高考数学科学创新复习方案提升版第51讲双曲线（一）学案（Word版附解析）

这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第51讲双曲线（一）学案（Word版附解析），共22页。

1．双曲线的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做eq \x(\s\up1(01))双曲线．这两个定点叫做双曲线的eq \x(\s\up1(02))焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的eq \x(\s\up1(03))焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)当eq \x(\s\up1(04))ac时，点M不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
3.等轴双曲线
实轴和虚轴eq \x(\s\up1(20))等长的双曲线叫做等轴双曲线．
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝eq \f(b2,tan\f(θ,2))，其中θ为∠F1PF2.
4．若P是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a.
5．等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq \r(2).等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．
1．(人教A选择性必修第一册习题3.2 T1改编)设P是双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,20)＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝( )
A．1 B．17
C．1或17 D．以上均不对
答案 B
解析 根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8⇒|PF2|＝1或17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.故选B.
2．(人教B选择性必修第一册2.6.1练习A T3改编)若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
A.eq \f(\r(7),3) B.eq \f(5,4)
C.eq \f(4,3) D.eq \f(5,3)
答案 D
解析 由已知可得双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，点(3，－4)在渐近线上，∴eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)，∴e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(1＋\f(16,9))＝eq \f(5,3).故选D.
3．已知双曲线eq \f(y2,2)－eq \f(x2,6)＝1，则下列说法正确的是( )
A．离心率为2
B．渐近线方程为eq \r(3)x±y＝0
C．焦距为2eq \r(2)
D．焦点到渐近线的距离为eq \r(3)
答案 A
解析 因为双曲线eq \f(y2,2)－eq \f(x2,6)＝1，所以a＝eq \r(2)，b＝eq \r(6)，c＝eq \r(a2＋b2)＝2eq \r(2)，所以离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(2\r(2),\r(2))＝2；渐近线方程为y＝±eq \f(a,b)x＝±eq \f(\r(2),\r(6))x＝±eq \f(\r(3),3)x，即x±eq \r(3)y＝0；焦距为2c＝4eq \r(2)；焦点坐标为(0，±2eq \r(2))，焦点到渐近线的距离为d＝eq \f(|0±\r(3)×2\r(2)|,\r(12＋（±\r(3)）2))＝eq \r(6).故选A.
4．(2023·北京高考)已知双曲线C的焦点为(－2，0)和(2，0)，离心率为eq \r(2)，则C的方程为________．
答案 eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1
解析 令双曲线C的实半轴长、虚半轴长分别为a，b，显然双曲线C的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距c＝2，由双曲线C的离心率为eq \r(2)，得eq \f(c,a)＝eq \r(2)，解得a＝eq \r(2)，则b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(2)，所以C的方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1.
5．(人教A选择性必修第一册3.2.1练习T3改编)已知曲线方程eq \f(x2,λ＋2)－eq \f(y2,λ＋1)＝1，若方程表示双曲线，则λ的取值范围是________．
答案 (－∞，－2)∪(－1，＋∞)
解析 ∵方程eq \f(x2,λ＋2)－eq \f(y2,λ＋1)＝1表示双曲线，∴(λ＋2)(λ＋1)>0，解得λ－1.
例1 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
答案 x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)
解析 如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|.根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故动圆圆心M的轨迹方程为x2－eq \f(y2,8)＝1(x≤－1)．
(2)设F1，F2是双曲线C：x2－eq \f(y2,3)＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为________．
答案 3
解析 双曲线的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，因为|OP|＝2＝eq \f(1,2)|F1F2|，所以点P在以F1F2为直径的圆上，即△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形，故|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16.又||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以4＝||PF1|－|PF2||2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝16－2|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝6，所以S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝3.
