高考数学科学创新复习方案提升版第53讲抛物线（一）学案（Word版附解析）

这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第53讲抛物线（一）学案（Word版附解析），共17页。

1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离eq \x(\s\up1(01))相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的eq \x(\s\up1(02))焦点，直线l叫做抛物线的eq \x(\s\up1(03))准线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距离|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，也称为抛物线的焦半径．
1．(人教A选择性必修第一册P133练习T2改编)抛物线y＝2x2的准线方程为( )
A．y＝－eq \f(1,8) B．y＝－eq \f(1,4)
C．y＝－eq \f(1,2) D．y＝－1
答案 A
解析 由y＝2x2，得x2＝eq \f(1,2)y，故抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－eq \f(1,8).故选A.
2．(2023·绍兴模拟)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，若点P(1，m)在抛物线上，且|PF|＝3，则p＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
答案 C
解析 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，准线方程为x＝－eq \f(p,2)，点P(1，m)在抛物线上，且|PF|＝3，由抛物线的定义可知1＋eq \f(p,2)＝3，则p＝4.故选C.
3．(人教B选择性必修第一册2.7.1练习B T5改编)若动点M(x，y)到点F(4，0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，则点M的轨迹方程是( )
A．x＝－4 B．x＝4
C．y2＝8x D．y2＝16x
答案 D
解析 ∵点M到F(4，0)的距离比它到直线x＝－5的距离小1，∴点M到F的距离和它到直线x＝－4的距离相等，故点M的轨迹是以F为焦点，直线x＝－4为准线的抛物线，得点M的轨迹方程为y2＝16x.
4．(人教A选择性必修第一册3.3.1练习T3改编)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，|PF|＝6，则点P的横坐标为( )
A．6 B．5
C．4 D．2
答案 C
解析 设点P的横坐标为x0，抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2.∵点P在抛物线上，|PF|＝6，∴x0＋2＝6，∴x0＝4.故选C.
5．(人教B选择性必修第一册习题2－7C T1(1)改编)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
答案 4
解析 如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.
例1 (1)(多选)过点P(－2，3)的抛物线的标准方程可以是( )
A．y2＝－eq \f(9,2)x B．y2＝eq \f(9,2)x
C．x2＝－eq \f(4,3)y D．x2＝eq \f(4,3)y
答案 AD
解析 设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－eq \f(9,2)，m＝eq \f(4,3)，所以y2＝－eq \f(9,2)x或x2＝eq \f(4,3)y.故选AD.
(2)(2021·北京高考)已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且|FM|＝6，则M的横坐标是________；作MN⊥x轴于N，则S△FMN＝________．
答案 5 4eq \r(5)
解析 因为抛物线的方程为y2＝4x，故p＝2且F(1，0)．因为|FM|＝6，所以xM＋eq \f(p,2)＝6，解得xM＝5，故yM＝±2eq \r(5)，所以S△FMN＝eq \f(1,2)×(5－1)×2eq \r(5)＝4eq \r(5).
求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法．
(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，常采用以下两种模式设抛物线的标准方程：
1.动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是( )
A．直线 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
答案 D
解析 设动圆的圆心为C，半径为r，则C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1，而动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆圆心到直线x＝2的距离为r＋1，根据抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹为抛物线．故选D.
2．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则抛物线C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x
答案 C
解析 抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，设M(x0，y0)，由抛物线的定义，知|MF|＝x0＋eq \f(p,2)＝5，得x0＝5－eq \f(p,2)，则以MF为直径的圆的圆心横坐标为eq \f(5,2)，而圆的半径为eq \f(5,2)，于是得该圆与y轴相切于点(0，2)，得圆心的纵坐标为2，则点M的纵坐标为4，即Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(p,2)，4))，从而有42＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(p,2)))，整理得p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x.
例2 (1)(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))
C．(1，0) D．(2，0)
答案 B
解析 因为直线x＝2与抛物线y2＝2px(p＞0)交于D，E两点，且OD⊥OE，不妨设点D在第一象限，根据抛物线的对称性可得∠DOx＝∠EOx＝eq \f(π,4)，所以D(2，2)，代入y2＝2px，得4＝4p，解得p＝1，所以其焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0)).故选B.
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若|FQ|＝6，则C的准线方程为________．
答案 x＝－eq \f(3,2)
解析
解法一：不妨设点P在第一象限，如图，由已知可得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，p))，所以kOP＝2，又PQ⊥OP，所以kPQ＝－eq \f(1,2).所以直线PQ的方程为y－p＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2))).令y＝0，得x＝eq \f(5,2)p.所以|FQ|＝eq \f(5,2)p－eq \f(p,2)＝2p＝6，所以p＝3，所以C的准线方程为x＝－eq \f(p,2)＝－eq \f(3,2).
