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甘肃省兰州市皋兰县第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
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这是一份甘肃省兰州市皋兰县第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知i为虚数单位，则复数（1﹣i）（2﹣i）＝（ ）
A．﹣1﹣3iB．﹣1+3iC．1﹣3iD．1+3i
2．（5分）若随机变量的分布列如表，则P（|X﹣2|＝1）的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）已知平面α的一个法向量为，直线l的方向向量为，若l∥α（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（5分）在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布N（100，σ2）（σ＞0），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的（含80分和100分）之间的人数为800，则可以估计参加本次联考的总人数约为（ ）
A．1600B．1800C．2100D．2400
5．（5分）已知函数f（x）＝（x2﹣3）ex，则f（x）的极小值点为（ ）
A．﹣3B．1C．6e﹣3D．﹣2e
6．（5分）设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.3、0.5，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.6、0.8，则甲正点到达目的地的概率为（ ）
A．0.62B．0.64C．0.58D．0.68
7．（5分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是线段BD上的一点，且PD＝3PB，设，，，则＝（ ）
A．B．
C．D．
8．（5分）若函数在区间（1，2）内有最小值（ ）
A．（0，1）B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）已知两条平行直线m，n，直线m：3x+4y+2＝0，直线n：6x+8y+a＝0，n之间的距离为1，则a的值可以是（ ）
A．﹣8B．﹣6C．12D．14
（多选）10．（6分）高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E，F六个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ）
A．如果社区B必须有同学选择，则不同的安排方法有88种
B．如果同学乙必须选择社区C，则不同的安排方法有36种
C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有150种
D．如果甲、丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有36种
（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝x3﹣ax+1有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则（ ）
A．a≥0
B．x2＝﹣x1
C．f（x1）＞1＞f（x2）
D．f（x）的图象关于点（0，1）中心对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2a，a2+a}．若A∩B＝{2}，则a＝ ．
13．（5分）已知平面α的一个法向量为，点A（1，2，4）是平面α上的一点（﹣1，1，5）到平面α的距离为 ．
14．（5分）一批小麦种子的发芽率是0.7，每穴只要有一粒发芽，就不需要补种，则每穴至少种 粒，才能保证每穴不需要补种的概率大于97%．（lg3≈0.48）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（13分）已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为a，a+b＝275．
（1）求n的值；
（2）求展开式中x2的系数．
16．（15分）已知函数．
（1）若a＝1，求f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）的单调性．
17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，2AB＝2BC＝AD＝2，．
（1）证明：AD⊥PC；
（2）若，设M为PC的中点，求PB与平面AMD所成角的正弦值．
18．（17分）已知椭圆，直线l：y＝x+m（其中m＜0）与椭圆C相交于A，D为AB的中点，O为坐标原点，．
（1）求m的值；
（2）求△OAB的面积．
19．（17分）我国脱贫攻坚经过8年奋斗，取得了重大胜利．为巩固脱贫攻坚成果，某项目组对某种农产品的质量情况进行持续跟踪，检测结果均为合格，且质量指标分值如下：38，50，45，54，49，60，69
（1）从这10件农产品中任意抽取两件农产品，记这两件农产品中优质品的件数为Y，求Y的分布列和数学期望；
（2）根据生产经验，可以认为这种农产品的质量指标服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本质量指标平均数，σ2近似为方差，生产合同中规定，所有农产品优质品的占比不得低于15%．那么这种农产品是否满足生产合同的要求？请说明理由．
附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣σ＜X＜μ+σ），．
