高考数学科学创新复习方案提升版第52讲双曲线（二）学案（Word版附解析）

这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第52讲双曲线（二）学案（Word版附解析），共26页。

直线与双曲线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)， ①
双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)， ②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2kmx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±eq \f(b,a)时，直线l与双曲线C的渐近线eq \x(\s\up1(01))平行，直线与双曲线eq \x(\s\up1(02))相交于一点．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±eq \f(b,a)时，
Δ＝(－2a2km)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ>0⇒直线与双曲线有eq \x(\s\up1(03))2个公共点；
Δ＝0⇒直线与双曲线有eq \x(\s\up1(04))1个公共点；
Δ0)没有公共点，则a的取值范围是( )
A．{1} B．(0，1)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
答案 D
解析 双曲线x2－y2＝a2的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝ax(a>0)与双曲线x2－y2＝a2没有公共点，则a≥1.
3．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c，0)，直线y＝k(x－c)与双曲线的右支有两个交点，则( )
A．|k|>eq \f(b,a) B．|k|eq \f(c,a) D．|k|0，b>0)的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，直线y＝k(x－c)经过焦点F(c，0)，当k>0时，k>eq \f(b,a)，当k0，,1－k2≠0，))即－eq \f(2\r(3),3)0)，则m－n＝2a，由eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(F1Q,\s\up6(→))＝4得eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝mncseq \f(π,3)＝eq \f(1,2)mn＝4，解得mn＝8.在△PF1F2中，|F1F2|2＝m2＋n2－2mncseq \f(π,3)＝(m－n)2＋mn＝4a2＋8＝4c2，∴b2＝c2－a2＝2，∴eq \f(1,2)a2＋eq \f(b2,a2)＝eq \f(a2,2)＋eq \f(2,a2)≥2eq \r(\f(a2,2)·\f(2,a2))＝2(当且仅当a2＝2时取等号)，∴当eq \f(1,2)a2＋eq \f(b2,a2)取得最小值时，双曲线C的离心率e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(2).故选D.
6．已知F1，F2是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝eq \f(2π,3)，则eq \f(S△AF1F2,S△ABF2)＝( )
A．1 B.eq \f(1,2)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(2,3)
答案 B
解析 如图所示，由双曲线的定义可知|AF2|－|AF1|＝2a.又|AF1|＝2a，所以|AF2|＝4a，因为∠F1AF2＝eq \f(2π,3)，所以S△AF1F2＝
eq \f(1,2)|AF1||AF2|sin∠F1AF2＝eq \f(1,2)×2a×4a×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)a2.由双曲线定义可知|BF1|－|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又知|BF1|＝2a＋|BA|，所以△ABF2为等边三角形，边长为4a，所以S△ABF2＝eq \f(\r(3),4)|BA|2＝eq \f(\r(3),4)×(4a)2＝4eq \r(3)a2，所以eq \f(S△AF1F2,S△ABF2)＝eq \f(2\r(3)a2,4\r(3)a2)＝eq \f(1,2).故选B.
7．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|＝2c，过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则下列说法中错误的是( )
A．|AB|的最小值为eq \f(2b2,a)
B．若|AB|＝m，则△F1AB的周长为2m＋4a
C．若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则kOM·k＝eq \f(b2,a2)(O为坐标原点)
D．若直线AB的斜率为eq \r(3)，则双曲线的离心率e的取值范围为[2，＋∞)
答案 D
解析 对于A，弦AB为通径时，|AB|最小，最小值为eq \f(2b2,a)，故A正确；对于B，由双曲线的定义得|AF1|＋|BF1|－|AB|＝4a，得|AF1|＋|BF1|＝4a＋m，所以△F1AB的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2m，故B正确；对于C，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,1),a2)－\f(yeq \\al(2,1),b2)＝1，,\f(xeq \\al(2,2),a2)－\f(yeq \\al(2,2),b2)＝1，))两式相减得eq \f(（x1＋x2）（x1－x2）,a2)－eq \f(（y1＋y2）（y1－y2）,b2)＝0，则eq \f(1,a2)－eq \f(（y1＋y2）,b2（x1＋x2）)·eq \f(（y1－y2）,x1－x2)＝0，则eq \f(1,a2)－eq \f(1,b2)·kOM·k＝0，则kOM·k＝eq \f(b2,a2)，故C正确；对于D，若直线AB的斜率为eq \r(3)，则eq \f(b,a)eq \f(\r(13),3)，∴E的离心率的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(13),3)，\r(3)))∪(eq \r(3)，＋∞)，∵kAB＝－eq \f(bc,a2)＝－eq \r(\f(b2c2,a4))＝－eq \r(\f(（c2－a2）c2,a4))＝－eq \r(\f(c4－a2c2,a4))＝－eq \r(e4－e2)＝－eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e2－\f(1,2)))\s\up12(2)－\f(1,4))，e∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(13),3)，\r(3)))∪(eq \r(3)，＋∞)，∴e2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,9)，3))∪(3，＋∞)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e2－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(52,81)，6))∪(6，＋∞)，∴kAB∈(－∞，－eq \r(6))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(6)，－\f(2\r(13),9))).故选C.
