山东省日照市莒县第三中学2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份山东省日照市莒县第三中学2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题（解析版），共27页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 剪纸又称刻纸，是中国最古老民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行创作的艺术，民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案．“对称美”是河南剪纸作品中重要的主题，下列剪纸作品中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
2. 如图，四边形的两条对角线相交于点，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．
【详解】解：∵四边形的两条对角线相交于点，且互相平分，
∴四边形是平行四边形，
∴，
当或时，均可判定四边形是菱形；
当时，可判定四边形是矩形；
当时，
由得：，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
故选C．
【点睛】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定．
3. 已知m，n是方程的两个根，则的值是（ ）
A. 12B. 10C. 8D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，根据解的定义及根与系数的关系得到，，，再代入计算即可．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根，
∴，，，
∴，
∴
；
故选：C．
4. 某省加快新旧动能转换，促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3990万元．若设月平均增长率是x，那么可列出的方程是（ ）
A. 1000（1+x）2＝3990
B. 1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990
C. 1000（1+2x）＝3990
D. 1000+1000（1+x）+1000（1+2x）＝3990
【答案】B
【解析】
【分析】设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100（1+x）万元，三月份的营业额为100（1+x）2万元，根据该超市第一季度的总营业额是3990万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100（1+x）万元，三月份的营业额为100（1+x）2万元，
依题意，得1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝3990．
故选B．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知增长率问题的求解.
5. 如图1，点从的顶点出发，沿方向匀速运动到点，图2是点运动时，线段的长度随运动时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点．若，则的周长是（ ）
A. 10B. 12C. 15D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了函数图象的理解和应用，等腰三角形的性质，把图形和图象结合理解得到线段长度是解题的关键．根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大，而从C向A运动时，先变小后变大，从而可求出和的长度，由此得到答案．
【详解】解：根据图象可知点P上运动时，此时不断增大，
由图象可知：点P从B向C运动时，的最大值为5，即，
∴，
由于M是曲线部分的最低点，
∴此时最小，
如图，即，
∴由勾股定理可知：，
∴，
∴，
∴的周长为，
故选：D．
6. 已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1：2，则菱形的面积为（ ）
A. 8B. 8C. 4D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形的性质和菱形面积公式即可求出结果．
【详解】解：如图，∵两邻角度数之比为1：2，两邻角和为180°，
∴∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，
∵菱形的周长为8，
∴边长AB＝2，
∴菱形的对角线AC＝2，BD＝2×2sin60°＝2，
∴菱形的面积＝AC•BD＝×2×2＝2．
故选：D．
【点睛】本题考查菱形的性质，解题关键是掌握菱形的性质．
7. 若关于x方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的个数之间的关系是解本题的关键．分情况①当，即时，②当，即时两种情况，前者是一元一次方程，必定有解，后者根据一元二次方程根的判别式得到，解不等式即可．
【详解】解：①当，即时，原方程化为，解得：，
即符合题意；
②当，即时，
关于的方程有实数根，
且，
综上所述：m的取值范围是．
故选：D
8. 如图，已知函数和的图象交于点，则时的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的交点问题，根据图象即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键．
【详解】解：∵函数和的图象交点为，
∴当时，，
故选：．
9. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象，根据的值分别判断出一次函数与正比例函数的图象分布位置，两者一致即为正确答案，掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，正比例函数的图象经过第一、三象限，选项中没有符合条件的图象；
当时，一次函数的图象经过第一、二、三象限，正比例函数的图象经过第二、四象限，选项的图象符合要求；
故选：．
10. 如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别为边上的动点（不与端点重合），连接分别交对角线于点P，Q． 点E，F在运动过程中，始终保持，连接． 下列结论：①；的周长为4；③；④若过点B作，垂足为H，连接，则的最小值为（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线吗，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
①正确．证明，可得结论；
②正确．全等于，全等于，所以 ，，所以三角形的周长等于，
③错误．可以证明；
④正确．求出，，根据，可得结论．
【详解】解：如图，∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确，
∵全等于，全等于，
∴，，
∴三角形的周长等于，
故②正确，
将绕点B顺时针旋转90°得到，连接，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，故③错误，
连接，，
∵，，
∴，
∴的最小值为，故④正确，
故选：B．
二、填空题
11. 若是关于x的一元二次方程，则m的值是______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是根据一元二次方程的定义列出方程，注意：二次项系数不为0．根据未知数的次数为2和二次项系数不为0列方程和不等式求解即可．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程，
∴，，
解得，；
故答案为：1．
12. 若与点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点和点的坐标，根据关于原点对称的点的坐标特点求出点的坐标，根据第四象限点的坐标特征列出不等式组，解不等式组即可，掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是是解题的关键．
【详解】解：点关于原点对称的点在第四象限，
∴点在第二象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
13. 如图①，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图．若每次投掷，小球落在矩形内每个点的可能性相同，由此他可以估计不规则图案的面积为_____．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．
首先假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【详解】解：假设不规则图案面积为，
由已知得：长方形面积为，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上有：，
解得．
故答案为：7．
14. 已知为整数，且一次函数的图象不经过第二象限，则的值为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y=kx+bk≠0中，当，时，函数的图象不经过第二象限是解答此题的关键．由于一次函数的图象不过第二象限，则得到不等式组，然后解不等式即可得m的值．
【详解】解：∵一次函数的图象不过第二象限，
∴，
解得：，而m是整数，
则或．
故答案为：或．
15. 关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________．
【答案】##-0.125
【解析】
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=-2m，x1x2=，再由x12+x22=变形得到（x1+x2）2-2x1x2=，即可得到4m2-m=，然后解此方程即可．
【详解】解：根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=，
∵x12+x22=，
∴（x1+x2）2-2x1x2=，
∴4m2-m=，
∴m1=-，m2=，
∵Δ=16m2-8m＞0，
∴m＞或m＜0时，
∴m=不合题意，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．
16. 如图，中，，，为内一点，，则的最小值为_____．