2023-2024学年甘肃省兰州市皋兰一中高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知i为虚数单位，则复数（1﹣i）（2﹣i）＝（ ）
A．﹣1﹣3iB．﹣1+3iC．1﹣3iD．1+3i
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解：（1﹣i）（2﹣i）＝6﹣i﹣2i﹣1＝8﹣3i，
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（5分）若随机变量的分布列如表，则P（|X﹣2|＝1）的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据概率分布列的性质求出a的值，由P（|X﹣2|＝1）＝P（X＝1）+P（X＝3）求得结果．
【解答】解：根据题意可得，
所以．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点：随机变量，分布列，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
3．（5分）已知平面α的一个法向量为，直线l的方向向量为，若l∥α（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由l∥α，得到直线l与平面α的法向量垂直，得出，进而求得m的值．
【解答】解：因为l∥α，所以，
所以，解得m＝3．
故选：C．
【点评】本题考查空间中线面位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（5分）在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布N（100，σ2）（σ＞0），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的（含80分和100分）之间的人数为800，则可以估计参加本次联考的总人数约为（ ）
A．1600B．1800C．2100D．2400
【分析】根据正态分布曲线的对称性求解．
【解答】解：因为数学考试成绩近似服从正态分布N（100，σ2）（σ＞0），且数学成绩高于120分的人数占总人数的，
所以数学成绩底于80分的人数占总人数的，
所以数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数占总人数的＝，
又因为数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为800，
所以估计参加本次联考的总人数约为＝2400人．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
5．（5分）已知函数f（x）＝（x2﹣3）ex，则f（x）的极小值点为（ ）
A．﹣3B．1C．6e﹣3D．﹣2e
【分析】f（x）的定义域为R，求导得f′（x）＝（x+3）（x﹣1）ex，分析f′（x）的符号，f（x）的单调性，极值点，即可得出答案．
【解答】解：f（x）的定义域为R，
f′（x）＝2xex+（x2﹣8）ex＝（x2+2x﹣5）ex＝（x+3）（x﹣1）ex，
所以在（﹣∞，﹣3）上f′（x）＞0，
在（﹣3，4）上f′（x）＜0，
在（1，+∞）上f′（x）＞2，
所以x＝1是f（x）的极小值点，
故选：B．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
6．（5分）设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.3、0.5，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.6、0.8，则甲正点到达目的地的概率为（ ）
A．0.62B．0.64C．0.58D．0.68
【分析】根据题意由全概率公式可解．
【解答】解：根据题意可设事件A＝“甲正点到达目的地”，
事件B＝“甲乘动车到达目的地”，事件C＝“甲乘汽车到达目的地”，
由题意知P（C）＝0.3，P（B）＝6.5，P（A|C）＝0.6．
由全概率公式得P（A）＝P（B）P（A|B）+P（C）P（A|C）＝0.5×6.8+0.7×0.6＝8.4+0.18＝2.58．
故选：C．
【点评】本题考查全概率公式相关知识，属于中档题．
7．（5分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是线段BD上的一点，且PD＝3PB，设，，，则＝（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据空间向量加法与减法的运算法则求解即可．
【解答】解：由题意可得，＝＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．
8．（5分）若函数在区间（1，2）内有最小值（ ）
A．（0，1）B．C．D．
【分析】依题意可知函数f（x）在区间（1，2）必定存在极值点，对f（x）求导，可令g（x）＝x2﹣ax﹣1，只需，解该不等式组即得答案．
【解答】解：由，若函数f（x）在区间（1．此时函数f（x）必定存在极值点，
由Δ＝a2+3＞0，设x1，x2为一元二次方程x2﹣ax﹣1＝7的两根，有，
故只需要1＜x2＜6即可，
令g（x）＝x2﹣ax﹣1，有，解得．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）已知两条平行直线m，n，直线m：3x+4y+2＝0，直线n：6x+8y+a＝0，n之间的距离为1，则a的值可以是（ ）
A．﹣8B．﹣6C．12D．14
【分析】将直线m：3x+4y+2＝0化为6x+8y+4＝0，代入两平行线间距离公式分析求解．
【解答】解：将直线m：3x+4y+5＝0化为6x+3y+4＝0，
则m，n之间的距离，
即|a﹣4|＝10，解得a＝14或﹣6．
故选：BD．
