分k＞0和 k＜0两种情形判断即可．
【详解】当k＞0时，一次函数的图像分布在一、二、三象限，反比例函数的图像分布在一、三象限，故A符合题意，B不符合题意，C不符合题意；
当k＜0时，一次函数的图像分布在二、三、四象限，反比例函数的图像分布在二、四象限，故D不符合题意，
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数的图像分布，熟练掌握图像分布与比例系数的关系是解题的关键．
7. 二次函数的图像如图所示，对称轴为，给出下列结论：；；；，其中正确的结论有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键．
【详解】解：由二次函数图象开口向上，得到，与轴交于负半轴，得到，
∵对称轴在轴右侧，且，即，
∴与异号，即，
∴，选项正确；
∵二次函数图象与轴有两个交点，
∴，即，选项错误；
∵原点与对称轴的对应点为2,0，
∴时，，即，选项错误；
∵时，，
∴，
把代入得：，选项正确，
综上可知：正确，共个，
故选：．
8. 函数 和在第一象限内的图象如图，点P是的图象上一动点轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B．给出如下结论：
①与的面积相等；
②与始终相等；
③四边形的面积大小不会发生变化；
④．
其中所有正确结论有（ ）个．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】由于是反比函数上的点，可得出故①正确；当P的横纵坐标相等时，故②错误；根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形的面积为定值，故③正确；连接，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论．
【详解】解：∵是反比函数上的点，
，故①正确；
∵由图的直观性可知，P点至上而下运动时，在逐渐增大，而在逐渐减小，只有当P的横纵坐标相等时，故②错误；
∵P是的图像上一动点，
∴矩形的面积为4，
∴，故③正确；
连接，

∴，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：C．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键．
9. 如图，直线交x轴、y轴分别于、两点，直线交y轴于B点，过B作x轴的平行线交直线于，过作y轴的平行线交直线于，过作x轴的平行线交直线于，…如此反复，则的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一次函数的有关知识，等腰直角三角形的性质，掌握探究规律题目的方法，从特殊到一般，归纳出规律，先找到的、的横坐标的规律，然后求出点坐标．
【详解】解：∵直线交x轴、y轴分别于、两点，直线交y轴于B点，
∴，，
∵过B作x轴的平行线交直线于，
∴，
∵过作y轴的平行线交直线于，
∴，
∵过作x轴的平行线交直线于，
∴
∴的横坐标为1，的横坐标为，的横坐标为，
的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，
点在直线上，
点的纵坐标为64，
点．
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
10. 若有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】.本题主要考查分式有意义的条件，根据分式有意义的条件列不等式，求出的取值范围即可
【详解】解：∵分式有意义，
∴
解得，，
故答案为：.
11. 如图是A，B两市去年四季平均气温的折线统计图．观察图形，四季平均气温波动较小的城市是______（“A”或“B”）
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查折线统计图，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．利用折线图，求出A、B城市的平均气温和方差即可进行比较．
【详解】解：由折线图可知，A城市的年平均气温，
B城市的年平均气温，
所以A城市的方差为：
，
B城市的方差为：
，
因为，
所以四季平均气温波动较小的城市是A．
故答案为：A．
12. 据权威部门发布的消息，2019年第一季度安徽省城镇居民人均可支配收入约为万元，若第三季度安徽省城镇居民人均可支配收人为y万元，平均每个季度城镇居民人均可支配收入增长的百分率为x，则y与x之间的函数表达式是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，第一季度安徽省城镇居民人均可支配收入约为万元，第二季度安徽省城镇居民人均可支配收入是元，第三季度安徽省城镇居民人均可支配收人为元，则函数解析式即可求得．
【详解】解：平均每个季度城镇居民人均可支配收入增长的百分率为x，根据题意可得：
y与x之间的函数关系为：
故答案为：
13. 用一个圆心角为180°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为_______．
【答案】2
【解析】
【分析】设这个圆锥的底面圆的半径为R，根据扇形的弧长等于这个圆锥的底面圆的周长，列出方程即可解决问题.
【详解】设这个圆锥的底面圆的半径为R，由题意：
2πR=，
解得R=2．
故答案为：2.
