辽宁省沈阳市第一二六中学教育集团2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份辽宁省沈阳市第一二六中学教育集团2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的性质．根据不等式的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、若，则，故本选项错误，不符合题意；
B、若，则，，故本选项正确，符合题意；
C、若，则，故本选项错误，不符合题意；
D、若，则，故本选项错误，不符合题意；
故选：B
2. 分式的值是零，则的值为（ ）
A. 5B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用分式值为零的条件可得，且，再解即可．
【详解】解：由题意得：，且，
解得：，
故选：．
【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
3. 下列各式，①，②，③，④属于正确的因式分解的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】根据因式分解的意义对各小题进行分析即可．
【详解】解：①x2﹣x2y4＝x2（1﹣y4）＝x2（1﹣y2）（1+y2）＝x2（1+y）（1﹣y）（1+y2），故原题因式分解错误；
②x2﹣1+2x＝（x﹣1）2，故原题因式分解错误；
③﹣a2+2ab﹣b2＝﹣（a﹣b）2，正确；
④等式左边不是多项式，右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，
所以属于正确的因式分解的有1个．
故选：A．
【点睛】本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
4. 一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）
A. 七边形B. 八边形C. 九边形D. 十边形
【答案】A
【解析】
【分析】根据n边形的内角和是（n﹣2）•180°，列出方程即可求解．
【详解】解：根据n边形的内角和公式，得
（n﹣2）•180°=900°，
解得n=7，
∴这个多边形的边数是7，
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟记内角和公式并列出方程．
5. 小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（ ）
A. ①②B. ①④C. ②③D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定，那么平行四边形的大小就确定．
确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
【详解】只有②③两块角的两边相互平行，且中间部分相连，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
带②③两块碎玻璃就可以确定平行四边形的大小．
故选C．
6. 如图，三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A. 1处B. 2处C. 3处D. 4处
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理的应用．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
根据角平分线的性质定理判断作答即可．
【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴到三条公路的距离相等的点在角平分线的交点上，
如图，

三角形两个内角平分线的交点，三角形外角两两平分线的交点均为满足要求的点，共4处，
故选：D．
7. 小明用30元购买铅笔和签字笔，已知铅笔和签字笔的单价分别是2元和5元，他买了2支铅笔后，最多还能买几支签字笔？设小明还能买x支签字笔，则下列不等关系正确的是（ ）
A. 5×2+2x≥30B. 5×2+2x≤30C. 2×2+2x≥30D. 2×2+5x≤30
【答案】D
【解析】
【分析】设小明还能买x支签字笔，则小明购物的总数为元，再列不等式即可.
【详解】解：设小明还能买x支签字笔，
则：
故选：
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，确定购物的总金额不大于所带钱的数额这个不等关系是解题的关键.
8. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可；
【详解】解：平行四边形对角相等，故A错误；
一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误；
三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键．
9. 如果关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了分式方程的解，解答此题的关键是要明确：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
【详解】解：∵有正数解，
∴，则，
，
去分母，得，，
移项合并，得，，
∵方程的解是正数，
∴，
解得：且，
故选：B．
10. 随着科技的进步，在很多城市都可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．小聪同学想乘公交车，他走到A、B两站之间的C处，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为700m（如图），此时他有两种选择：
（1）与公交车相向而行，到A公交站去乘车；
（2）与公交车同向而行，到B公交站去乘车．
假设公交车的速度是小聪速度的6倍，小聪无论选择哪站乘坐都不会错过这辆公交车，则A，B两公交站之间的距离最大为（ ）
A. 240mB. 260mC. 280mD. 300m
【答案】A
【解析】
【分析】可设小聪的速度是x m/分，则公交车速度是6x m/分，看手机后走的时间为t分，A，B两公交站之间的距离为y m，计算得到小明的路程，公交车的路程，再根据小聪无论选择哪站乘坐都不会错过这辆公交车得到关于y的不等式，故可求解．
【详解】解：设小聪的速度是x m/分，则公交车速度是6x m/分，看手机后走的时间为t分，A，B两公交站之间的距离为y m，
到A公交站：xt＋6xt＝700，
解得xt＝100，
则6xt＝6×100＝600，
到B公交站，由小聪不会错过这辆公交车可得
解得y≤240．符合题意
故A，B两公交站之间的距离最大为240m．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是找到不等关系列出一元一次不等式．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 分解因式：_____________．
【答案】a（a-9）
【解析】
【分析】原式提取公因式a即可．
【详解】解：原式=a（a-9）．
故答案为：a（a-9）．
【点睛】此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提公因式的方法是解本题的关键．
12. 如图，已知函数y=ax+2与y=bx-3的图象交于点A（2，-1），则根据图象可得不等式ax＞bx-5的解集是__________________．
【答案】x＜2．
【解析】
【详解】试题解析：∵ax＞bx-5，
∴ax+2＞bx-3，
从图象上看，在交点的左边，相同自变量的取值，y=ax+2的函数值大于y=bx-5的函数值，
∴ax＞bx-5的解集是：x＜2．
考点：一次函数与一元一次不等式的关系.