【点评】本题考查平行直线间的距离公式，属于基础题．
（多选）10．（6分）高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E，F六个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ）
A．如果社区B必须有同学选择，则不同的安排方法有88种
B．如果同学乙必须选择社区C，则不同的安排方法有36种
C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有150种
D．如果甲、丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有36种
【分析】根据间接法即可判断A，根据分步乘法计数原理即可判断BCD．
【解答】解：安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E，
对于A：如果社区B必须有同学选择，则不同的安排方法有63﹣43＝91（种）．
故A错误；
对于B：如果同学乙必须选择社区C，则不同的安排方法有67＝36（种）．
故B正确；
对于C：如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有6×5×7＝120（种）．
故C错误；
对于D：如果甲、丙两名同学必须在同一个社区（种）．
故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，属中档题．
（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝x3﹣ax+1有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则（ ）
A．a≥0
B．x2＝﹣x1
C．f（x1）＞1＞f（x2）
D．f（x）的图象关于点（0，1）中心对称
【分析】由题可得f′（x）＝0有两个不相等的实数根，利用Δ＞0可以判断A错误；
再利用韦达定理可以判断B正确；
利用导数研究f（x）的单调性，可以判断C正确；
利用g（x）＝x3﹣ax为奇函数可以判断D正确．
【解答】解：由题可得f′（x）＝3x2﹣a＝7有两个不相等的实数根，
所以Δ＝0+12a＞0，
所以a＞3，A错误；
根据题意，x1，x2为5x2﹣a＝0的两个根，
所以x8＝﹣x1，B正确；
因为x1＜2＜x2，且x1，x7为3x2﹣a＝7的两个根，
所以由f′（x）＝3x2﹣a＞3得x＜x1或x＞x2，
由f′（x）＝3x2﹣a＜0得x7＜x＜x2，
所以函数f（x）在（﹣∞，x1）上单调递增，
在（x2，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，
所以f（x2）＞f（0）＝1＞f（x2）成立，C正确；
因为g（x）＝x6﹣ax为奇函数，
所以g（x）＝x3﹣ax关于（0，4）对称，
所以f（x）＝g（x）+1＝x3﹣ax+7关于（0，1）对称．
故选：BCD．
【点评】本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与极值，化归转化思想，属中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2a，a2+a}．若A∩B＝{2}，则a＝ ﹣2 ．
【分析】结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{1，2，4}，a2+a}，A∩B＝{2}，
当6a＝2时，a＝1，6}不满足集合中元素的互异性；
当a2+a＝2时，可得a＝﹣2，所以a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查交集的交集，属于基础题．
13．（5分）已知平面α的一个法向量为，点A（1，2，4）是平面α上的一点（﹣1，1，5）到平面α的距离为 ．
【分析】利用空间向量法可得出点P到平面α的距离为，即可求解．
【解答】解：由已知可得，
所以点P到平面α的距离为．
故答案为：．
【点评】本题考查向量法求解点面距问题，属基础题．
14．（5分）一批小麦种子的发芽率是0.7，每穴只要有一粒发芽，就不需要补种，则每穴至少种 3 粒，才能保证每穴不需要补种的概率大于97%．（lg3≈0.48）
【分析】记事件A为“种一粒种子，发芽”，每穴种n粒相当于做了n次独立重复试验，记事件B为“每穴至少有一粒种子发芽”，求出P（A）、P（B），根据P（B）＞97%，求出n的最小正整数值．
【解答】解：记事件A为“种一粒种子，发芽”，
则P（A）＝0.7，P（．
因为每穴种n粒相当于做了n次独立重复试验，记事件B为“每穴至少有一粒种子发芽”，
则P（）＝0•0.7n＝0.3n，
所以P（B）＝3﹣P（）＝1﹣0.6n，
根据题意得P（B）＞97%，
即1﹣0.6n＞0.97，
所以0.4n＜0.03，
两边同时取以10为底的对数，得nlg0.2＜lg0.03，
即n（lg3﹣6）＜lg3﹣2，
解得n＞，
因为＝≈8.92，
且n∈N*，所以n的最小正整数值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了n次独立重复实验恰有k次发生的概率计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（13分）已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为a，a+b＝275．
（1）求n的值；
（2）求展开式中x2的系数．
【分析】（1）利用二项式系数的性质可得2n+3n＝275，解之即可；
（2）利用二项展开式的通项公式列式求解即可．
【解答】解：（1）∵二项式的展开式中，各项的系数之和为b，
∴a＝2n，b＝6n，又a+b＝2n+3n＝275，
∴n＝3；
（2）由通项公式，
令，可得k＝2，
故展开式中x8的系数为．
【点评】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（15分）已知函数．
