辽宁省沈阳市南昌初级中学2023-2024学年九年级下学期开学调研数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省沈阳市南昌初级中学2023-2024学年九年级下学期开学调研数学试卷（解析版），共27页。试卷主要包含了 下列运算结果正确的是等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1. 《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若气温为零上10℃记作+10℃，则表示气温为（ ）
A. 零上8℃B. 零下8℃C. 零上2℃D. 零下2℃
【答案】B
【解析】
【分析】根据用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论即可．
【详解】解：若气温为零上10℃记作+10℃，则表示气温为零下8℃，
故选B．
【点睛】本题考查正负数的意义，关键是理解正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
2. 下图是由四个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】主视图即为在正面内得到的由前向后观察物体的视图，由此确定即可．
【详解】解：从正面看，该几何体第1列有1个正方形，第2列有2个正方形，第3列有1个正方形，所以从左往右小正方形的个数分别为1,2,1．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三视图，正确理解主视图的定义是判断的关键．
3. 中国传统纹饰图案不但蕴含了丰富的文化，而且大多数图案还具有对称美．下列纹饰图案中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形定义逐项判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形， 故选项错误，不符合题意；
B、不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意；
C、不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意；
D、是中心对称图形，故选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形的定义即：把一个图形绕某个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形的定义．
4. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂乘法和完全平方公式的计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、，计算错误，不符合题意；
B、，故正确，符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂乘法和完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键．
5. 关于x的一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有且只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=9＞0，进而即可得出方程x2﹣x﹣2=0有两个不相等的实数根．
【详解】解：∵△=（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）=9＞0，
∴方程x2﹣x﹣2=0有两个不相等的实数根．
故选A．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
6. 解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式，得到一个一元一次方程，这个整式是（ ）
A. xB. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查解分式方程中的去分母，直接去分母即可得到答案，掌握等式的基本性质是解决问题的关键．
【详解】解：分式方程的最简公分母是，
方程两边都乘同一个整式去分母是，
故选：C．
7. 关于一次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A B. 过点0,1
C. y随x的增大而减小D. 当时，
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征．根据一次函数图象所经过的象限判断的符号，根据函数图象可以判断函数的增减性．
【详解】解：A、由函数图象经过第二、四象限，可以判定，原说法正确，不符合题意；
B、由函数解析式知：该直线经过点，原说法正确，不符合题意；
C、由函数图象知，随的增大而减小，原说法正确，不符合题意；
D、当时，，由函数图象知，当时，，原说法错误，符合题意．
故选：D．
8. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出数量关系是解题关键．设清酒x斗，则醑酒斗，根据题意正确列方程即可．
【详解】解：设清酒x斗，则醑酒斗，
由题意可得：，
故选：A．
9. 如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，得到，平行线的性质，得到，三角形的外角的性质，得到，进而求出的度数．
【详解】解：如图：

∵正六边形一个外角的度数为：，
∴正六边形的一个内角的度数为：，
即：，
∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，，
∴，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查正多边形的内角和、外角和的综合应用，平行线的性质．熟练掌握多边形的外角和是，是解题的关键．
10. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D．
【详解】解：由题意得，，平分，
∵在中，，，
∴
∵平分，
∴，故A正确；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故C错误；
过点E作于G，于H，

∵平分，，，
∴
∴，故D正确；
故选：C．
【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键．
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 因式分解：___________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．
先提公因式，再利用平方差公式即可求解．
【详解】解：
故答案为：
12. 如图，已知A，B的坐标分别为，，将沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到，若，则点C的坐标为 _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，由可得，进而得到，即将沿x轴正方向平移1个单位得到，然后将A向右平移1个单位得到C，最后根据平移法则即可解答．
【详解】解：∵
∴，
∵，
∴，
∴将沿x轴正方向平移1个单位得到，
∴点C是将A向右平移1个单位得到的
∴点C是的坐标是，即．
故答案为：．
13. 一个不透明的箱子里有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除了颜色外其他都相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，则摸出的两个球恰好颜色不同的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．解题的关键是掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球恰好颜色不同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球恰好颜色不同的有4种情况，
∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率是：．
故答案为：．
14. 如图，在中，边在x轴上，边交y轴于点E．反比例函数的图象恰好经过点D，与对角线交于点F．若，则k的值为_______

【答案】4
【解析】
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，设点，则，．证明，结合相似三角形的性质以及可得，再证明，结合相似三角形的性质以及可得，即有，然后根据，可求得的值．
【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图

