山西省榆次第一中学校2024-2025学年高二上学期开学考试（暑假作业检查）数学试题（解析版）

这是一份山西省榆次第一中学校2024-2025学年高二上学期开学考试（暑假作业检查）数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．）
1. 设，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.
详解：
，
则，故选c.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
2. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量共面的结论，对各选项逐一判断即可得解.
【详解】对于A，，所以共面，故A错误；
对于B，，所以共面，故B错误；
对于C，假设共面，
则存在，使得，
则共面，这与可构成空间的一个基底矛盾，
所以不共面，故C正确；
对于D，，所以共面，故D错误.
故选：C.
3. 的内角的对边分别为，且，若边的中线等于3，则ΔABC的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知条件可得，由，求得，可求得，取的中点，延长至点，使得是中点，连接，则四边形是平行四边形，在三角形中，由余弦定理可求得，之后利用面积公式求得结果.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以．
取的中点，延长至点，使得是中点，
连接，则四边形是平行四边形，
在三角形中，，
，，，
由余弦定理得，解得，
所以三角形的面积为，
故选：C.
【点睛】该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有应用正弦定理和余弦定理解三角形，三角形的面积公式，属于简单题目.
4. 河南博物院主展馆的主体建筑以元代登封古观星台为原型，经艺术夸张演绎成“戴冠的金字塔”造型，冠部为“方斗”形，上扬下覆，取上承“甘露”、下纳“地气”之意．冠部以及冠部下方均可视为正四棱台．已知一个“方斗”的上底面与下底面的面积之比为，高为2，体积为，则该“方斗”的侧面积为（ ）
A. 24B. 12C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得正四棱台的侧面为四个等腰梯形，先计算侧面的高，然后利用梯形的面积公式代入计算即可.
【详解】由题意可知，记正四棱台为，其底面为正方形，
侧面为四个等腰梯形，把该四棱台补成正四棱锥如图，
设是底面上与的交点，是底面上与的交点
则是正四棱锥的高，为正四棱台的高，
设，，则上、下底面的面积分别为、，
由题意，所以，
在中，，所以为PA的中点，
在中，，所以，所以，
又，解得，，
所以，
所以侧棱长是，由勾股定理可得侧面的高为，
所以侧面积为.
故选：D
5. 设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.
【详解】如图，从5个点中任取3个有
共种不同取法，
3点共线只有与共2种情况，
由古典概型的概率计算公式知，
取到3点共线的概率为.
故选：A
【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
6. 如图所示，为测一树的高度，在地面上选取、两点，从、两点分别测得树尖的仰角为、，且、两点之间的距离为，则树的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理可得，进而即得.
【详解】在，，，，
又
，
由正弦定理得：，
，
树的高度为(m).
故选：A．
7. 已知10个数据：4，5，6，7，8，8.5，9，10，11，11.5，则这组数据第40百分位数是（ ）
A. 8B. 7C. 8.5D. 7.5
【答案】D
【解析】
【分析】将数据从小到大排列，计算，这组数据的第40百分位数是第4项与第5项数据的平均数，由此计算可得选项.
【详解】解：因为从小到大排列为4，5，6，7，8，8.5，9，10，11，11.5，共10个数据，，
所以这组数据的第40百分位数是第4项与第5项数据的平均数，即，
故选：D.
8. 已知向量，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是（ ）
A. 关于直线对称B. 关于点对称
C. 周期为D. 在上是增函数
【答案】D
【解析】
【分析】先利用向量的数量积表示函数，再利用公式化简，根据三角函数图像和性质判断.
【详解】因为向量,
.
所以.
对于A，把代入得，没有取得最值，所以不成立.
对于B，把代入得，所以不成立.
对于C，由于周期,所以不成立.
对于D，因为，又，
所以在上是增函数.
故选：D.
二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分3分，有选错的得0分．）
9. 已知点和，点在轴上，且为直角，求点的坐标（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】设，根据题意可得，由此即可求出结果．
【详解】设，则，，
为直角，
，即，解得或6，
所以点的坐标为1,0或.
故选：AD.
10. 如图，在中，是的三等分点，则（ ）
A.
B. 若，则在上的投影向量为
C. 若，则
D. 若
【答案】AD
【解析】
【分析】根据平面向量线性运算的性质，结合投影向量的定义、平面向量数量积的运算性质逐一判断即可.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，因为，所以，
由题意得为的一个三等分点（靠点更近），所以在上的投影向量为，故B不正确；
对于C，，
，
故，
又，
所以，
故，故C错误；
对于D，，
而，
代入得，故选项D正确，
故选：AD
11. 如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且，，分别为，的中点，则（ ）
A. 平面
B. 四棱锥的外接球的表面积为
C. 与平面所成角的正弦值为
D. 点A到平面的距离为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：根据线面垂直的判定定理结合平行关系分析判断；对于B：将四棱锥转化为正方体，根据正方体的外接球分析运算；建系，对于C：利用空间向量求线面夹角；对于D：利用空间向量求点到面的距离.
【详解】对于A：连接，
因为平面，平面，
可得
由为正方形，可得，
，平面，
所以平面，
又因为，分别为，的中点，则//，
可得平面，故A正确；
对于B：四棱锥的外接球即为以A为顶点，PA,AB,AD为相邻三边的正方体的外接球，
则外接球的半径，
所以表面积为，故B正确；
如图，以A为坐标原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，
则，
对于C：可知平面的法向量，
则，
所以与平面所成角的正弦值为，故C正确；
对于D：可得，
设平面的法向量，则，
令，则，即，
所以点A到平面的距离为，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分．）
12. 经过两点的直线的方向向量为，求k的值为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】求出，由直线方向向量定义和向量平行得到方程，求出k的值.