（1）若a＝1，求f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）的单调性．
【分析】（1）利用导数可求得f（x）的单调性，由极值点的定义可求得极值．
（2）求导后，分别在a＜0和a＞0的情况，根据导函数的正负来确定函数单调性．
【解答】解：（1）当a＝1时，，定义域为（0，
，
所以当x∈（3，1）时，
当x∈（1，+∞）时，
所以f（x）在（4，1）上单调递减，+∞）上单调递增，
所以f（x）极小值为，无极大值．
（2）由题意知：f（x）定义域为（0，+∞），
，
当a＜0时，若，则f′（x）＞0，
若，则f′（x）＜0，
所以f（x）在上单调递增，在，
当a＞0时，若，则f′（x）＜0，
若，则f′（x）＞0，
所以f（x）在上单调递减，在，
综上所述：当a＜0时，f（x）在，在上单调递减，
当a＞2时，f（x）在，在上单调递增．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．
17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，2AB＝2BC＝AD＝2，．
（1）证明：AD⊥PC；
（2）若，设M为PC的中点，求PB与平面AMD所成角的正弦值．
【分析】（1）取AD的中点O，连接OP，OC，先证OP⊥AD，OC⊥AD，从而知AD⊥平面OPC，再由线面垂直的性质定理，即可得证；
（2）以O为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角，即可得解．
【解答】（1）证明：取AD的中点O，连接OP，
因为PA＝PD，所以OP⊥AD，
在直角梯形ABCD中，2AB＝2BC＝AD＝7，
所以四边形ABCO是矩形，所以OC⊥AD，
又OP∩OC＝O，OP，
所以AD⊥平面OPC，
因为PC⊂平面OPC，所以AD⊥PC．
（2）解：由AD＝2，，知PA8+PD2＝AD2，即PA⊥PD，
所以OP＝AD＝1，
又，OC＝AB＝1，
所以OP2+OC2＝PC2，即OP⊥OC，
所以OA，OC，
故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P（0，2，1），0，8），1，0），8，0），0，6），，），
所以＝（1，6，＝（﹣2，0，＝（﹣2，，），
设平面AMD的法向量为＝（x，y，则，
取y＝8，则x＝0，所以，1，﹣6），
设PB与平面AMD所成角为θ，
则sinθ＝|cs＜，＞|＝＝＝，
故PB与平面AMD所成角的正弦值为．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，利用向量法求线面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18．（17分）已知椭圆，直线l：y＝x+m（其中m＜0）与椭圆C相交于A，D为AB的中点，O为坐标原点，．
（1）求m的值；
（2）求△OAB的面积．
【分析】（1）联立方程，利用韦达定理求点D的坐标，结合两点间距离公式运算求解；
（2）根据（1）中韦达定理可得，且直线l：y＝x﹣1与x轴的交点为椭圆C的右焦点F（1，0），进而可求面积．
【解答】解：（1）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x4，y2），
联立方程，消去y得5x2+8mx+3m2﹣6＝0．
由Δ＝36m2﹣20（4m2﹣6）＞8，且m＜0，
则，
可得点D的坐标为，
又因为，解得m＝﹣1或m＝6（舍去），
所以m的值为﹣1．
（2）由（1）可知：，
则，
可得，
由椭圆方程可知：，
由直线l：y＝x﹣6与x轴的交点为椭圆C的右焦点F（1，0），
则，
所以△OAB的面积为．
【点评】本题考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
19．（17分）我国脱贫攻坚经过8年奋斗，取得了重大胜利．为巩固脱贫攻坚成果，某项目组对某种农产品的质量情况进行持续跟踪，检测结果均为合格，且质量指标分值如下：38，50，45，54，49，60，69
（1）从这10件农产品中任意抽取两件农产品，记这两件农产品中优质品的件数为Y，求Y的分布列和数学期望；
（2）根据生产经验，可以认为这种农产品的质量指标服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本质量指标平均数，σ2近似为方差，生产合同中规定，所有农产品优质品的占比不得低于15%．那么这种农产品是否满足生产合同的要求？请说明理由．
附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣σ＜X＜μ+σ），．
【分析】（1）求出Y的取值和对应的概率可得分布列及期望；
（2）求出这10件农产品的平均数和方差，可得μ＝54，σ＝9.7，记这种产品的质量指标分值为X，可知X～N（54，9.72），再根据P（44.3＜X＜63.7）＝P（μ﹣σ＜X＜μ+σ），有P（X≥60）＞P（X≥63.7）可得答案．
【解答】解：（1）我国脱贫攻坚经过8年奋斗，取得了重大胜利，某项目组对某种农产品的质量情况进行持续跟踪，检测结果均为合格，70，45，54，57，69，
因为质量指标分值不低于60分的产品为优质品，所以优质品有3件，
则，，，
所以Y的分布列如下：
故；
（2）这10件农产品的平均数为，
这10件农产品的方差为（60﹣54）2+（69﹣54）4]＝94，
由，可令μ＝54，
这批产品中优质品占比满足生产合同的要求，理由如下：
记这种产品的质量指标分值为X，由题意可知，6.72），
可得P（44.3＜X＜63.7）＝P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6827，
有，