二、多项选择题
9．已知双曲线C：eq \f(y2,a2)－x2＝1(a>0)，其上、下焦点分别为F1，F2，O为坐标原点．过双曲线上一点M(x0，y0)作直线l，分别与双曲线的渐近线交于P，Q两点，且M为PQ的中点，则下列说法正确的是( )
A．若l⊥y轴，则|PQ|＝2
B．若点M的坐标为(1，2)，则直线l的斜率为eq \f(1,4)
C．直线PQ的方程为eq \f(y0y,a2)－x0x＝1
D．若双曲线的离心率为eq \f(\r(5),2)，则△OPQ的面积为2
答案 ACD
解析 若l⊥y轴，则直线l过双曲线的顶点，M(0，±a)，双曲线的渐近线方程为y＝±ax，易得P，Q两点的横坐标为±1，∴|PQ|＝2，故A正确；若点M的坐标为(1，2)，则a＝eq \r(2)，易得双曲线的渐近线方程为y2－2x2＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则yeq \\al(2,1)－2xeq \\al(2,1)＝0，yeq \\al(2,2)－2xeq \\al(2,2)＝0，两式作差可得，yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2)＝2xeq \\al(2,1)－2xeq \\al(2,2)，即eq \f(y1－y2,x1－x2)＝2×eq \f(x1＋x2,y1＋y2)，∴kl＝2×eq \f(2,4)＝1，故B错误；若M(x0，y0)，利用点差法同样可得kl＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝a2×eq \f(x1＋x2,y1＋y2)＝eq \f(a2x0,y0)，∴直线PQ的方程为y－y0＝eq \f(a2x0,y0)(x－x0)，即y0y－yeq \\al(2,0)＝a2x0x－a2xeq \\al(2,0)，y0y－a2x0x＝yeq \\al(2,0)－a2xeq \\al(2,0)＝a2，∴eq \f(y0y,a2)－x0x＝1，故C正确；若双曲线的离心率为eq \f(\r(5),2)，则双曲线的方程为eq \f(y2,4)－x2＝1，∴渐近线方程为y＝±2x，设P(x1，2x1)，Q(x2，－2x2)，∴S△OPQ＝2|x1x2|，联立方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y0y,4)－x0x＝1，,y＝2x，))可得x1＝eq \f(2,y0－2x0)，同理可得x2＝eq \f(－2,y0＋2x0)，∴S△OPQ＝2|x1x2|＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2,y0－2x0)·\f(－2,y0＋2x0)))＝eq \f(8,|yeq \\al(2,0)－4xeq \\al(2,0)|)＝eq \f(8,4)＝2，故D正确．故选ACD.
10．(2023·常德模拟)已知双曲线x2－eq \f(y2,2)＝1的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，直线l与双曲线的左、右两支分别交于点P，Q，则( )
A．若∠F1PF2＝eq \f(π,3)，则△PF1F2的面积为2eq \r(3)
B．存在弦PQ的中点为(1，1)，此时直线l的方程为2x－y－1＝0
C．若PA1的斜率的取值范围为[－8，－4]，则PA2的斜率的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,4)))
D．直线l与双曲线的两条渐近线分别交于点M，N，则|PM|＝|NQ|
答案 ACD
解析 在双曲线x2－eq \f(y2,2)＝1中，a＝1，b＝eq \r(2)，c＝eq \r(3)，且A1(－1，0)，A2(1，0)，F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)．对于A，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义得n－m＝2，两边平方可得m2＋n2－2mn＝4 ①，在△PF1F2中，由余弦定理可得m2＋n2－2mncseq \f(π,3)＝(2eq \r(3))2⇒m2＋n2－mn＝12 ②，联立①②可得mn＝8，故△PF1F2的面积为eq \f(1,2)mnsineq \f(π,3)＝eq \f(1,2)×8×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)，故A正确；对于B，由中点弦公式得直线l的斜率k＝eq \f(b2y0,a2x0)＝eq \f(2×1,1×1)＝2，此时直线l的方程为y＝2x－1，代入双曲线的方程，消去y可得2x2－4x＋3＝0，因为Δ＝－80，明显有x1＋x2＝eq \f(2km,2－k2)(与λ无关)，这说明线段PQ的中点与线段MN的中点重合，故|PM|＝|NQ|成立，故D正确．故选ACD.