13. 在ΔABC中，若，，，则ΔABC的面积是______．
【答案】75或25
【解析】
【分析】过点作于点，通过解直角三角形及勾股定理可求出，，的长，进而可得出的长，再利用三角形的面积公式即可求出ΔABC的面积．
【详解】解：过点作，垂足为，如图所示．
在中，，；
在中，，，
∴，
∴或，
∴或25．
故答案为75或25．
【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，通过解直角三角形及勾股定理，求出，的长度是解题的关键．
14. 关于的不等式组的所有整数解的和是，则的取值范围是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，首先求得不等式组的解集，然后根据所有整数解的和是，即可求得最大的整数解，即可确定的范围，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：
由得，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组的所有整数解的和为，
∴整数解为，，或，，，，，，
当整数解为，，时，，
当整数解为，，，，，时，，
故答案为：或．
15. 如图，已知点，点在轴正半轴上，连接，点在的右侧，且，，若点的坐标为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】在轴上分别取点，，使得，构造出全等三角形，再结合勾股定理即可解决问题．本题考查坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，通过辅助线构造出全等三角形及勾股定理的巧妙运用是解题的关键．
【详解】解：在轴上分别取点，，使得，，
，
．
又，
，
．
在和中，
，
，
，．
过点作轴垂线，垂足为，
点坐标为，点的坐标为，
，，
．
令，
，
，
，
则．
又，
，
，
则，
解得，
，．
在中，
，
即．
故答案为：．
三、解答题（本题包括8小题，共75分）
16. 因式分解：．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了因式分解的方法，综合利用公式法分解因式即可，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
【详解】
．
17. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】分别解两个一元一次不等式，再写出不等式组的解集即可．
【详解】解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以，不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先将括号内式子通分，再约分化简，最后将代入求值即可．
【详解】解：，
将代入得，
原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则和完全平方公式是解题的关键．
19. 近期，全国文化和旅游业呈现出快速复苏的良好势头，据美团、大众点评数据显示，今年沈阳旅游订单（含酒店、景点门票）同比增长超．世界文化遗产——故宫是热门的旅游目的地之一．某故宫文创店积极为旅游热门活动作好宣传与备货工作．已知该文创店销售甲、乙两种文创产品，每个甲种文创的进价比每个乙种文创的进价多4元；用400元购进甲种文创和用240元购进乙种文创的数量相同．文创店将每个甲种文创售价定为13元，每个乙种文创售价定为8元．
（1）每个甲种文创和每个乙种文创的进价分别是多少？
（2）根据市场调查，文创店计划用不超过3000元的资金购进甲、乙两种文创共400个，假设这400个文创能够全部卖出，求该文创店获得销售利润最大的进货方案．
【答案】（1）每个甲种文创的进价是10元，每个乙种文创的进价是6元
（2）该专卖店购进甲种纪念品150个，乙种纪念品250个，获得的销售利润最大
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程应用， 一元一次不等式的应用，以及一次函数的实际应用．
（1）设每个甲种文创的进价是x元，则每个乙种文创的进价是元，根据题意列出方程求解即可．
（2）设该文创店购进甲种文创m个，则购进乙种文创个，根据文创店计划用不超过3000元的资金购进甲、乙两种文创共400个列出关于m的一元一次不等式，求出m的取值范围，设销售甲、乙两种文创获得的利润为w元，列出关于m的一次函数，结合一次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：设每个甲种文创的进价是x元，则每个乙种文创的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：每个甲种文创的进价是10元，每个乙种文创的进价是6元；
【小问2详解】
设该文创店购进甲种文创m个，则购进乙种文创个，
由题意得：，
解得：，
设销售甲、乙两种文创获得的利润为w元，
由题意得：，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∵，且m为正整数，
∴m最大值是150，
∴当时，w取最大值，此时，，
答：该专卖店购进甲种纪念品150个，乙种纪念品250个，获得的销售利润最大．
20. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，点E在线段上，点E为的中点．
（1）求证：；
（2）若F，G分别是的中点．
①求证：是等腰三角形；
②当时，直接写出线段的长______．
【答案】（1）证明见解析
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质及已知条件可得是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质求解即可；