所以有足够的理由判断这批产品中优质品占比满足生产合同的要求．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/20 15:15:06；用户：语数外；邮箱：15290311958；学号：48861359X
1
2
3
4
P
a
X
1
2
3
4
P
a
Y
0
5
2
P
1．（5分）已知i为虚数单位，则复数（1﹣i）（2﹣i）＝（ ）
A．﹣1﹣3iB．﹣1+3iC．1﹣3iD．1+3i
2．（5分）若随机变量的分布列如表，则P（|X﹣2|＝1）的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）已知平面α的一个法向量为，直线l的方向向量为，若l∥α（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．（5分）在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布N（100，σ2）（σ＞0），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的（含80分和100分）之间的人数为800，则可以估计参加本次联考的总人数约为（ ）
A．1600B．1800C．2100D．2400
5．（5分）已知函数f（x）＝（x2﹣3）ex，则f（x）的极小值点为（ ）
A．﹣3B．1C．6e﹣3D．﹣2e
6．（5分）设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.3、0.5，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.6、0.8，则甲正点到达目的地的概率为（ ）
A．0.62B．0.64C．0.58D．0.68
7．（5分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是线段BD上的一点，且PD＝3PB，设，，，则＝（ ）
A．B．
C．D．
8．（5分）若函数在区间（1，2）内有最小值（ ）
A．（0，1）B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）已知两条平行直线m，n，直线m：3x+4y+2＝0，直线n：6x+8y+a＝0，n之间的距离为1，则a的值可以是（ ）
A．﹣8B．﹣6C．12D．14
（多选）10．（6分）高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E，F六个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ）
A．如果社区B必须有同学选择，则不同的安排方法有88种
B．如果同学乙必须选择社区C，则不同的安排方法有36种
C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有150种
D．如果甲、丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有36种
（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝x3﹣ax+1有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则（ ）
A．a≥0
B．x2＝﹣x1
C．f（x1）＞1＞f（x2）
D．f（x）的图象关于点（0，1）中心对称
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2a，a2+a}．若A∩B＝{2}，则a＝ ．
13．（5分）已知平面α的一个法向量为，点A（1，2，4）是平面α上的一点（﹣1，1，5）到平面α的距离为 ．
14．（5分）一批小麦种子的发芽率是0.7，每穴只要有一粒发芽，就不需要补种，则每穴至少种 粒，才能保证每穴不需要补种的概率大于97%．（lg3≈0.48）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（13分）已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为a，a+b＝275．
（1）求n的值；
（2）求展开式中x2的系数．
16．（15分）已知函数．
（1）若a＝1，求f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）的单调性．
17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，2AB＝2BC＝AD＝2，．
（1）证明：AD⊥PC；
（2）若，设M为PC的中点，求PB与平面AMD所成角的正弦值．
18．（17分）已知椭圆，直线l：y＝x+m（其中m＜0）与椭圆C相交于A，D为AB的中点，O为坐标原点，．
（1）求m的值；
（2）求△OAB的面积．
19．（17分）我国脱贫攻坚经过8年奋斗，取得了重大胜利．为巩固脱贫攻坚成果，某项目组对某种农产品的质量情况进行持续跟踪，检测结果均为合格，且质量指标分值如下：38，50，45，54，49，60，69
（1）从这10件农产品中任意抽取两件农产品，记这两件农产品中优质品的件数为Y，求Y的分布列和数学期望；
（2）根据生产经验，可以认为这种农产品的质量指标服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本质量指标平均数，σ2近似为方差，生产合同中规定，所有农产品优质品的占比不得低于15%．那么这种农产品是否满足生产合同的要求？请说明理由．
附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣σ＜X＜μ+σ），．
2023-2024学年甘肃省兰州市皋兰一中高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知i为虚数单位，则复数（1﹣i）（2﹣i）＝（ ）
A．﹣1﹣3iB．﹣1+3iC．1﹣3iD．1+3i