(1)利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．
(2)利用双曲线定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a0)，O为坐标原点，F1，F2为双曲线C的两个焦点，点P为双曲线上一点，若|PF1|＝3|PF2|，|OP|＝b，则双曲线C的方程可以为( )
A.eq \f(y2,4)－x2＝1 B.eq \f(y2,2)－eq \f(x2,4)＝1
C.eq \f(y2,3)－eq \f(x2,4)＝1 D.eq \f(y2,16)－eq \f(x2,4)＝1
答案 B
解析 设F1为双曲线的下焦点，F2为双曲线的上焦点，如图所示，不妨令点P在第二象限，过点P作PH⊥F1F2于点H.因为|PF1|＝3|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF2|＝a，因为|OP|＝b，|OF2|＝c，所以|PF2|2＋|OP|2＝a2＋b2＝c2＝|OF2|2，所以∠OPF2＝90°，故eq \f(1,2)|OP|·|PF2|＝eq \f(1,2)|OF2|·|HP|，得|HP|＝eq \f(ab,c).因为|HO|2＋|HP|2＝|OP|2，所以|HO|＝eq \f(b2,c)，故点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(ab,c)，\f(b2,c)))，将Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(ab,c)，\f(b2,c)))代入双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1中，即eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,c)))\s\up12(2),a2)－eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(ab,c)))\s\up12(2),b2)＝1，化简得b4－a4＝a2c2，b4－a4＝a2(a2＋b2)，b4－a2b2－2a4＝0，eq \f(b4,a4)－eq \f(b2,a2)－2＝0，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,a2)－2))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,a2)＋1))＝0，解得eq \f(b2,a2)＝2或eq \f(b2,a2)＝－1(舍去)，故B符合题意．故选B.
(2)经过点P(3，2eq \r(7))，Q(－6eq \r(2)，7)的双曲线的标准方程为________．
答案 eq \f(y2,25)－eq \f(x2,75)＝1
解析 设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(9m－28n＝1，,72m－49n＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－\f(1,75)，,n＝－\f(1,25).))∴双曲线的标准方程为eq \f(y2,25)－eq \f(x2,75)＝1.
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．
(2)待定系数法：先确定焦点是在x轴还是在y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
注意：①双曲线与椭圆的标准方程均可设为mx2＋ny2＝1(mn≠0)，其中m>0且n>0，且m≠n时表示椭圆；mn0)；
c．已知渐近线方程为eq \f(x,m)±eq \f(y,n)＝0的双曲线，可设为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(λ≠0)．
③双曲线的焦点位置仅靠渐近线是确定不了的，必须结合其他已知条件综合判断．
④判断清楚所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．
1.等轴双曲线的一个焦点是F1(0，－6)，则其标准方程为( )
A.eq \f(x2,18)－eq \f(y2,18)＝1 B.eq \f(y2,9)－eq \f(x2,9)＝1
C.eq \f(y2,18)－eq \f(x2,18)＝1 D.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,9)＝1
答案 C
解析 等轴双曲线的一个焦点是F1(0，－6)，故焦点在y轴上，c＝6且a＝b，根据a2＋b2＝c2，得a＝b＝3eq \r(2)，故双曲线的标准方程为eq \f(y2,18)－eq \f(x2,18)＝1.故选C.
2．已知F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2eq \r(2)，则双曲线的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1 D．x2－eq \f(y2,2)＝1
答案 D
解析 由题意可知|PF1|＝eq \f(4\r(3)c,3)，|PF2|＝eq \f(2\r(3)c,3)，2b＝2eq \r(2)，由双曲线的定义可得eq \f(4\r(3)c,3)－eq \f(2\r(3)c,3)＝2a，即c＝eq \r(3)a.又b＝eq \r(2)，c2＝a2＋b2，∴a＝1，∴双曲线的标准方程为x2－eq \f(y2,2)＝1.故选D.
多角度探究突破
角度 双曲线离心率问题
例3 (1)(2021·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(7),2) B.eq \f(\r(13),2)
C.eq \r(7) D.eq \r(13)
答案 A
解析 由|PF1|＝3|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝a，|PF1|＝3a，在△F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cs∠F1PF2，即(2c)2＝(3a)2＋a2－2×3a×a×cs60°，所以4c2＝7a2，所以C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(7),2).故选A.
(2)(2023·南昌模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若在C上存在点P(不是顶点)，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，则C的离心率的取值范围为________．
答案 (eq \r(2)，2)
解析 设PF1与y轴交于点Q，连接QF2，则|QF1|＝|QF2|，所以∠QF1F2＝∠QF2F1，因为∠PF2F1＝3∠PF1F2，故点P在双曲线右支上，且∠PF2Q＝∠PQF2＝2∠PF1F2，故|PQ|＝|PF2|，而|PF1|－|PF2|＝2a，故|PF1|－|PF2|＝|PF1|－|PQ|＝|QF1|＝2a，在Rt△QOF1中，|QF1|>|OF1|，即2a>c，故e＝eq \f(c,a)eq \f(\r(2),2)，即e＝eq \f(c,a)>eq \r(2)，所以C的离心率的取值范围为(eq \r(2)，2)．
求双曲线的离心率时，将已知的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2＝c2－a2和e＝eq \f(c,a)转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
1.(2023·天津西青区模拟)设P是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若tan∠PF2F1＝3，则双曲线的离心率为( )
A.eq \r(10) B.eq \f(\r(10),2)
C.eq \r(3) D.eq \r(2)
答案 B
解析 如图，连接PF1，PF2，可得PF1⊥PF2，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义可得m－n＝2a，且m2＋n2＝4c2，tan∠PF2F1＝eq \f(m,n)＝3，则m＝3a，n＝a，9a2＋a2＝4c2，即c2＝eq \f(5,2)a2，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(10),2).故选B.