（2）①根据等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，根据三角形中位线的性质得出，再由平行四边形的性质得出，即可证明；②先证明四边形是平行四边形，是等腰直角三角形，设，则，，再利用勾股定理解即可．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
是等腰三角形，
，
；
小问2详解】
①证明：是等腰三角形，点E为的中点，
，
是直角三角形，
点G为的中点，
，
F，E分别是的中点
，
四边形是平行四边形，
，
，
是等腰三角形；
②解：F，E分别是的中点
，，
又平行四边形中，，，G是的中点，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
，，
设，则，
，
在中，，
，
解得或（舍去），
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形中位线定理等知识，综合应用上述知识点是解题的关键．
21. [问题提出]∶ 如何解不等式？
预备知识1：
同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题．
图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到：
当时， 函数的图象在图象上方， 由此可知∶ 不等式的解集为 ．
预备知识2：函数 称为分段函数，其图象如图②所示，实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号．
比如∶化简时， 可令和， 分别求得， (称1， 3分别是和的零点值)， 这样可以就，，三种情况进行讨论∶
(1) 当时，
(2) 当时，；
(3) 当时，，所以就可以化简为
预备知识3：函数 (b为常数) 称为常数函数，其图象如图③所示．
[知识迁移]
如图④， 直线与直线相交于点，则关于x的不等式． 的解集是 ．
[问题解决]：
结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式 ． 在平面直角坐标系内作出函数的图象，如图⑤． 在同一直角坐标系内再作出直线． 的图象，如图⑥，可以发现函数与的图象有两个交点，这两个交点坐标分别是 ， ；
通过观察图象，便可得到不等式的解集． 这个不等式的解集为 ．
【答案】[问题提出]；[知识迁移]；[问题解决]，；或
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，熟练掌握函数的性质，数形结合是解题的关键．
[问题提出]
观察图象即可得出答案；
[知识迁移]
由点在上，可求出m的值，观察图象即可；
[问题解决]
由，求出与的两个交点坐标，画出图象即可解决问题．
【详解】解：[问题提出]，如图，
∵当时，函数的图象在的图象上方，
∴不等的解集为：，
故答案为：；
[知识迁移]，如图，
∵点在上，
∴，
解得：，
∴，
∵当时，直线图象在的图象的上方，
∴不等式，
即的解集为：，
故答案为：；
[问题解决]，如图，
设，
根据题意得：
由函数图象得：与有交点，
则，
解得：，
与有交点，
则
解得：
∴与的两个交点坐标分别为：
，；
故答案为：，；
由函数图象可知，当时，的图象在的上方，
当时，的图象在的上方，
故不等式的解集为：或，
故答案为：或．
22. 如图1，在中，，点A在x轴上，以为一边，在外作等边三角形，D是的中点，连接并延长交于E．
（1）①求点B的坐标；
②求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，将图1中的四边形折叠，使点C与点A重合，折痕为，求的长；
（3）如图1，连接，在线段上有一动点M，连接，直接写出的最小值为______．
（4）若去掉题干中这个条件，点F为外一点，连接，若，则当线段的长度最小时，______，的最小值是______；
【答案】（1）①；②证明见解析
（2）
（3）
（4）；4
【解析】
【分析】（1）①利用直角三角形性质和勾股定理即可求得答案；
②首先可得，是的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证得，又由是等边三角形，可得，根据内错角相等，两直线平行，可证得，继而可得四边形是平行四边形；
（2）设，则，运用勾股定理建立方程求解即可求得答案；
（3）将绕点顺时针旋转得到，连接，可得，当、、、在同一条直线上时，为最小值，再运用勾股定理即可求得；
（4）以为边在内部作等边三角形，连接，可证得，得出，当线段的长度．最小时，最小，即可求得答案．
【小问1详解】
解：①在中，，
，
∴点的坐标为；
②证明：∵，
∴轴，
∵轴轴，
∴轴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：如图，设，
∵是等边三角形，
∴，
，
由折叠得，
在中，，
即，
解得：，
∴的长为；
【小问3详解】
解：如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接，
则，
∴是等边三角形，
，
，
当、、、在同一条直线上时，为最小值，
∵是的中点，，
∴，
∴是等边三角形，
，
，
∴是等边三角形，
，
∴点是的中点，
，
，
∴、、三点在同一条直线上，
，
，
故答案为：；
【小问4详解】
解：如图，以为边在内部作等边三角形，连接，
则，
∵是等边三角形，
，
，
在和中，
，
，
，
当线段的长度最小时，最小，
，
∴的最小值为4，此时点落在线段上，，
∴的最小值为4；
故答案为：．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠变换和旋转变换的性质，勾股定理，两点之间线段最短等，正确添加辅助线是解题关键．