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解：（1﹣i）（2﹣i）＝6﹣i﹣2i﹣1＝8﹣3i，
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（5分）若随机变量的分布列如表，则P（|X﹣2|＝1）的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据概率分布列的性质求出a的值，由P（|X﹣2|＝1）＝P（X＝1）+P（X＝3）求得结果．
【解答】解：根据题意可得，
所以．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点：随机变量，分布列，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
3．（5分）已知平面α的一个法向量为，直线l的方向向量为，若l∥α（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由l∥α，得到直线l与平面α的法向量垂直，得出，进而求得m的值．
【解答】解：因为l∥α，所以，
所以，解得m＝3．
故选：C．
【点评】本题考查空间中线面位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（5分）在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布N（100，σ2）（σ＞0），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的（含80分和100分）之间的人数为800，则可以估计参加本次联考的总人数约为（ ）
A．1600B．1800C．2100D．2400
【分析】根据正态分布曲线的对称性求解．
【解答】解：因为数学考试成绩近似服从正态分布N（100，σ2）（σ＞0），且数学成绩高于120分的人数占总人数的，
所以数学成绩底于80分的人数占总人数的，
所以数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数占总人数的＝，
又因为数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为800，
所以估计参加本次联考的总人数约为＝2400人．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
5．（5分）已知函数f（x）＝（x2﹣3）ex，则f（x）的极小值点为（ ）
A．﹣3B．1C．6e﹣3D．﹣2e
【分析】f（x）的定义域为R，求导得f′（x）＝（x+3）（x﹣1）ex，分析f′（x）的符号，f（x）的单调性，极值点，即可得出答案．
【解答】解：f（x）的定义域为R，
f′（x）＝2xex+（x2﹣8）ex＝（x2+2x﹣5）ex＝（x+3）（x﹣1）ex，
所以在（﹣∞，﹣3）上f′（x）＞0，
在（﹣3，4）上f′（x）＜0，
在（1，+∞）上f′（x）＞2，
所以x＝1是f（x）的极小值点，
故选：B．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
6．（5分）设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.3、0.5，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.6、0.8，则甲正点到达目的地的概率为（ ）
A．0.62B．0.64C．0.58D．0.68
【分析】根据题意由全概率公式可解．
【解答】解：根据题意可设事件A＝“甲正点到达目的地”，
事件B＝“甲乘动车到达目的地”，事件C＝“甲乘汽车到达目的地”，
由题意知P（C）＝0.3，P（B）＝6.5，P（A|C）＝0.6．
由全概率公式得P（A）＝P（B）P（A|B）+P（C）P（A|C）＝0.5×6.8+0.7×0.6＝8.4+0.18＝2.58．
故选：C．
【点评】本题考查全概率公式相关知识，属于中档题．
7．（5分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是线段BD上的一点，且PD＝3PB，设，，，则＝（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据空间向量加法与减法的运算法则求解即可．
【解答】解：由题意可得，＝＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．
8．（5分）若函数在区间（1，2）内有最小值（ ）
A．（0，1）B．C．D．
【分析】依题意可知函数f（x）在区间（1，2）必定存在极值点，对f（x）求导，可令g（x）＝x2﹣ax﹣1，只需，解该不等式组即得答案．
【解答】解：由，若函数f（x）在区间（1．此时函数f（x）必定存在极值点，
由Δ＝a2+3＞0，设x1，x2为一元二次方程x2﹣ax﹣1＝7的两根，有，
故只需要1＜x2＜6即可，
令g（x）＝x2﹣ax﹣1，有，解得．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）已知两条平行直线m，n，直线m：3x+4y+2＝0，直线n：6x+8y+a＝0，n之间的距离为1，则a的值可以是（ ）
A．﹣8B．﹣6C．12D．14
【分析】将直线m：3x+4y+2＝0化为6x+8y+4＝0，代入两平行线间距离公式分析求解．
【解答】解：将直线m：3x+4y+5＝0化为6x+3y+4＝0，
则m，n之间的距离，
即|a﹣4|＝10，解得a＝14或﹣6．
故选：BD．
【点评】本题考查平行直线间的距离公式，属于基础题．
（多选）10．（6分）高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E，F六个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ）