解法二：由题易得|OF|＝eq \f(p,2)，|PF|＝p，|PF|2＝|OF|·|FQ|，即p2＝eq \f(p,2)×6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－eq \f(3,2).
(1)涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可相互转化．
(2)应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
1.已知抛物线C：y2＝4x与圆E：(x－1)2＋y2＝9相交于A，B两点，点M为劣弧eq \(AB,\s\up8(︵))上不同于A，B的一个动点，平行于x轴的直线MN交抛物线于点N，则△MNE周长的取值范围为( )
A．(3，5) B．(5，7)
C．(6，8) D．(6，8]
答案 C
解析 如图所示，圆E的圆心为(1，0)，半径为3，抛物线的焦点为(1，0)，准线为x＝－1.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,（x－1）2＋y2＝9，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2\r(2))) 或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)，,y＝－2\r(2)，))不妨令A(2，2eq \r(2))，B(2，－2eq \r(2))，所以20)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值为________．
答案 42或22
解析 当点M(20，40)位于抛物线内时，如图1，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得20＋eq \f(p,2)＝41，解得p＝42；当点M(20，40)位于抛物线外时，如图2，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(20－\f(p,2)))\s\up12(2)＋402)＝41，解得p＝22或p＝58.当p＝58时，抛物线C：y2＝116x，点M(20，40)在抛物线内，故舍去．综上，p＝42或p＝22.
课时作业
一、单项选择题
1．(2023·成都模拟)抛物线y＝16x2的焦点坐标为( )
A．(0，4) B．(4，0)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,64))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,64)，0))
答案 C
解析 抛物线的标准方程为x2＝eq \f(1,16)y，故焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,64))).故选C.
2．(2023·济南期末)已知抛物线的准线方程为x＝1，则该拋物线的标准方程为( )
A．x2＝－4y B．x2＝4y
C．y2＝4x D．y2＝－4x
答案 D
解析 由题意知，抛物线的准线方程为x＝1，所以抛物线开口向左，设拋物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则eq \f(p,2)＝1，即p＝2，所以拋物线的标准方程为y2＝－4x.故选D.
3．(2023·北京高考)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x＝－3的距离为5，则|MF|＝( )
A．7 B.6
C.5 D.4
答案 D
解析 因为抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线方程为x＝－2，点M在C上，所以M到准线x＝－2的距离为|MF|，又M到直线x＝－3的距离为5，所以|MF|＋1＝5，故|MF|＝4.故选D.
4．(2023·邯郸一模)抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线的焦点．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，一条平行于x轴的光线，经过点A(3，1)，射向抛物线C的B处，经过抛物线C的反射，经过抛物线C的焦点F，若|AB|＋|BF|＝5，则抛物线C的准线方程是( )
A．x＝－4 B．x＝－2
C．x＝－1 D．x＝－eq \f(1,2)
答案 B
解析 由抛物线的定义可得|AB|＋|BF|＝3＋eq \f(p,2)＝5，解得p＝4，则抛物线C的准线方程是x＝－eq \f(p,2)＝－2.故选B.
5．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FB,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 C
解析 由题意可知，点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，又F为△ABC的重心，故eq \f(xA＋xB＋xC,3)＝eq \f(1,2)，即xA＋xB＋xC＝eq \f(3,2).又由抛物线的定义可知|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FB,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|＝xA＋xB＋xC＋eq \f(3,2)＝eq \f(3,2)＋eq \f(3,2)＝3.故选C.
6．(2023·十堰二模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C的准线与坐标轴交于点P，点M(3，2)，且△MFP的面积为2，若Q是抛物线C上一点，则△FMQ周长的最小值为( )
A．4＋eq \r(2) B．4＋2eq \r(2)
C．4＋eq \r(10) D．4＋2eq \r(10)
答案 B
解析 由题意可知，△MFP的面积为eq \f(1,2)×p×2＝2，解得p＝2，则F(1，0)，准线方程为x＝－1，|MF|＝eq \r(（3－1）2＋22)＝2eq \r(2)，点Q到准线的距离为|QQ′|，△FMQ的周长最小，需|QF|＋|MQ|最小，即|QQ′|＋|MQ|最小，所以当MQ垂直于抛物线C的准线时，△FMQ的周长最小，且最小值为4＋2eq \r(2).故选B.
7．(2023·咸阳模拟)若F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，P是抛物线C上任意一点，|PF|的最小值为1，且A，B是抛物线C上两点，线段AB的中点到y轴的距离为2，则|AF|＋|BF|＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
答案 D
解析 由条件可得Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，设P(x0，y0)(x0≥0)，则|PF|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(p,2)))eq \s\up12(2)＋2px0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(p,2)))eq \s\up12(2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)))eq \s\up12(2)，当且仅当x0＝0时取等号，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)))eq \s\up12(2)＝1，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x.如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AB的中点到y轴的距离为2，所以x1＋x2＝4，所以由抛物线的定义可知|AF|＋|BF|＝p＋x1＋x2＝6.故选D.