14. 如图，将两条宽度均为2的纸条相交成角叠放，则重合部分构成的四边形的面积为______．
【答案】8
【解析】
【分析】先根据AB∥CD得到∠ABC=30°，再根据纸条宽度为2得到AB的长，同理得到AD的长，再证明四边形ABCD是菱形，就可以求出四边形ABCD的面积；
【详解】∵AB∥CD，
∴∠ABC=30°，
又∵两条纸条的宽度均为2，
∴AB=4，
同理可得AD=4，
又∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=AD=4，
∴四边形ABCD是菱形，
∴S菱形ABCD=4×2=8，
故答案为8．
【点睛】本题考查菱形的性质与面积，熟练掌握菱形的性质和面积公式是解决本题的关键．
15. 如图，在中，，，点C 关于直线的对称点为D，E为边上不与点A，C重合的动点，连接，过点D作的垂线交于点F，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，涉及正弦、相似三角形的判定与性质、轴对称等知识．设交于点M，交于点N，交于点J，设，利用等积法解得的长，再证明，利用相似三角形对应边成比例解题即可．
【详解】解：如图，
∵，，
设，
∵点C 关于直线的对称点为D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
三、计算题：本大题共1小题，共6分．
16. （1）计算： ．
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先计算二次根式，特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，然后根据实数的混合计算法则求解即可；
（2）先把分式方程化为整式方程求解，然后检验即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）方程两边同时乘以得：，
移项得：，
合并同类项得，
系数化为1得：，
经检验是原方程的解，
∴原方程的解为．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，实数的混合计算，特殊角三角函数值，化简二次根式，零指数幂，负整数指数幂等等，熟知相关计算方法是解题的关键．
四、解答题：本题共7小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中
【答案】（1）5；（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算及分式的化简求值，掌握零指数幂、负整数指数幂的意义、二次根式的性质及特殊角的三角函数值、分式的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．
（1）先代入特殊角的三角函数值，计算零指数幂、负整数指数幂和化简二次根式，再化简绝对值、计算乘法，最后加减求解即可；
（2）先通分计算括号里面，再算乘法化简分式，最后代入求值即可．
【详解】解：（1）原式
（2）原式
当时，
原式
18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．
（1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段（点A，B的对应点分别为）．画出线段；
（2）将线段绕点逆时针旋转90°得到线段．画出线段；
（3）以为顶点的四边形的面积是_______个平方单位．
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）20
【解析】
【分析】（1）结合网格特点，连接OA并延长至A1，使OA1=2OA，同样的方法得到B1，连接A1B1即可得；
（2）结合网格特点根据旋转作图的方法找到A2点，连接A2B1即可得；
（3）根据网格特点可知四边形AA1 B1A2是正方形，求出边长即可求得面积．
【详解】（1）如图所示；
（2）如图所示；
（3）结合网格特点易得四边形AA1 B1A2是正方形，
AA1=，
所以四边形AA1 B1A2的面积为：=20，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了作图-位似变换，旋转变换，能根据位似比、旋转方向和旋转角得到关键点的对应点是作图的关键．
19. 如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE．
（1）求证：AG=CE；
（2）求证：AG⊥CE．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
【详解】试题分析：（1）由ABCD、BEFG均为正方形，得出AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，得出∠ABG=∠CBE，从而得到△ABG≌△CBE，即可得到结论；
（2）由△ABG≌△CBE，得出∠BAG=∠BCE，由∠BAG+∠AMB=90°，对顶角∠AMB=∠CMN，得出∠BCE+∠CMN=90°，证出∠CNM=90°即可．
试题解析：（1）∵四边形ABCD、BEFG均为正方形，∴AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，∴∠ABG=∠CBE，在△ABG和△CBE中，∵AB=CB，∠ABG=∠CBE，BG=BE，∴△ABG≌△CBE（SAS），∴AG=CE；
（2）如图所示：∵△ABG≌△CBE，∴∠BAG=∠BCE，∵∠ABC=90°，∴∠BAG+∠AMB=90°，∵∠AMB=∠CMN，∴∠BCE+∠CMN=90°，∴∠CNM=90°，∴AG⊥CE．

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质．
20. 达州市某中学举行了“中国梦，中国好少年”演讲比赛，菲菲同学将选手成绩划分为A、B、C、D四个等级，绘制了两种不完整统计图．
根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）参加演讲比赛的学生共有 人，扇形统计图中m= ，n= ，并把条形统计图补充完整．