A．如果社区B必须有同学选择，则不同的安排方法有88种
B．如果同学乙必须选择社区C，则不同的安排方法有36种
C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有150种
D．如果甲、丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有36种
【分析】根据间接法即可判断A，根据分步乘法计数原理即可判断BCD．
【解答】解：安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E，
对于A：如果社区B必须有同学选择，则不同的安排方法有63﹣43＝91（种）．
故A错误；
对于B：如果同学乙必须选择社区C，则不同的安排方法有67＝36（种）．
故B正确；
对于C：如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有6×5×7＝120（种）．
故C错误；
对于D：如果甲、丙两名同学必须在同一个社区（种）．
故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，属中档题．
（多选）11．（6分）已知函数f（x）＝x3﹣ax+1有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，则（ ）
A．a≥0
B．x2＝﹣x1
C．f（x1）＞1＞f（x2）
D．f（x）的图象关于点（0，1）中心对称
【分析】由题可得f′（x）＝0有两个不相等的实数根，利用Δ＞0可以判断A错误；
再利用韦达定理可以判断B正确；
利用导数研究f（x）的单调性，可以判断C正确；
利用g（x）＝x3﹣ax为奇函数可以判断D正确．
【解答】解：由题可得f′（x）＝3x2﹣a＝7有两个不相等的实数根，
所以Δ＝0+12a＞0，
所以a＞3，A错误；
根据题意，x1，x2为5x2﹣a＝0的两个根，
所以x8＝﹣x1，B正确；
因为x1＜2＜x2，且x1，x7为3x2﹣a＝7的两个根，
所以由f′（x）＝3x2﹣a＞3得x＜x1或x＞x2，
由f′（x）＝3x2﹣a＜0得x7＜x＜x2，
所以函数f（x）在（﹣∞，x1）上单调递增，
在（x2，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，
所以f（x2）＞f（0）＝1＞f（x2）成立，C正确；
因为g（x）＝x6﹣ax为奇函数，
所以g（x）＝x3﹣ax关于（0，4）对称，
所以f（x）＝g（x）+1＝x3﹣ax+7关于（0，1）对称．
故选：BCD．
【点评】本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与极值，化归转化思想，属中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2a，a2+a}．若A∩B＝{2}，则a＝ ﹣2 ．
【分析】结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{1，2，4}，a2+a}，A∩B＝{2}，
当6a＝2时，a＝1，6}不满足集合中元素的互异性；
当a2+a＝2时，可得a＝﹣2，所以a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查交集的交集，属于基础题．
13．（5分）已知平面α的一个法向量为，点A（1，2，4）是平面α上的一点（﹣1，1，5）到平面α的距离为 ．
【分析】利用空间向量法可得出点P到平面α的距离为，即可求解．
【解答】解：由已知可得，
所以点P到平面α的距离为．
故答案为：．
【点评】本题考查向量法求解点面距问题，属基础题．
14．（5分）一批小麦种子的发芽率是0.7，每穴只要有一粒发芽，就不需要补种，则每穴至少种 3 粒，才能保证每穴不需要补种的概率大于97%．（lg3≈0.48）
【分析】记事件A为“种一粒种子，发芽”，每穴种n粒相当于做了n次独立重复试验，记事件B为“每穴至少有一粒种子发芽”，求出P（A）、P（B），根据P（B）＞97%，求出n的最小正整数值．
【解答】解：记事件A为“种一粒种子，发芽”，
则P（A）＝0.7，P（．
因为每穴种n粒相当于做了n次独立重复试验，记事件B为“每穴至少有一粒种子发芽”，
则P（）＝0•0.7n＝0.3n，
所以P（B）＝3﹣P（）＝1﹣0.6n，
根据题意得P（B）＞97%，
即1﹣0.6n＞0.97，
所以0.4n＜0.03，
两边同时取以10为底的对数，得nlg0.2＜lg0.03，
即n（lg3﹣6）＜lg3﹣2，
解得n＞，
因为＝≈8.92，
且n∈N*，所以n的最小正整数值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了n次独立重复实验恰有k次发生的概率计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（13分）已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为a，a+b＝275．
（1）求n的值；
（2）求展开式中x2的系数．
【分析】（1）利用二项式系数的性质可得2n+3n＝275，解之即可；
（2）利用二项展开式的通项公式列式求解即可．
【解答】解：（1）∵二项式的展开式中，各项的系数之和为b，
∴a＝2n，b＝6n，又a+b＝2n+3n＝275，
∴n＝3；
（2）由通项公式，
令，可得k＝2，
故展开式中x8的系数为．
【点评】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（15分）已知函数．
（1）若a＝1，求f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）的单调性．
【分析】（1）利用导数可求得f（x）的单调性，由极值点的定义可求得极值．