8．已知点P为抛物线x2＝4y上任意一点，点A是圆x2＋(y－6)2＝5上任意一点，则|PA|的最小值为( )
A.eq \r(5) B．2eq \r(5)
C．3eq \r(5) D．6－eq \r(5)
答案 A
解析 圆x2＋(y－6)2＝5的圆心为C(0，6)，半径r＝eq \r(5).设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，\f(xeq \\al(2,0),4)))，则|PC|2＝xeq \\al(2,0)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,0),4)－6))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,16)xeq \\al(4,0)－2xeq \\al(2,0)＋36＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)xeq \\al(2,0)－4))eq \s\up12(2)＋20，当xeq \\al(2,0)＝16时，|PC|2有最小值20，数形结合可知|PA|min＝|PC|min－eq \r(5)＝2eq \r(5)－eq \r(5)＝eq \r(5).
二、多项选择题
9．(2023·衡水联考)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，P为抛物线上一点，则下列结论正确的是( )
A．焦点F到抛物线准线的距离为2
B．若|PF|＝2，则点P的坐标为(1，2)
C．过焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线所截得的弦长为2
D．若点M的坐标为(1，4)，则|PM|＋|PF|的最小值为4
答案 AD
解析 由抛物线的解析式知p＝2，所以抛物线的焦点F(1，0)，准线方程为x＝－1，所以焦点F到抛物线准线的距离为2，故A正确；设抛物线上点P(x，y)，则|PF|＝x＋1＝2，解得x＝1，故y＝±2，则点P的坐标为(1，2)或(1，－2)，故B错误；过焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线所截得的弦长为2p＝4，故C错误；如图，当M，P，F三点共线且P在线段MF上时，|PM|＋|PF|取得最小值，即|MF|＝eq \r(（1－1）2＋42)＝4，故D正确．故选AD.
10．(2023·大庆模拟)已知抛物线x2＝eq \f(1,2)y的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，则下列结论正确的是( )
A．点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，0))
B．若直线MN过点F，则x1x2＝－eq \f(1,16)
C．若eq \(MF,\s\up6(→))＝λeq \(NF,\s\up6(→))，则|MN|的最小值为eq \f(1,2)
D．若|MF|＋|NF|＝eq \f(3,2)，则线段MN的中点P到x轴的距离为eq \f(5,8)
答案 BCD
解析 易知点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,8)))，A错误；根据抛物线的性质知，MN过焦点F时，x1x2＝－p2＝－eq \f(1,16)，B正确；若eq \(MF,\s\up6(→))＝λeq \(NF,\s\up6(→))，则MN过点F，则|MN|的最小值即抛物线通径的长，为2p，即eq \f(1,2)，C正确；抛物线x2＝eq \f(1,2)y的焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,8)))，准线方程为y＝－eq \f(1,8)，过点M，N，P分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，垂足分别为M′，N′，P′，所以|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|.所以|MM′|＋|NN′|＝|MF|＋|NF|＝eq \f(3,2)，所以|PP′|＝eq \f(|MM′|＋|NN′|,2)＝eq \f(3,4)，所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP′|－eq \f(1,8)＝eq \f(3,4)－eq \f(1,8)＝eq \f(5,8)，D正确．故选BCD.
11．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9eq \r(3)，则( )
A．|BF|＝3
B．△ABF是等边三角形
C．点F到准线的距离为3
D．抛物线C的方程为y2＝6x
答案 BCD
解析 根据题意，作出图形如图所示．因为以|FA|为半径的圆交l于B，D两点，所以|FA|＝|FB|，又|FA|＝|AB|，所以△ABF为等边三角形，B正确；因为∠ABD＝90°，所以AB∥x轴，所以∠BFO＝60°，所以|BF|＝2p，S△ABF＝eq \f(\r(3),4)|BF|2＝eq \f(\r(3),4)·4p2＝9eq \r(3)，解得p＝3，所以|BF|＝6，所以A不正确；焦点到准线的距离为p＝3，所以C正确；抛物线C的方程为y2＝6x，所以D正确．故选BCD.
三、填空题
12．(2023·全国乙卷)已知点A(1，eq \r(5))在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为________．
答案 eq \f(9,4)
解析 由题意可得(eq \r(5))2＝2p×1，则2p＝5，抛物线C的方程为y2＝5x，准线方程为x＝－eq \f(5,4)，所以A到C的准线的距离为1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,4)))＝eq \f(9,4).