2．已知F1，F2分别是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是________．
答案 (1，1＋eq \r(2))
解析 依题意，得00)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________．
答案 y＝±eq \r(3)x
解析 因为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以e＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝2，所以eq \f(b2,a2)＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(3)x.
课时作业
一、单项选择题
1．双曲线9x2－16y2＝1的焦点坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(5,12)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，±\f(5,12)))
C．(±5，0) D．(0，±5)
答案 A
解析 将双曲线的方程化为标准形式为eq \f(x2,\f(1,9))－eq \f(y2,\f(1,16))＝1，所以c2＝eq \f(1,9)＋eq \f(1,16)＝eq \f(25,144)，所以c＝eq \f(5,12)，所以焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(5,12)，0)).
2．(2023·北京海淀区模拟)已知双曲线x2－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的一个焦点是(2，0)，则其渐近线的方程为( )
A．x±eq \r(3)y＝0 B.eq \r(3)x±y＝0
C．x±3y＝0 D．3x±y＝0
答案 B
解析 由题意可得c＝2，即1＋b2＝4，解得b＝eq \r(3)，可得渐近线方程为y＝±eq \r(3)x.故选B.
3．已知动点M(x，y)满足eq \r(（x＋2）2＋y2)－eq \r(（x－2）2＋y2)＝4，则动点M的轨迹是( )
A．射线 B．直线
C．椭圆 D．双曲线的一支
答案 A
解析 设F1(－2，0)，F2(2，0)，由题意知动点M满足|MF1|－|MF2|＝4＝|F1F2|，故动点M的轨迹是射线．故选A.
4．(2024·成都模拟)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线相互垂直，焦距为12，则该双曲线的虚轴长为( )
A．6 B．6eq \r(2)
C．9eq \r(2) D．12eq \r(2)
答案 B
解析 根据题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＝1，,2c＝12，,c2＝a2＋b2，))解得a＝b＝3eq \r(2)，所以该双曲线的虚轴长为2b＝6eq \r(2).故选B.
5．(2023·天津高考)双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为eq \f(\r(2),4)，则双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,4)＝1
答案 D
解析 解法一：不妨取渐近线y＝eq \f(b,a)x，此时直线PF2的方程为y＝－eq \f(a,b)(x－c)，与y＝eq \f(b,a)x联立，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(a2,c)，,y＝\f(ab,c)，))即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)，\f(ab,c))).因为直线PF2与渐近线y＝eq \f(b,a)x垂直，所以PF2的长度即为点F2(c，0)到直线y＝eq \f(b,a)x(即bx－ay＝0)的距离，由点到直线的距离公式，得|PF2|＝eq \f(bc,\r(b2＋a2))＝eq \f(bc,c)＝b，所以b＝2.因为F1(－c，0)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)，\f(ab,c)))，且直线PF1的斜率为eq \f(\r(2),4)，所以eq \f(\f(ab,c),\f(a2,c)＋c)＝eq \f(\r(2),4)，化简得eq \f(ab,a2＋c2)＝eq \f(\r(2),4)，又b＝2，c2＝a2＋b2，所以eq \f(2a,2a2＋4)＝eq \f(\r(2),4)，整理得a2－2eq \r(2)a＋2＝0，即(a－eq \r(2))2＝0，解得a＝eq \r(2).所以双曲线的方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,4)＝1.故选D.