（2）求导后，分别在a＜0和a＞0的情况，根据导函数的正负来确定函数单调性．
【解答】解：（1）当a＝1时，，定义域为（0，
，
所以当x∈（3，1）时，
当x∈（1，+∞）时，
所以f（x）在（4，1）上单调递减，+∞）上单调递增，
所以f（x）极小值为，无极大值．
（2）由题意知：f（x）定义域为（0，+∞），
，
当a＜0时，若，则f′（x）＞0，
若，则f′（x）＜0，
所以f（x）在上单调递增，在，
当a＞0时，若，则f′（x）＜0，
若，则f′（x）＞0，
所以f（x）在上单调递减，在，
综上所述：当a＜0时，f（x）在，在上单调递减，
当a＞2时，f（x）在，在上单调递增．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．
17．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，2AB＝2BC＝AD＝2，．
（1）证明：AD⊥PC；
（2）若，设M为PC的中点，求PB与平面AMD所成角的正弦值．
【分析】（1）取AD的中点O，连接OP，OC，先证OP⊥AD，OC⊥AD，从而知AD⊥平面OPC，再由线面垂直的性质定理，即可得证；
（2）以O为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角，即可得解．
【解答】（1）证明：取AD的中点O，连接OP，
因为PA＝PD，所以OP⊥AD，
在直角梯形ABCD中，2AB＝2BC＝AD＝7，
所以四边形ABCO是矩形，所以OC⊥AD，
又OP∩OC＝O，OP，
所以AD⊥平面OPC，
因为PC⊂平面OPC，所以AD⊥PC．
（2）解：由AD＝2，，知PA8+PD2＝AD2，即PA⊥PD，
所以OP＝AD＝1，
又，OC＝AB＝1，
所以OP2+OC2＝PC2，即OP⊥OC，
所以OA，OC，
故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P（0，2，1），0，8），1，0），8，0），0，6），，），
所以＝（1，6，＝（﹣2，0，＝（﹣2，，），
设平面AMD的法向量为＝（x，y，则，
取y＝8，则x＝0，所以，1，﹣6），
设PB与平面AMD所成角为θ，
则sinθ＝|cs＜，＞|＝＝＝，
故PB与平面AMD所成角的正弦值为．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，利用向量法求线面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18．（17分）已知椭圆，直线l：y＝x+m（其中m＜0）与椭圆C相交于A，D为AB的中点，O为坐标原点，．
（1）求m的值；
（2）求△OAB的面积．
【分析】（1）联立方程，利用韦达定理求点D的坐标，结合两点间距离公式运算求解；
（2）根据（1）中韦达定理可得，且直线l：y＝x﹣1与x轴的交点为椭圆C的右焦点F（1，0），进而可求面积．
【解答】解：（1）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x4，y2），
联立方程，消去y得5x2+8mx+3m2﹣6＝0．
由Δ＝36m2﹣20（4m2﹣6）＞8，且m＜0，
则，
可得点D的坐标为，
又因为，解得m＝﹣1或m＝6（舍去），
所以m的值为﹣1．
（2）由（1）可知：，
则，
可得，
由椭圆方程可知：，
由直线l：y＝x﹣6与x轴的交点为椭圆C的右焦点F（1，0），
则，
所以△OAB的面积为．
【点评】本题考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
19．（17分）我国脱贫攻坚经过8年奋斗，取得了重大胜利．为巩固脱贫攻坚成果，某项目组对某种农产品的质量情况进行持续跟踪，检测结果均为合格，且质量指标分值如下：38，50，45，54，49，60，69
（1）从这10件农产品中任意抽取两件农产品，记这两件农产品中优质品的件数为Y，求Y的分布列和数学期望；
（2）根据生产经验，可以认为这种农产品的质量指标服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本质量指标平均数，σ2近似为方差，生产合同中规定，所有农产品优质品的占比不得低于15%．那么这种农产品是否满足生产合同的要求？请说明理由．
附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣σ＜X＜μ+σ），．
【分析】（1）求出Y的取值和对应的概率可得分布列及期望；
（2）求出这10件农产品的平均数和方差，可得μ＝54，σ＝9.7，记这种产品的质量指标分值为X，可知X～N（54，9.72），再根据P（44.3＜X＜63.7）＝P（μ﹣σ＜X＜μ+σ），有P（X≥60）＞P（X≥63.7）可得答案．
【解答】解：（1）我国脱贫攻坚经过8年奋斗，取得了重大胜利，某项目组对某种农产品的质量情况进行持续跟踪，检测结果均为合格，70，45，54，57，69，
因为质量指标分值不低于60分的产品为优质品，所以优质品有3件，
则，，，
所以Y的分布列如下：
故；
（2）这10件农产品的平均数为，
这10件农产品的方差为（60﹣54）2+（69﹣54）4]＝94，
由，可令μ＝54，
这批产品中优质品占比满足生产合同的要求，理由如下：
记这种产品的质量指标分值为X，由题意可知，6.72），
可得P（44.3＜X＜63.7）＝P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6827，
有，
所以有足够的理由判断这批产品中优质品占比满足生产合同的要求．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/20 15:15:06；用户：语数外；邮箱：15290311958；学号：48861359X
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