高考数学科学创新复习方案提升版第48讲直线与圆、圆与圆的位置关系学案（Word版附解析）

这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第48讲直线与圆、圆与圆的位置关系学案（Word版附解析），共20页。

1．直线与圆的位置关系与判断方法
2.圆与圆位置关系的判定
(1)几何法
若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
(2)代数法
通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(圆C1方程,圆C2方程))eq \(――→,\s\up7(消元))eq \a\vs4\al(一元,二次,方程)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Δ>0⇒\x(\s\up1(12))相交；,Δ＝0⇒\x(\s\up1(13))内切或外切；,Δ<0⇒\x(\s\up1(14))内含或外离.))
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆的位置关系与公切线的条数
①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．
(2)两圆相交时公共弦的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.
(3)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．
1．对任意的实数k，直线y＝kx－1与圆C：x2＋y2－2x－2＝0的位置关系是( )
A．相离B．相切
C．相交D．以上三个选项均有可能
答案 C
解析 直线y＝kx－1恒经过点A(0，－1)，圆x2＋y2－2x－2＝0的圆心为C(1，0)，半径为eq \r(3)，而|AC|＝eq \r(2)2．(人教A选择性必修第一册习题2.5 T14(1)改编)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0截得的弦长为( )
A.eq \r(3) B．2
C.eq \r(6) D．2eq \r(3)
答案 D
解析 直线方程为y＝eq \r(3)x，圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝4，则圆心(0，2)到直线的距离d＝eq \f(|\r(3)×0－2|,2)＝1，所以所求弦长为2×eq \r(22－12)＝2eq \r(3).
3．(人教B选择性必修第一册2.3.3练习B T1改编)圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P(1，eq \r(3))处的切线方程为( )
A．x＋eq \r(3)y－2＝0 B．x＋eq \r(3)y－4＝0
C．x－eq \r(3)y＋4＝0 D．x－eq \r(3)y＋2＝0
答案 D
解析 圆Q的标准方程为(x－2)2＋y2＝4.∵P(1，eq \r(3))在圆Q上，∴所求切线方程为(1－2)(x－2)＋(eq \r(3)－0)(y－0)＝4，即x－eq \r(3)y＋2＝0.
4．(人教A选择性必修第一册2.5.2练习T1改编)圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝4和圆C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置关系是( )
A．外离 B．相交
C．内切 D．外切
答案 B
解析 易得圆C1的圆心为C1(－2，2)，半径r1＝2，圆C2的圆心为C2(2，5)，半径r2＝4，圆心距|C1C2|＝eq \r([2－（－2）]2＋（5－2）2)＝5，因为|4－2|<|C1C2|<4＋2，所以两圆相交．
5．(人教A选择性必修第一册习题2.5 T9改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在的直线方程为________．
答案 x－y＋2＝0
解析 将两圆方程相减，得4x－4y＋8＝0，即x－y＋2＝0.
例1 (1)直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为( )
A．相交、相切或相离 B．相交或相切
C．相交 D．相切
答案 C
解析 解法一：直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该直线恒过定点(1，2)．因为12＋22－2×1－8<0，所以点(1，2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交．
解法二：圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆心为(1，0)，半径为3.圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为eq \f(|k＋2－k|,\r(1＋k2))＝eq \f(2,\r(1＋k2))≤2<3，所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交．
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(3,2)))
解析 A(－2，3)关于y＝a对称的点的坐标为A′(－2，2a－3)，B(0，a)在直线y＝a上，设A′B所在直线为直线l，所以直线l的方程为y＝eq \f(a－3,－2)x＋a，即(a－3)x＋2y－2a＝0.圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝1，圆心C(－3，－2)，半径r＝1，依题意，圆心到直线l的距离d＝eq \f(|－3（a－3）－4－2a|,\r(（a－3）2＋22))≤1，即(5－5a)2≤(a－3)2＋22，解得eq \f(1,3)≤a≤eq \f(3,2)，即a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(3,2))).
1．判断直线与圆的位置关系的常见方法
2.已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想转化为直线与圆的位置关系问题，由此建立方程(组)或不等式(组)求解．
1.(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
答案 ABD
解析 圆心C(0，0)到直线l的距离d＝eq \f(r2,\r(a2＋b2))，若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝eq \f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝eq \f(r2,\r(a2＋b2))<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，所以d＝eq \f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，直线l与圆C相切，故D正确．故选ABD.