11．(2023·广州二模)已知双曲线Γ：x2－y2＝a2(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与双曲线Γ的右支交于B，C两点，与双曲线Γ的渐近线交于A，D两点(A，B在第一象限，C，D在第四象限)，O为坐标原点，则下列结论正确的是( )
A．若BC⊥x轴，则△BCF1的周长为6a
B．若直线OB交双曲线Γ的左支于点E，则BC∥EF1
C．△AOD面积的最小值为4a2
D．|AB|＋|BF1|的取值范围为(3a，＋∞)
答案 BD
解析 因为双曲线Γ的标准方程为x2－y2＝a2(a>0)，则c＝eq \r(2)a，易知点F1(－eq \r(2)a，0)，F2(eq \r(2)a，0)，双曲线Γ的渐近线方程为y＝±x.对于A，当BC⊥x轴时，直线BC的方程为x＝eq \r(2)a，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)a，,x2－y2＝a2，))可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)a，,y＝±a，))此时|BC|＝2a，则|BF1|＋|CF1|＝(|BF2|＋2a)＋(|CF2|＋2a)＝|BC|＋4a＝6a，此时△BCF1的周长为|BC|＋|BF1|＋|CF1|＝8a，故A错误；对于B，因为双曲线Γ关于原点对称，则点B关于原点O的对称点也在双曲线Γ上，因为直线OB交双曲线Γ的左支于点E，则点B，E关于原点对称，即BE，F1F2的中点均为原点，故四边形BF1EF2为平行四边形，所以BF2∥EF1，即BC∥EF1，故B正确；对于C，易知OA的方程为y＝x，OD的方程为y＝－x，所以OA⊥OD，因为直线l与双曲线Γ的右支交于B，C两点，则直线l不与x轴重合，设直线l的方程为x＝my＋eq \r(2)a，点B(x1，y1)，C(x2，y2)，联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－y2＝a2，,x＝my＋\r(2)a，))可得(m2－1)y2＋2eq \r(2)may＋a2＝0，则
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－1≠0，,Δ＝8m2a2－4（m2－1）a2＝4a2（m2＋1）>0，))解得m≠±1，由根与系数的关系可得y1＋y2＝－eq \f(2\r(2)ma,m2－1)，y1y2＝eq \f(a2,m2－1)1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率；
(2)若tan∠PAQ＝2eq \r(2)，求△PAQ的面积．
解 (1)将点A的坐标代入双曲线方程得eq \f(4,a2)－eq \f(1,a2－1)＝1，
化简得a4－4a2＋4＝0，得a2＝2，
故双曲线C的方程为eq \f(x2,2)－y2＝1.
由题易知，直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立直线l与双曲线C的方程并整理得
(2k2－1)x2＋4kmx＋2m2＋2＝0，
故x1＋x2＝－eq \f(4km,2k2－1)，x1x2＝eq \f(2m2＋2,2k2－1).
kAP＋kAQ＝eq \f(y1－1,x1－2)＋eq \f(y2－1,x2－2)＝eq \f(kx1＋m－1,x1－2)＋eq \f(kx2＋m－1,x2－2)＝0，
化简得2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0，
故eq \f(2k（2m2＋2）,2k2－1)＋(m－1－2k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4km,2k2－1)))－4(m－1)＝0，
整理得(k＋1)(m＋2k－1)＝0，
又直线l不过点A，即m＋2k－1≠0，故k＝－1.
(2)不妨设直线PA的倾斜角为θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜θ＜\f(π,2)))，由题意知∠PAQ＝π－2θ，
所以tan∠PAQ＝－tan2θ＝eq \f(2tanθ,tan2θ－1)＝2eq \r(2)，
解得tanθ＝eq \r(2)或tanθ＝－eq \f(\r(2),2)(舍去)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(y1－1,x1－2)＝\r(2)，,\f(xeq \\al(2,1),2)－yeq \\al(2,1)＝1，))得x1＝eq \f(10－4\r(2),3)，
所以|AP|＝eq \r(3)|x1－2|＝eq \f(4\r(3)×（\r(2)－1）,3)，
同理得x2＝eq \f(10＋4\r(2),3)，
所以|AQ|＝eq \r(3)|x2－2|＝eq \f(4\r(3)×（\r(2)＋1）,3).
因为tan∠PAQ＝2eq \r(2)，所以sin∠PAQ＝eq \f(2\r(2),3)，
故S△PAQ＝eq \f(1,2)|AP||AQ|sin∠PAQ＝eq \f(1,2)×eq \f(4\r(3)×（\r(2)－1）,3)×eq \f(4\r(3)×（\r(2)＋1）,3)×eq \f(2\r(2),3)＝eq \f(16\r(2),9).考向一 直线与双曲线的位置关系
代数法
将直线与双曲线方程联立，消去y(或x).
①二次项系数为0时，直线与双曲线的渐近线平行(或重合)，直线与双曲线只有一个公共点(或无公共点)；
②二次项系数不等于0时，若Δ>0，则直线与双曲线有两个公共点，若Δ＝0，则直线与双曲线有一个公共点，若Δ0，b>0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝eq \r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|
考向三 中点弦问题