设点则
轴
又
轴，轴，
又
点F的纵坐标为
轴
点H的横坐标为，
是对角线，，
即
解得，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、反比例函数的图象与性质等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键．
15. 如图，在矩形中，，P是对角线上的动点，连接，将直线绕点P顺时针旋转使，且过D作，连接，则最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】如图，作于H，连接延长交于F，作于E．证明，推出定值，推出点G在射线上运动，推出当时，的值最小，求出即可．
【详解】解：如图，作于H，连接延长交于F，作于E．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴定值，
∴点G在射线上运动，
∴当时，的值最小，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴
在中，∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为．
【点睛】本题考查旋转变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形核或全等三角形解决问题．
三．解答题（共8小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）3；（2）．
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值以及实数的混合运算：
（1）本题涉及了负整数指数幂、二次根式的化简、零指数幂以及特殊角的三角函数值，计算时针对每个考点依次计算；
（2）先把原式化简，化为最简后，再把x的值代入，注意计算出x的值．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
当时，原式．
17. 为丰富学生课余生活，展示青少年美育学习成效，推动美育教育大发展．惠农区教体局组织开展了“百米长卷绘盛世 笔墨丹青寄未来”绘画活动，某学校为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元．
（1）求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元；
（2）某中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？
【答案】（1）每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元
（2）该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用．
（1）根据“购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元”可以列出相应的方程组，然后求解即可；
（2）根据某中学决定购买以上两种型号的颜料共盒，总费用不超过元，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
【小问1详解】
设每盒A种型号的颜料a元，每盒B种型号的颜料b元，
由题意可得：，
解得，
答：每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元；
【小问2详解】
设购买x盒A种型号的颜料，则购买盒B种型号的颜料，
∵总费用不超过3920元，
∴，
解得，
∵x为整数，
∴x的最大值为90，
答：该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料．
18. 中考体育测试前，金川区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图：
请你根据图中的信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中a＝ %，并补全条形统计图．
（2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是 个、 个．
（3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1800人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？
【答案】（1）25，图见解析
（2）5，5 （3）810名
【解析】
【分析】（1）用1减去其他天数所占的百分比即可得到a的值，用360°乘以它所占的百分比，即可求出该扇形所对圆心角的度数；
（2）根据众数与中位数的定义求解即可；
（3）先求出样本中得满分的学生所占的百分比，再乘以1800即可．
【小问1详解】
解：扇形统计图中a=1-30%-15%-10%-20%=25%，
设引体向上6个的学生有x人，由题意得
，解得x=50．
条形统计图补充如下：
故答案为：5；
【小问2详解】
解：由条形图可知，引体向上5个的学生有60人，人数最多，所以众数是5；
共200名同学，排序后第100名与第101名同学的成绩都是5个，故中位数为（5+5）÷2=5．
故答案为：5，5．
【小问3详解】
解：（名）．
答：估计该区体育中考选报引体向上的男生能获得满分的同学有810名．
【点睛】本题考查了众数与中位数的意义．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数．也考查了条形统计图、扇形统计图与用样本估计总体．
19. 北京市平谷区是中国著名的大桃之乡，有着“山水平谷、森林城市、花果田园、人文胜地”的美誉，平谷大桃久负盛名，已经成为北京特色农业的代表、平谷区的一张名片，经过50多年的发展，大桃产业已成为平谷10万农民增收致富的重要渠道，每年盛夏时节，平谷大桃就会迎来成熟期，平谷某水果店采用线上和线下相结合的方式销售一种水蜜桃，线上可以通过“快团团”进行团购拼单购买,线下可以到实体店购买，具体费用标准如下：
①线上销售方式：一律七折销售；②线下销售方式：不超过5千克，按原价销售；超过5千克时，超出的部分每千克优惠9元；
购买水蜜桃千克，所需费用元，与之间的函数关系如图所示．
（1）水蜜桃标价为_________元/千克；
（2）求出线下销售时所需费用与之间的函数关系式；
（3）若想购买20千克水蜜桃，请问采用哪种方式购买更省钱？
【答案】（1）20 （2）
（3）线下购买更省钱
【解析】
【分析】（1）根据图象上的数据计算得到折后价，折后价除以即得标价
（2）当时，原价为20，得到，当时，超出5千克的部分每千克优惠9元，得到；
（3）当时，分别计算线上购买与线下购买的总费用，比较两种情况的总费用即得最省钱购买方式．
【小问1详解】
（元/千克），
（元/千克），
故答案为：20．
【小问2详解】
当时，，
当时，
，
，
线下销售时所需费用与之间的函数关系式为；
【小问3详解】
当时，，
，
∵．
∴ 线下购买更省钱．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用——购买问题，解决问题的关键是熟练掌握函数图象信息，总价与单价和数量的关系，折后价与标价和折率的关系，分段计费，方案选择．
20. 如图1，某人的一器官后面处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下：
请你根据上表中的测量数据，计算新生物处到皮肤的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，）
【答案】新生物处到皮肤的距离约为
【解析】
【分析】过点作，垂足为，在，用 与的正切值表示出，在中，用和的正切值表示出，由，联立求解即可．
【详解】解：过点作，垂足为．
由题意得，，，
在中，．
在中，．