【答案】5
【解析】
【分析】将绕点逆时针旋转得到，连接，得为等边三角形，证明点，，，共线，过点作于点，根据等腰三角形的性质证明，延长交于点，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，的值，根据最小，进而可以解决问题．
【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到△，连接，

由旋转的性质，得，，，，
，，
为等边三角形，
，，
，
点，，共线，
，
点，，共线，
点，，，共线，
过点作于点，
，
，
，
，
，
，
，
延长交于点，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
最小，
的最小值为5．

故答案为：5．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是利用含30度角的直角三角形的性质．
三、解答题
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．
（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【小问1详解】
解：，
因式分解得，
即或，
解得，．
【小问2详解】
解：，
移项得，
因式分解得，
即或，
解得，．
18. 如图，平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，．
（1）将以点O为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；
（2）平移得到，若点A的对应点的坐标为，则点B的对应点坐标是 ；
（3）若将绕某一点旋转可以得到，请在坐标系中作出旋转中心的坐标为 ；
（4）在x 轴上有一点P，使得的值最小，则点P的坐标为 ．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了作图—作图形的旋转、图形的平移、轴对称—最短路线问题，熟练掌握旋转的性质，平移的性质，轴对称的性质是关键．
（1）作出A、B、C三点关于原点的中心对称点，并依次连接即可；
（2）由A点及其对应点的坐标可确定平移，根据平移即可确定点B的对应点坐标；
（3）分别连接相交于点，则此点就是旋转中心，由中点公式即可求得旋转中心的坐标；
（4）取点关于x轴的对称点D，连接交x轴于点P，连接，则可确定点P的位置；利用待定系数法求出直线的解析式，即可求得点P的坐标．
【小问1详解】
解：如图，A、B、C三点关于原点的中心对称点的坐标分别为，依次连接这三点得到旋转后对应的；
【小问2详解】
解：∵点A的对应点的坐标为，
∴平移向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，
∴点B的对应点坐标，
故答案为：；
【小问3详解】
解：分别连接相交于点，则点就是旋转中心，其坐标为；
故答案为：；
【小问4详解】
解：取点关于x轴的对称点D，连接交x轴于点P，连接，
则最小；
设直线的解析式为，
由（2）知，C点向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，对应点
则，
把点及代入中，得：，
解得：，
即；
令，得，
∴点P的坐标为．
故答案为：．
19. 2023年3月22日至28日是第三十届“中国水周”，某学校组织开展主题为“节约用水，共护母亲河”的社会实践活动．A小组在甲，乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份用水量，分别将两个小区居民的用水量分为5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息：
信息一：

信息二：甲、乙两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下：
信息三：乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）__________；
（2）在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，比较，大小，并说明理由；
（3）若甲小区共有600户居民，乙小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于的总户数；
（4）因任务安排，需在B小组和C小组分别随机抽取1名同学加入A小组，已知B小组有3名男生和1名女生，C小组有2名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率．
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）90户 （4）
【解析】
【分析】（1）根据中位数的定义进行计算即可；
（2）根据题意分别求出3月份用水量低于平均数的户数，再计算进行比较即可；
（3）用总户数乘以不低于所占的比例即可求解；
（4）画树状图，共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵随机抽取了30户居民，
故中位数是数据从小到大排列的第15个和第16个的平均数；
根据条形统计图可知：用水量在的有3户，用水量在的有11户，用水量在的有10户，用水量在的有4户，用水量在的有2户，故中位数是在第三组中，且是第三组中第1个和第2个的平均数，
∵乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6．
∴乙小区3月份用水量的中位数是；
故答案为：．
【小问2详解】
解：在甲小区抽取的用户中，3月份用水量的平均数为：9.0；
低于本小区平均用水量的户数为（户），
故在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，即；
在乙小区抽取的用户中，3月份用水量的平均数为：9.1；
低于本小区平均用水量的户数为（户），
故在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，即；
∵，
故．
【小问3详解】
解：甲小区3月份用水量不低于的总户数为（户），
乙小区3月份用水量不低于的总户数为（户），
40+50=90（户）
即两个小区3月份用水量不低于的总户数有90户．
【小问4详解】
解：画树状图如图：