【详解】，
由与平行可得，解得.
故答案为：2
13. 过两点的直线l的倾斜角为，求的值为__________．
【答案】.
【解析】
【分析】根据倾斜角计算出直线的斜率，再根据坐标形式下斜率的计算公式求解出的值.
【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，
又，整理得，
解得或，
当时，，不符合，
当时，，符合，
综上：.
故答案为:
14. 如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为________．
【答案】
【解析】
分析】还原原图，计算面积即可.
【详解】在斜二测直观图中， 由为等腰直角三角形，
，可得，．
还原原图形如图：
则，
则，
故答案为：.
四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 利用空间向量知识完成本题．
（1）如图1，在长方体中．线段上是否存在点，使得平行于平面?
（2）如图2，在平行六面体中，求证直线垂直于平面．
（3）如图3，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．
(I)求点B到直线的距离；
(II)求直线到平面的距离．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析 （3）(I)，(II)
【解析】
【分析】（1）取线段上中点，建立如图所示的空间坐标系，用向量法求解线面关系即可.
（2）设，，，以它们为基底表示出、、，结合已知并应用向量数量积的运算律求证垂直，即可证结论.
（3）建立如图所示的空间坐标系，用向量法求解距离即可.
【小问1详解】
以射线分别为轴，建立空间直角坐标系.
由已知条件，
线段上取中点，
设平面的法向量为，
由，，
得，则
因，,
不在平面内,
线段上中点，使得平行于平面.
小问2详解】
设，，，则为空间的一个基底且，，.
因为，
所以，.
在平面上，取、为基向量，
则.
所以是平面的法向量．
所以直线垂直于平面．
【小问3详解】
(I)以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间坐标系，
则，，，，，，
∴，，，，，，
取，，
，
则点B到直线的距离为；
(II)∵，
∴，而平面，平面，
∴平面，
∴点到平面的距离即为直线到平面的距离，
设平面的法向量为，则，
∴，∴，取，则，，
∴，又，
∴点到平面的距离为.
16. 判断下列各对直线是否平行或垂直：
（1）经过两点的直线，与经过且斜率为1的直线；
（2）经过两点的直线，与经过点且斜率为的直线．
（3）试确定的值，使过两点的直线与过两点的直线：
(I)平行；
(II)垂直．
【答案】（1）平行 （2）垂直
（3）(I);(II)
【解析】
【分析】（1）分别求出两直线方程，根据斜率关系即可判断；
（2）求出直线的斜率，根据斜率关系即可判断；
（3）(I)根据两条平行直线斜率关系即可求解；(II)根据两条垂直直线的斜率关系即可求解.
【小问1详解】
因为直线经过两点，所以，则直线的方程为：；
因为直线经过且斜率为1，所以直线方程为：，
则直线与直线平行.
【小问2详解】
因为直线经过两点，所以，
因为直线的斜率为，
所以，
则直线与直线垂直.
【小问3详解】
因为直线过，
所以；
(I)当直线与直线平行时；则，解得：
(II) 当直线与直线垂直时则，解得：
17. 在中，角、、所对的边分别为、、，且．
（1）求的值；
（2）若，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式及三角形的内角和定理化简后，得到一个关于的关系式，把的值代入即可求出值；
（2）根据余弦定理表示出，然后把等式变为，利用基本不等式和的值即可求出的最大值．
【小问1详解】
解：因为
；
【小问2详解】
解：根据余弦定理可知：，
，
又，即，
，当且仅当时，，故的最大值是．
18. 甲、乙两人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
（1）写出甲、乙两人抽到的牌的样本空间．
（2）若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之则乙胜，你认为此游戏是否公平？并说明你的理由．
【答案】（1）答案详见解析（答案不唯一）
（2）
（3）不公平，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据抽取的方法写出样本空间.
（2）根据古典概型的概率问题计算公式，计算出所求答案.
（3）根据甲、乙的胜率进行说明.
【小问1详解】
用a表示方片4，2，3，4分别表示红桃2、红桃3、红桃4，
则甲、乙两人抽到的牌的样本空间为：
．
【小问2详解】
甲抽到3，乙抽到的只能是2，4，a，所以乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为．
【小问3详解】
甲抽到的牌的牌面数字比乙大的样本点有，
所以甲胜的概率为，乙胜的概率为，故游戏不公平．
19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】
【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；
(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.
【详解】（1）因为，O是中点，所以，
因为平面，平面平面，
且平面平面，所以平面．
因为平面，所以.
（2）[方法一]：通性通法—坐标法
如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，
则，设,
所以，
设为平面的法向量，
则由可求得平面的一个法向量为．
又平面的一个法向量为，
所以，解得．
又点C到平面的距离为，所以，
所以三棱锥的体积为．
[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角
如图所示，作，垂足为点G．
作，垂足为点F，连结，则．
因为平面，所以平面，
为二面角的平面角．
因为，所以．
由已知得，故．
又，所以．
因为，
．
[方法三]：三面角公式
考虑三面角，记为，为，，
记二面角为．据题意，得．
对使用三面角的余弦公式，可得，
化简可得．①
使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②
将①②两式平方后相加，可得，
由此得，从而可得．
如图可知，即有，
根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，
结合的正切值，
可得从而可得三棱锥体积为．
【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；
方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.
方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.