解法二：因为过点F2向其中一条渐近线作垂线，垂足为P，且|PF2|＝2，所以b＝2，再结合选项，排除B，C；若双曲线方程为eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1，则F1(－2eq \r(3)，0)，F2(2eq \r(3)，0)，渐近线方程为y＝±eq \f(\r(2),2)x，不妨取渐近线y＝eq \f(\r(2),2)x，则直线PF2的方程为y＝－eq \r(2)(x－2eq \r(3))，与渐近线方程y＝eq \f(\r(2),2)x联立，得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(3),3)，\f(2\r(6),3)))，则kPF1＝eq \f(\r(2),5)，又直线PF1的斜率为eq \f(\r(2),4)，所以双曲线方程eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1不符合题意，排除A.故选D.
6．(2022·河南名校联考)已知F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若eq \f(|PF2|2,|PF1|)的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(2，3]
C．(1，3] D．(1，2]
答案 C
解析 F1，F2分别是左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，所以|PF2|－|PF1|＝2a，eq \f(|PF2|2,|PF1|)＝eq \f(（|PF1|＋2a）2,|PF1|)＝|PF1|＋4a＋eq \f(4a2,|PF1|)≥2eq \r(|PF1|·\f(4a2,|PF1|))＋4a＝8a，当且仅当|PF1|＝2a时取等号，又点P是双曲线左支上任意一点，所以|PF1|≥c－a，即2a≥c－a⇒e≤3，又e>1，所以10，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与双曲线C在第一象限交于点P，且S△F1PF2＝4a2，则双曲线C的离心率为( )
A.eq \r(5) B.eq \f(\r(5)＋1,2)
C.eq \r(5)－1 D.eq \r(2)
答案 A
解析 设切点为A，∠AF1O＝θ，连接OA，则sinθ＝eq \f(|OA|,|OF1|)＝eq \f(a,c)，csθ＝eq \r(1－sin2θ)＝eq \f(b,c)，过点P作PE⊥x轴于点E，则S△F1PF2＝eq \f(1,2)|F1F2|·|PE|＝c·|PE|＝4a2，故|PE|＝eq \f(4a2,c)，因为sinθ＝eq \f(|PE|,|PF1|)＝eq \f(a,c)，所以|PF1|＝4a，由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a，由余弦定理得csθ＝eq \f(|PF1|2＋|F1F2|2－|PF2|2,2|PF1|·|F1F2|)＝eq \f(16a2＋4c2－4a2,2×4a×2c)＝eq \f(b,c)，化简得3a2＋c2＝4ab，又c2＝a2＋b2，所以4a2＋b2－4ab＝0，方程两边同时除以a2，得4＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))eq \s\up12(2)－4eq \f(b,a)＝0，解得eq \f(b,a)＝2，所以离心率e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(5).故选A.
二、多项选择题
9．(2024·重庆模拟)已知双曲线x2－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，若△ABF1为直角三角形，则( )
A．b＝2＋2eq \r(2)
B．双曲线的离心率为eq \r(2)＋1
C．双曲线的焦距为2eq \r(5)
D．△ABF1的面积为12＋8eq \r(2)
答案 BD
解析 如图所示，若△ABF1为直角三角形，由双曲线的对称性可知，AF1⊥BF1，且|AF1|＝|BF1|.设|AF2|＝m，则由双曲线的定义得|AF1|＝|BF1|＝|AF2|＋2a＝2＋m，|AB|＝2m.所以在Rt△ABF1中，由勾股定理，得(2＋m)2＋(2＋m)2＝4m2，解得m＝2＋2eq \r(2)，所以|AF1|＝|BF1|＝4＋2eq \r(2)，所以△ABF1的面积为eq \f(1,2)|AF1|·|BF1|＝eq \f(1,2)×(4＋2eq \r(2))2＝12＋8eq \r(2)，故D正确；|AF1|·|BF1|＝|AB|·|F1F2|，所以|F1F2|＝2＋2eq \r(2)，故C不正确；由x2－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)可知，a＝1，c＝1＋eq \r(2)，所以b2＝(1＋eq \r(2))2－1＝2＋2eq \r(2)，故A不正确；e＝eq \f(c,a)＝1＋eq \r(2)，故B正确．故选BD.
10．(2023·南京二模)若点(x，y)是双曲线eq \f(x2,2)－y2＝1上的一个动点，则( )
A．|x|≥eq \r(2) B．x2＋y2≥2
C.eq \f(y,x)0)，由题意知|CD|＝2a＝40，所以a＝20，设A(25，m)(m>0)，F(20eq \r(2)，－70＋m)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(252,202)－\f(m2,b2)＝1，,\f(（20\r(2)）2,202)－\f(（m－70）2,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝40，,m＝30，))所以c2＝a2＋b2＝400＋1600＝2000，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2000),20)＝eq \r(5).