共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有6种，
∴抽取的两名同学都是男生的概率为．
【点睛】本题考查了用树状图法求概率，中位数，条形统计图，用样本估计总体等，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20. 已知如图所示，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形的自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的增长为），另外的边利用学校现有总长的铁栏围成，开有两个长为1米的木质门．
（1）求线段的取值范围；
（2）若围成的面积为，试求出自行车车棚的长和宽．
（3）能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）
（2）自行车车棚的长和宽分别为27m，
（3）不能围成面积为的自行车车棚，见解析
【解析】
【分析】（1）设线段的长为，则的长为，根据可利用的增长为，即可求解；
（2）表示出矩形面积，求出即可；
（3）由长方形的面积列出方程，解方程，即可解决问题．
此题主要考查了一元二次方程应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【小问1详解】
解：设线段的长为，则的长为，
根据题意得，解得，
线段的取值范围为；
【小问2详解】
解：根据题意列方程，得，
解得，；
当时，，
当时，，而墙长，不合题意舍去，
答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为27m，；
【小问3详解】
解：不能围成面积为的自行车车棚．理由如下：
根据题意得，
整理得：，
，
方程无实数根，
不能围成面积为的自行车车棚．
21. 如图，在中，点，分别在，的延长线上，且，连接与交于点，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求四边形的周长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，，进而得出，证明，根据证明，即可得证；
（2）证明是菱形，根据菱形的性质，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形
∴，（平行四边形的对边平行且相等）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵
∴ 即
在和中
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
又∵
∴是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
∴（菱形的四条边都相等）
∴菱形的周长.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22. “低碳生活，绿色出行”的理念已深入人心，现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游．周末，小红相约到郊外游玩，她从家出发0.5小时后到达甲地，玩一段时间后按原速前往乙地，刚到达乙地，接到妈妈电话，快速返回家中．小红从家出发到返回家中，行进路程y（km）随时间x（h）变化的函数图象大致如图所示．
（1）小红从甲地到乙地骑车的速度为 km/h；
（2）当1.5≤x≤2.5时，求出路程y（km）关于时间x（h）的函数解析式；并求乙地离小红家多少千米？
【答案】（1）20；（2）乙地离小红家30千米.
【解析】
【分析】（1）求出OA段的速度即可得出结论；
（2）当1.5≤x≤2.5时，设y=20x+b，利用待定系数法即可解决问题.
【详解】（1）在OA段，速度==20km/h，
故答案为：20；
（2）当1.5≤x≤2.5时，设y=20x+b，把（1.5，10）代入得到，10=20×1.5+b，
解得b=﹣20，
∴y=20x﹣20，
当x=2.5时，解得y=30，
∴乙地离小红家30千米.
【点睛】本题考查一次函数的应用，读懂图象信息，掌握待定系数法是解题的关键.
23. 阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答：
上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案；
（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案．
【小问1详解】
解：
或
∴，；
【小问2详解】
解：
或
∴，．
24. 已知，如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B的坐标分别为，且a、b的值为方程的两个解，点C在x轴正半轴上，且，点P在x轴上从点B出发沿射线方向运动，运动速度为2个单位长度/秒，运动时间为t秒；
（1）求点C的坐标；
（2）如图2，当点P在线段上时，连接，将线段绕点P顺时针旋转至（点A与点E对应），连接，当轴时，求此时t的值；
（3）如图3，当动点P在线段上时，以为邻边构造平行四边形，连接，将沿折叠得到（点F与点B对应），当点F恰好落在线段上时，过点P作于点Q，求线段的长．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由，得出，因为，得出；
（2）先根据旋转性质，证明，得出，结合点P在x轴上从点B出发沿射线方向运动，运动速度为2个单位长度/秒，运动时间为t秒，解出；
（3）因为四边形是平行四边形，得出沿折叠得到（点F与点B对应），得出，证明，结合，因为，解出，即可作答．
【小问1详解】
解：∵a、b的值为方程的两个解，
∴，
∴，
∵点A、B的坐标分别为，，
∴，
则，
∵，
∴，
解得，
∵点C在x轴正半轴上，
∴；
【小问2详解】
解：∵，将线段绕点P顺时针旋转至（点A与点E对应），
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
则，
即，
∴，
∵点P在x轴上从点B出发沿射线方向运动，运动速度为2个单位长度/秒，运动时间为t秒，
∴，
则；
【小问3详解】
解：如图：过点A作，
∵以为邻边构造平行四边形，
∴，
∵，
∴
∵沿折叠得到（点F与点B对应），
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
则
∴
∴，
则，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形是判定与性质，勾股定理，等面积法，因式分解解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
甲小区3月份用水量频数分布表
用水量（x/m）
频数（户）
4
9
10
5
2
甲小区
乙小区
平均数
9.0
9.1
中位数
9.2
a
（1）分解因式
①竖分二次项与常数项：
，
②交叉相乘，验中项：
③横向写出两因式：
（2）若，则或，所以方程可以这样求解：
方程左边分解因式得
∴或
∴，