河南省南阳市镇平县2023-2024学年下学期九年级开学摸底考试数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列二次根式中，与是同类二次根式是（ ）
A. B. C. D.
2. 不透明的口袋中装有10个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，估计口袋中白球大约有（ ）
A. 12个B. 15个C. 18个D. 20个
3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
4. 将一副三角尺按如图的方式叠放在一起，边与相交于点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有1个黑色棋子和2个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（ ）
A B. C. D.
6. 如图，四边形内接于，若，则度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 二次函数的图象如图所示，无论x为何值时，的条件是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
8. 如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为1，扇形的圆心角等于90°，则扇形的半径是（ ）
A 2B. 4C. 6D. 8
9. 如图，在中，，，．是边上一动点，过点作交于点，为线段的中点，当平分时，的长度是（ ）
A. B. C. D.
10. 抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（ ）
A. 第一、二象限B. 第二、三象限C. 第三、四象限D. 第一、四象限
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 写出一个开口向下且过的抛物线的表达式______．
12. 《水浒传》是中学生必读名著之一．王林将水浒人物宋江和李逵的画像及其绰号制成4张无差别卡片（除图案和文字不同外，其他完全相同）．将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的卡片人物画像与绰号完全对应的概率是________．

13. 如图，中，弦，垂足为点，连接，若，，则的值为_____．

14. 如图，是抛物线在第四象限的图象上一点，过点分别向轴和轴作垂线，垂足分别为、，则四边形周长的最大值为______.
15. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，取的中点，的中点．则在旋转过程中，线段的最小值________．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. （1）计算：；
（2）解方程：．
17. 如图，在中，，以为直径的与交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若与相切，求的度数；
（3）用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点E．（不写作法，保留作图痕迹）
18. 已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，其对称轴与x轴交于点D，顶点为E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在图中作出该函数的图象并结合图象回答：
①该抛物线的对称轴为直线_______；
②该抛物线的最大值为_______．
（3）①若，则______；
②当时，x的取值范围是______；
③方程的根是_____．
19. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知米，米，测点D到地面的距离米，到旗杆的水平距离米，求旗杆的高度．
20. 小颖家附近广场中央计划新建造个圆形的喷水池．在水池中央垂直于地面处安装个柱子，在柱子顶端A处安装一个喷头向外喷水．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图所示．已知柱子在水面以上部分的高度为，要求设计水流在距离柱子处达到距离水平面最高，且最高为．

（1）建立如图所示平面直角坐标系，求水流抛物线在第一象限内对应的函数表达式（不要求写自变量的取值范围）；
（2）若不计其他因素，则水池的半径至少为多少米时，才能使喷出的水流不至于落到池外？
21. 如图，在中，，，的三条角平分线交于点，过作的垂线分别交、于点、．
（1）直接写出的度数为_______；
（2）写出图中的一对相似三角形并进行证明（全等三角形除外）；
（3）若，，请直接写出的长为______．
22. 界首市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个．
①为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个?．
②要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价为 元?
23. 【特例感知】
（1）如图1，已知和是等边三角形，直接写出线段与的数量关系是______；
【类比迁移】
（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，请写出线段与的数量关系，并说明理由．
【方法运用】
（3）如图3，若，点是线段外一动点，，连接．若将线段绕点逆时针旋转得到，连接，直接写出线段的最大值为______．（提示：可在上方作，并使，连接）