13．已知F1，F2分别为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝eq \f(2b2,a)，P为双曲线C右支上一点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2成立，则双曲线的离心率为________，λ的值为________．
答案 eq \f(\r(5)＋1,2) eq \f(\r(5)－1,2)
解析 由F1，F2分别为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝eq \f(2b2,a)，可得2c＝eq \f(2b2,a)＝eq \f(2c2－2a2,a)，化简得e2－e－1＝0.∵e>1，∴e＝eq \f(1＋\r(5),2).设△PF1F2的内切圆半径为r，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c，S△IPF1＝eq \f(1,2)|PF1|·r，S△IPF2＝eq \f(1,2)|PF2|·r，S△IF1F2＝eq \f(1,2)·2c·r＝cr，由S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2，得eq \f(1,2)|PF1|·r＝eq \f(1,2)|PF2|·r＋λcr，故λ＝eq \f(|PF1|－|PF2|,2c)＝eq \f(a,c)＝eq \f(1,\f(1＋\r(5),2))＝eq \f(\r(5)－1,2).
14．(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，eq \(F1A,\s\up6(→))⊥eq \(F1B,\s\up6(→))，eq \(F2A,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(F2B,\s\up6(→))，则C的离心率为________．
答案 eq \f(3\r(5),5)
解析 解法一：依题意，设|AF2|＝2m，则|BF2|＝3m＝|BF1|，|AF1|＝2a＋2m，在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，则(a＋3m)(a－m)＝0，故a＝m或a＝－3m(舍去)，所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|BF2|＝|BF1|＝3a，则|AB|＝5a，故cs∠F1AF2＝eq \f(|AF1|,|AB|)＝eq \f(4a,5a)＝eq \f(4,5)，所以在△AF1F2中，cs∠F1AF2＝eq \f(16a2＋4a2－4c2,2×4a×2a)＝eq \f(4,5)，整理得5c2＝9a2，故e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3\r(5),5).
解法二：依题意，得F1(－c，0)，F2(c，0)，令A(x0，y0)，B(0，t)，因为eq \(F2A,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(F2B,\s\up6(→))，所以(x0－c，y0)＝－eq \f(2,3)(－c，t)，则x0＝eq \f(5,3)c，y0＝－eq \f(2,3)t，又eq \(F1A,\s\up6(→))⊥eq \(F1B,\s\up6(→))，所以eq \(F1A,\s\up6(→))·eq \(F1B,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)c，－\f(2,3)t))·(c，t)＝eq \f(8,3)c2－eq \f(2,3)t2＝0，则t2＝4c2，又点A在C上，则eq \f(\f(25,9)c2,a2)－eq \f(\f(4,9)t2,b2)＝1，整理得eq \f(25c2,9a2)－eq \f(4t2,9b2)＝1，则eq \f(25c2,9a2)－eq \f(16c2,9b2)＝1，所以25c2b2－16c2a2＝9a2b2，即25c2(c2－a2)－16a2c2＝9a2(c2－a2)，整理得25c4－50a2c2＋9a4＝0，则(5c2－9a2)(5c2－a2)＝0，解得5c2＝9a2或5c2＝a2，又e>1，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3\r(5),5).
解法三：由解法二得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)c，－\f(2,3)t))，t2＝4c2，所以|AF1|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)c＋c))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)t))\s\up12(2))
＝eq \r(\f(64c2,9)＋\f(4t2,9))＝eq \r(\f(64c2,9)＋\f(16c2,9))＝eq \f(4\r(5)c,3)，
|AF2|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)c－c))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)t))\s\up12(2))＝eq \r(\f(4c2,9)＋\f(4t2,9))＝eq \r(\f(4c2,9)＋\f(16c2,9))＝eq \f(2\r(5)c,3)，由双曲线的定义可得|AF1|－|AF2|＝2a，即eq \f(4\r(5)c,3)－eq \f(2\r(5)c,3)＝2a，即eq \f(\r(5),3)c＝a，所以C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3,\r(5))＝eq \f(3\r(5),5).