（2）学校欲从A等级2名男生2名女生中随机选取两人，参加达州市举办的演讲比赛，请利用列表法或树状图，求A等级中一男一女参加比赛的概率．（男生分别用代码 A1、A2表示，女生分别用代码B1、B2表示）
【答案】（1）40，20，30，作图见试题解析；（2）．
【解析】
【详解】试题分析：（1）由题意得：参加演讲比赛学生共有：4÷10%=40（人），然后根据扇形统计图的知识，可求得m，n的值，继而补全统计图；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A等级中一男一女参加比赛的情况，再利用概率公式即可求得答案．
试题解析：（1）根据题意得：参加演讲比赛的学生共有：4÷10%=40（人），∵n%=×100%=30%，∴m%=1﹣40%﹣10%﹣30%=20%，∴m=20，n=30；
如图：
故答案为40，20，30；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，A等级中一男一女参加比赛的有8种情况，∴A等级中一男一女参加比赛的概率为：=．
考点：1．列表法与树状图法；2．扇形统计图；3．条形统计图．
21. 如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30º，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°． 若坡角∠FAE=30°，求大树的高度． （结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cs48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）
【答案】13米．
【解析】
【分析】过点D作DG⊥BC于G，DH⊥CE于H，根据矩形性质得出DG=CH，CG=DH，再利用锐角三角函数的性质求出问题即可．
【详解】如图，过点D作DG⊥BC于G，DH⊥CE于H，
则四边形DHCG为矩形．
故DG=CH，CG=DH，
在直角三角形AHD中，
∵∠DAH=30°，AD=6，
∴DH=3，AH=3，
∴CG=3，
设BC为x，
直角三角形ABC中，AC==，
∴DG=3+，BG=x﹣3，
在直角三角形BDG中，∵BG=DG•tan30°，
∴x﹣3=（3+）
解得：x≈13，
∴大树的高度为：13米．
【考点】解直角三角形的应用－仰角俯角问题；解直角三角形的应用－坡度坡角问题．
【点睛】本题考查了仰角、坡角的定义，解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键．
22. 如图，是的直径，C是半圆O上的一点，平分，，垂足为D，交于E，连接．
（1）求证： 是的切线
（2）若E是弧的中点，的半径为1，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由为角平分线得到一对角相等，再由，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到与平行，根据垂直于，得到垂直于，即可得证；
（2）根据E为弧的中点，得到弧，利用等弧对等弦得到，可得出弓形与弓形面积相等，阴影部分面积拼接为直角三角形的面积，求出即可．
【小问1详解】
解：∵为的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与相切；
【小问2详解】
解：连接，交于F，如图所示：
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，．
又∵，
∴四边形是菱形．
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵与相切，C为切点，
∴，
∵，
∴，
∵点O为的中点，
∴为的中位线，
∴，即，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
则．
【点睛】此题考查了切线的判定和性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
23. 如图所示，抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线顶点．
（1）求抛物线的解析式，点C及顶点M的坐标．
（2）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．
（3）直线交x轴于点E，若点P是线段上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），，
（2）存在，或或
（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）利用交点式直接求出抛物线的解析式，然后根据抛物线的解析式求出点C和顶点M的坐标即可；
（2）先求出抛物线的对称轴为 ，设点 ，然后分三种情况：当为对角线时；当为对角线时；当为对角线时，利用中点公式，即可求解；
（3）先求出点 ，再求出直线的解析式，可得到，然后两种情况：当 时和当时，即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线与x轴相交于两点
∴，
∴顶点坐标为，
当时，，
点C0,-3；
【小问2详解】
解：存在，理由如下：
∵，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
根据（1）可知：点C0,-3 ，
设点 ，
∵，
当为对角线时，另一条对角线为，
∴ ，
解得： ，
∴此时点；
当对角线时，另一条对角线为，
∴ ，
解得： ，
∴此时点；
当为对角线时，另一条对角线为，
∴，
解得：，
∴此时点；
综上所述，点G的坐标为或或；
【小问3详解】
解：存在，理由如下：
如图，连接，，
∵，
∴点 ，
设直线的解析式为 ，
把点 ，C0,-3 ，代入得：
，
解得：，
∴直线CM的解析式为 ，
当 时， ，
∴点 ，
∴，且，
∴，
∴，
设 ，
又∵点P在线段上，
∴ ，
∴ ， ，
当 时， ，
即 ，
解得： ，
∴此时点 ；
当时， ，
即 ，
解得： ，
∴此时点 ，
综上所述，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形性质等知识，解决问题的关键是正确分类．成绩分
人数
2
3
5
2
2
1