13.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p＞0)经
过C，F两点，则eq \f(b,a)＝________．
答案 1＋eq \r(2)
解析 依题意知Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，－a))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)＋b，b))，因为点C，F在抛物线上，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝pa，,b2＝p（a＋2b），))两式相除得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))eq \s\up12(2)－2·eq \f(b,a)－1＝0，解得eq \f(b,a)＝1＋eq \r(2)或eq \f(b,a)＝1－eq \r(2)(舍去)．
14．(2023·江苏二模)已知点P在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，过P作C的准线的垂线，垂足为H，点F为C的焦点．若∠HPF＝60°，点P的横坐标为1，则p＝________．
答案 eq \f(2,3)
解析 如图所示，不妨设点P在第一象限，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,x＝1，))
可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝±\r(2p)，))即点P(1，eq \r(2p))．易知PH⊥y轴，则PH∥x轴，则∠xFP＝∠HPF＝60°，所以直线PF的倾斜角为60°，易知点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，所以kPF＝eq \f(\r(2p),1－\f(p,2))＝eq \r(3)，整理可得2eq \r(2p)＝eq \r(3)(2－p)，且2－p>0，故00)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝eq \f(4,3)|AB|.
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．
解 (1)∵F(c，0)，AB⊥x轴且与椭圆C1相交于A，B两点，
则直线AB的方程为x＝c，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝c，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,a2＝b2＋c2，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝c，,y＝±\f(b2,a)，))
则|AB|＝eq \f(2b2,a).
抛物线C2的方程为y2＝4cx，
把x＝c代入y2＝4cx，得y＝±2c，
∴|CD|＝4c.
∵|CD|＝eq \f(4,3)|AB|，即4c＝eq \f(8b2,3a)，
∴2b2＝3ac.
又b2＝a2－c2，∴2c2＋3ac－2a2＝0，
即2e2＋3e－2＝0，解得e＝eq \f(1,2)或e＝－2，
∵0＜e＜1，∴e＝eq \f(1,2)，
∴椭圆C1的离心率为eq \f(1,2).
(2)由(1)知a＝2c，b＝eq \r(3)c，椭圆C1的方程为eq \f(x2,4c2)＋eq \f(y2,3c2)＝1，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝4cx，,\f(x2,4c2)＋\f(y2,3c2)＝1，))消去y并整理得3x2＋16cx－12c2＝0，
解得x＝eq \f(2,3)c或x＝－6c(舍去)，
由抛物线的定义可得|MF|＝eq \f(2,3)c＋c＝eq \f(5c,3)＝5，
解得c＝3.
∴曲线C1的标准方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1，
曲线C2的标准方程为y2＝12x.
16．已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB的中点的轨迹方程．
解 (1)证明：由题意知Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0)).设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，且Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,2)，a))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,2)，b))，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，a))，Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，b))，Req \b\lc\((\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2))).
记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.
由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.
记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则
k1＝eq \f(a－b,1＋a2)＝eq \f(a－b,a2－ab)＝eq \f(1,a)＝eq \f(－ab,a)＝－b＝k2.
所以AR∥FQ.
(2)设l与x轴的交点为D(x1，0)，则S△ABF＝eq \f(1,2)|b－a||FD|＝eq \f(1,2)|b－a|eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x1－\f(1,2)))，S△PQF＝eq \f(|a－b|,2).
由题设可得2×eq \f(1,2)|b－a|eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x1－\f(1,2)))＝eq \f(|a－b|,2)，
所以x1＝0(舍去)或x1＝1.
设满足条件的AB的中点为E(x，y)．
当AB与x轴不垂直时，
由kAB＝kDE可得eq \f(2,a＋b)＝eq \f(y,x－1)(x≠1)．
而eq \f(a＋b,2)＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．
当AB与x轴垂直时，E与D重合．
所以所求轨迹方程为y2＝x－1.标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0，0)
对称轴
eq \x(\s\up1(04))x轴
eq \x(\s\up1(05))y轴
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \x(\s\up1(06))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \x(\s\up1(07))__eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \x(\s\up1(08))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝eq \x(\s\up1(09))1
准线方程
eq \x(\s\up1(10))x＝－eq \f(p,2)
eq \x(\s\up1(11))x＝eq \f(p,2)
eq \x(\s\up1(12))y＝－eq \f(p,2)
eq \x(\s\up1(13))y＝eq \f(p,2)
范围
eq \x(\s\up1(14))x≥0，y∈R
eq \x(\s\up1(15))x≤0，y∈R
eq \x(\s\up1(16))y≥0，x∈R
eq \x(\s\up1(17))y≤0，x∈R
开口方向
向eq \x(\s\up1(18))右
向eq \x(\s\up1(19))左
向eq \x(\s\up1(20))上
向eq \x(\s\up1(21))下
考向一 抛物线的定义及标准方程
焦点在x轴上
设为y2＝ax(a≠0)
焦点在y轴上
设为x2＝ay(a≠0)
考向二 抛物线的几何性质
考向三 与抛物线有关的最值问题