∵，
∴，
∴．
答：新生物处到皮肤的距离约为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，通过三角函数求解线段是求解本题的关键．
21. 如图，是的直径，点C，点D在上，，与相交于点E，与相切于点A，与延长线相交于点F．
（1）求证：．
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据切线性质得到∠BAF=90°，由得出∠CAD=∠CDA，结合∠CDA=∠ABC，证明∠CAF=∠CAD，从而证明△ACF≌△ACE，即可得到结论；
（2）根据EF求出CE，结合sin∠ABF=sin∠CAD求出AE，再利用勾股定理算出AC，最后根据sin∠ABF=求出AB即可得到半径．
【详解】解：（1）∵AB为圆O直径，
∴∠ACB=90°，
∵AF与圆O相切，
∴∠BAF=90°=∠CAF+∠CAB，
∴∠CBA+∠CAB=90°，
∵，
∴AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
又∵∠CDA=∠CBA，
∴∠CDA+∠CAB=∠CAD+∠CAB=90°，
∴∠CAF=∠CAD，又AC=AC，∠ACF=∠ACE=90°，
∴△ACF≌△ACE（ASA），
∴AE=AF；
（2）∵∠ABF=∠ADC=∠CAD，
∴sin∠ABF=sin∠CAD==，
∵△ACF≌△ACE，EF=12，
∴CE=CF=6，
∴=，解得：AE=10，
∴AC==8，
∴sin∠ABF==，
∴AB=，
∴圆O的半径为．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定和性质，正弦的定义，知识点较多，有一定难度，解题时要注意多个知识点相结合．
22. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】[任务一]；[任务二]；[任务三] 小雪在该训练场地滑行时会落在小山坡上
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，二次函数的平移，求抛物线与坐标轴的交点坐标；
[任务一]待定系数法求解析式即可求解；
[任务二]设抛物线的函数表达式为，根据抛物线求出落地点坐标，然后将，代入解析式，即可求解；
[任务三]先求得跳台增高后的解析式，再令，解方程得出的值，令抛物线中，解方程得出的值，比较，即可求解．
【详解】解：[任务一]将代入抛物线，得，
解得：
[任务二]由[任务一]可得抛物线，
当时，，则落地点坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
将，代入得，
，
解得：，
∴；
[任务三] 小雪在该训练场地滑行时会落在小山坡上，
∵跳台高度增加了米，
∴跳台增高后的解析式为
当时，，
解得：（舍去）
即小雪落地时距离点，
对于
当时，，
解得：（舍去）
∵
∴小雪在该训练场地滑行时会落在小山坡上，
23. 下面是平顶山某初中数学小组对某教材一道习题的探究，请仔细阅读，并完成任务．“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在探索中，有人曾利用过如图所示的图形，其中，是长方形，F是延长线上一点，G是CF上一点，并且，．你能证明吗？
小明：经过分析，得出结论：点G是线段的中点，且；
小丽：你的结论正确，若把条件“G是上一点，并且，”去掉，并把你的结论当成已知条件，也能完成三等分角的证明，有异曲同工之妙．
任务一：请你根据小丽的思路，将下面的“已知”和“求证”补充完整，并写出“证明”过程．
已知：是矩形，F是延长线上一点，点G是的中点，且；
求证：；
任务二：如图，在矩形中，对角线的延长线与的平分线交于点F，若，，求的长．
任务三：如图所示，在中，，，点P在线段上，点D在线段上，，，求的面积．
【答案】任务一：详见解析
任务二：
任务三：
【解析】
【分析】任务一：根据矩形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，根据平行四边形的性质得到，于是得到；
任务二：取的中点，连接，过点作 于点，根据矩形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，设，得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据勾股定理即可得到结论．
任务三：作线段垂直平分线，交于E，于F，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定与性质证明，再证明，得到，然后设，则，在中，由勾股定理，得，在中，由勾股定理，得，则有，解之求得，从而求得，最后由求解即可．
【详解】解：任务一：已知：四边形是矩形，F是延长线上一点，点G是的中点，且，
求证：；
证明：四边形是矩形，
，，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
任务二：取的中点，连接，过点作 于点，
四边形是矩形，
，
点是的中点，
，
，
设，
，
，
，
，
，平分，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
任务三：如图，作线段垂直平分线，交于E，于F，
∵垂直平分，
∴， ，，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
设，则，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
∴，
∴，
∴；
∴．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，正确地作出辅助线是解题的关键．课题
检测新生物到皮肤的距离
工具
医疗仪器等
示意图

说明
如图2，新生物在处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离处的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为．
测量数据
，，
如何选择合适的跳台高度？
素材1
跳台滑雪是运动员借助速度和弹跳力，沿着跳台下滑，并从起跳点腾空，在空中沿抛物线飞行至着陆坡．图1是某小型跳台滑雪训练场的实物图，图2是其横截面示意图，以地面的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，其最左端位于点的正上方米处，最右端在水平线上，且最高点在距点水平距离8米处．

素材2
小雪从点正上方米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．该滑雪场有若干个跳台高度不同，小山坡完全相同的训练场地，在不同场地滑行时，小雪滑行的抛物线形状不变．
问题解决
任务1
确定滑行路径
求值；
任务2
确定山坡形状
当小雪滑行到离处的水平距离为11米时，恰好落在小山坡上，求抛物线的函数表达式；
任务3
选择跳台高度
若小雪选择的跳台高度增加了米，请判断在该训练场地滑行时是否会落在小山坡上．