高考数学科学创新复习方案提升版第62讲古典概型学案（Word版附解析）

这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第62讲古典概型学案（Word版附解析），共21页。

1．古典概型
一般地，若试验E具有以下特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有eq \x(\s\up1(01))有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性eq \x(\s\up1(02))相等．
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
2．古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝eq \x(\s\up1(03))eq \f(k,n)．
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特征的概率模型才是古典概型．正确的判断试验的类型是解决概率问题的关键．
1．(人教A必修第二册10.1.1例3改编)一枚质地均匀的硬币连掷2次，恰好出现1次正面的概率是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(3,4) D．0
答案 A
解析 一枚质地均匀的硬币连掷2次，样本点有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，共4个，而恰有1次出现正面包括(正，反)，(反，正)，2个，故其概率为eq \f(2,4)＝eq \f(1,2).故选A.
2．(多选)下列是古典概型的是( )
A．从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小
B．同时掷两枚骰子，点数和为7的概率
C．近三天中有一天降雨的概率
D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
答案 ABD
解析 A，B，D是古典概型，因为都具备古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而C不具备等可能性，故不是古典概型．故选ABD.
3．(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
答案 D
解析 所有取法一共有Ceq \\al(2,7)＝21种，不互质的有(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7种．故这2个数互质的概率为eq \f(21－7,21)＝eq \f(2,3).
4．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形中较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据称为勾股数，现从1～15这15个数中随机抽取3个整数，则这三个数为勾股数的概率为( )
A.eq \f(1,910) B.eq \f(3,910)
C.eq \f(3,455) D.eq \f(4,455)
答案 D
解析 从这15个数中随机抽取3个整数，所有样本点的个数为Ceq \\al(3,15)，其中勾股数为(3，4，5)，(6，8，10)，(9，12，15)，(5，12，13)，共4个，所以这三个数为勾股数的概率为P＝eq \f(4,Ceq \\al(3,15))＝eq \f(4,455).故选D.
5．(人教A必修第二册10.1.3例8改编)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________．
答案 eq \f(1,9)
解析 根据题意可得样本点共有6×6＝36个，点数和为5的样本点有(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)，共4个，所以向上的点数和为5的概率为eq \f(4,36)＝eq \f(1,9).
例1 (2023·潍坊一中期末)袋子里有6个大小、质地完全相同且带有不同编号的小球，其中有1个红球，2个白球，3个黑球，从中任取2个球．
(1)写出样本空间；
(2)求取出的两球颜色不同的概率；
(3)求取出的两球中至多有一个黑球的概率．
解 (1)将1个红球记为a，2个白球记为b1，b2，3个黑球记为c1，c2，c3，则样本空间Ω＝{(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)}，共15个样本点．
(2)记事件A为“取出的两球颜色不同”，则两球的颜色可能是1红1白，1红1黑，1白1黑，则
A＝{(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)}，共11个样本点，所以P(A)＝eq \f(11,15).
(3)记事件B为“取出的两球中至多有一个黑球”，则两球的颜色可能是1红1白，1红1黑，1白1黑，2白，则
B＝{(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)}，共12个样本点，所以P(B)＝eq \f(12,15)＝eq \f(4,5).
1．古典概型的概率求解步骤
(1)求出样本空间Ω包含的样本点的个数n；
(2)求出事件A包含的样本点的个数m；
(3)代入公式P(A)＝eq \f(m,n)求解．
2．样本点个数的确定方法
(1)列举法；
(2)树状图法；
(3)运用排列组合的知识．
提醒：在确定样本点时，(x，y)可看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同，有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同．
1.(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为( )
A.eq \f(5,6) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,3)
答案 A
解析 甲有6种选择，乙也有6种选择，故共有6×6＝36种，若甲、乙抽到的主题不同，则共有Aeq \\al(2,6)＝30种，则其概率为eq \f(30,36)＝eq \f(5,6).故选A.
2．一个信箱里装有标号为1，2，3，4的4封大小完全相同的信件，先后随机地选取2封信，根据下列条件，分别求2封信上的数字为不相邻整数的概率．
(1)信的选取是无放回的；
(2)信的选取是有放回的．
解 (1)记事件A为“选取的2封信上的数字为相邻整数”．
从4封信中无放回地随机选取2封，则试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，共12个样本点，这12个样本点出现的可能性是相等的，
A＝{(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，3)}，共6个样本点．
由古典概型的概率计算公式知P(A)＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2)，
故无放回地选取2封信，这2封信上数字为不相邻整数的概率为1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).
(2)从4封信中有放回地随机选取2封，则试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共16个样本点，这16个样本点出现的可能性是相等的．
A＝{(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，3)}，共6个样本点，且这6个样本点出现的可能性是相等的．
由古典概型的概率计算公式知P(A)＝eq \f(6,16)＝eq \f(3,8)，
故有放回地选取2封信，这2封信上数字为不相邻整数的概率为1－eq \f(3,8)＝eq \f(5,8).
多角度探究突破
角度古典概型与平面向量的交汇
例2 已知向量a＝(－2，1)，b＝(x，y)，若x，y分别表示一枚质地均匀的骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求：
(1)a·b＝－1的概率；
(2)a·b