四、解答题
15．已知点F1，F2为双曲线C：x2－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴的上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1，P2，求eq \(PP1,\s\up6(→))·eq \(PP2,\s\up6(→))的值．
解 (1)在Rt△MF1F2中，因为∠MF1F2＝30°，
所以tan∠MF1F2＝eq \f(|MF2|,|F1F2|)，cs∠MF1F2＝eq \f(|F1F2|,|MF1|)，
则|MF2|＝eq \f(2\r(3),3)c，|MF1|＝eq \f(4\r(3),3)c，
由双曲线的定义可知，|MF1|－|MF2|＝2a＝2，即eq \f(4\r(3),3)c－eq \f(2\r(3),3)c＝2，解得c＝eq \r(3)，则c＝eq \r(1＋b2)⇒b2＝2，
所以双曲线C的方程是x2－eq \f(y2,2)＝1.
(2)设P(x0，y0)是双曲线C上任意一点，
则2xeq \\al(2,0)－yeq \\al(2,0)＝2.
两条渐近线方程为l1：eq \r(2)x－y＝0，l2：eq \r(2)x＋y＝0，
设l1：eq \r(2)x－y＝0的倾斜角为α，故tanα＝eq \r(2)，
设两条渐近线在第一、四象限的夹角为θ，
所以csθ＝cs2α＝eq \f(1－tan2α,1＋tan2α)＝－eq \f(1,3)，
于是cs〈eq \(PP1,\s\up6(→))，eq \(PP2,\s\up6(→))〉＝－csθ＝eq \f(1,3).
因为P到双曲线两条渐近线的距离为|PP1|＝eq \f(|\r(2)x0－y0|,\r(3))，|PP2|＝eq \f(|\r(2)x0＋y0|,\r(3))，
所以eq \(PP1,\s\up6(→))·eq \(PP2,\s\up6(→))＝eq \f(|\r(2)x0－y0|,\r(3))·eq \f(|\r(2)x0＋y0|,\r(3))·cs〈eq \(PP1,\s\up6(→))，eq \(PP2,\s\up6(→))〉＝eq \f(|2xeq \\al(2,0)－yeq \\al(2,0)|,3)·eq \f(1,3)＝eq \f(2,9).
16．(2023·邢台期中)双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
解 (1)设双曲线的半焦距为c，则F(c，0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，±\f(b2,a)))，
因为|AF|＝|BF|，故eq \f(b2,a)＝a＋c，
故c2－ac－2a2＝0，即e2－e－2＝0，
又e>0，故e＝2.
(2)证明：设B(x0，y0)，其中x0>a，y0>0.
因为e＝2，故c＝2a，b＝eq \r(3)a，
故双曲线的渐近线方程为y＝±eq \r(3)x，
所以∠BAF∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，∠BFA∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3))).
当∠BFA＝eq \f(π,2)时，由题意易得∠BAF＝eq \f(π,4)，
此时∠BFA＝2∠BAF.
当∠BFA≠eq \f(π,2)时，
因为tan∠BFA＝－eq \f(y0,x0－c)＝－eq \f(y0,x0－2a)，
tan∠BAF＝eq \f(y0,x0＋a)，
所以tan(2∠BAF)＝eq \f(\f(2y0,x0＋a),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y0,x0＋a)))\s\up12(2))
＝eq \f(2y0（x0＋a）,（x0＋a）2－yeq \\al(2,0))＝eq \f(2y0（x0＋a）,（x0＋a）2－b2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,0),a2)－1)))
＝eq \f(2y0（x0＋a）,（x0＋a）2－3a2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,0),a2)－1)))
＝eq \f(2y0（x0＋a）,（x0＋a）2－3（xeq \\al(2,0)－a2）)
＝eq \f(2y0,（x0＋a）－3（x0－a）)
＝－eq \f(y0,x0－2a)
＝tan∠BFA，
因为2∠BAF∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，故∠BFA＝2∠BAF.
综上，∠BFA＝2∠BAF.标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥eq \x(\s\up1(08))a或x≤eq \x(\s\up1(09))－a，y∈R
x∈R，y≤eq \x(\s\up1(10))－a或y≥eq \x(\s\up1(11))a
对称性
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
渐近线
eq \x(\s\up1(12))y＝±eq \f(b,a)x
eq \x(\s\up1(13))y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈eq \x(\s\up1(14))(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的eq \x(\s\up1(15))实轴，它的长|A1A2|＝eq \x(\s\up1(16))2a；线段B1B2叫做双曲线的eq \x(\s\up1(17))虚轴，它的长|B1B2|＝eq \x(\s\up1(18))2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
eq \x(\s\up1(19))c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
考向一 双曲线的定义及其应用
考向二 双曲线的标准方程
考向三 双曲线的几何性质