2．已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为________．
答案 (－3eq \r(2)，3eq \r(2))
解析 由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为2.因为圆上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d＜r＋1＝3，即d＝eq \f(|－a|,\r(2))<3，解得－3eq \r(2)＜a＜3eq \r(2).
多角度探究突破
角度 圆的切线问题
例2 已知点P(eq \r(2)＋1，2－eq \r(2))，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
解 由题意，得圆心C(1，2)，半径r＝2.
(1)∵(eq \r(2)＋1－1)2＋(2－eq \r(2)－2)2＝4，
∴点P在圆C上．
又kPC＝eq \f(2－\r(2)－2,\r(2)＋1－1)＝－1，
∴切线的斜率k＝－eq \f(1,kPC)＝1，
∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－eq \r(2))＝1·[x－(eq \r(2)＋1)]，即x－y＋1－2eq \r(2)＝0.
(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，
∴点M在圆C外部．
当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.
又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，∴直线x－3＝0是圆的切线；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离为d＝eq \f(|k－2＋1－3k|,\r(k2＋1))＝r＝2，解得k＝eq \f(3,4).
∴切线方程为y－1＝eq \f(3,4)(x－3)，即3x－4y－5＝0.
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
∵|MC|＝eq \r(（3－1）2＋（1－2）2)＝eq \r(5)，
∴过点M的圆C的切线长为eq \r(|MC|2－r2)＝eq \r(5－4)＝1.
圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0，进而求出k.
注意检验切线斜率不存在的情况．
1.(2024·南京师大附中校考一模)过点P(3，－2)且与圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0相切的直线方程为________．
答案 x＝3或3x＋4y－1＝0
解析 将圆C的一般方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－2)2＝4，则圆心C(1，2)，半径为r＝2.当过点P(3，－2)的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，是圆C的切线，满足题意；当过点P(3，－2)的直线斜率存在时，可设直线方程为y＋2＝k(x－3)，即kx－y－3k－2＝0，利用圆心到直线的距离等于半径，得eq \f(|2k＋4|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝－eq \f(3,4)，即此直线方程为3x＋4y－1＝0.故所求直线方程为x＝3或3x＋4y－1＝0.
2．(2023·天津和平区二模)由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．
答案 eq \r(7)
解析 设直线上一点P，切点为Q，圆心为M，M的坐标为(3，0)，则|PQ|即为切线长，|MQ|为圆M的半径，长度为1，|PQ|＝eq \r(|PM|2－|MQ|2)＝eq \r(|PM|2－1)，要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离．设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝eq \f(|3－0＋1|,\r(12＋（－1）2))＝2eq \r(2)，∴|PM|的最小值为2eq \r(2)，此时|PQ|＝eq \r(|PM|2－1)＝eq \r(（2\r(2)）2－1)＝eq \r(7).
角度 圆的弦长问题
例3 (1)过点(－4，0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为( )
A．5x＋12y＋20＝0
B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0
C．5x－12y＋20＝0
D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0
答案 B
解析 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，由|AB|＝8知，圆心(－1，2)到直线l的距离d＝eq \r(25－42)＝3.当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝－4时，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0，则有eq \f(|3k－2|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝－eq \f(5,12)，此时直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.综上，直线l的方程为5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0.
(2)(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线l：x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC的面积为eq \f(8,5)”的m的一个值：________．
答案 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－2，\f(1,2)，－\f(1,2)中任意一个皆可以))
解析 设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得|AB|＝2eq \r(4－d2)，所以S△ABC＝eq \f(1,2)×d×2eq \r(4－d2)＝eq \f(8,5)，解得d＝eq \f(4\r(5),5)或d＝eq \f(2\r(5),5)，因为d＝eq \f(|1＋1|,\r(1＋m2))＝eq \f(2,\r(1＋m2))，所以eq \f(2,\r(1＋m2))＝eq \f(4\r(5),5)或eq \f(2,\r(1＋m2))＝eq \f(2\r(5),5)，解得m＝±2或m＝±eq \f(1,2).
求直线被圆截得的弦长的常用方法
(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝16，直线l：(2m－1)x＋(m－1)y－3m＋1＝0.下列说法正确的是( )
A．直线l恒过定点(2，1)
B．圆C被y轴截得的弦长为2eq \r(15)
C．直线l被圆C截得的弦长存在最大值，此时直线l的方程为2x＋y－3＝0
D．直线l被圆C截得的弦长存在最小值，此时直线l的方程为x－2y－4＝0
答案 BD
解析 对于A，将直线l的方程整理为m(2x＋y－3)＋(－x－y＋1)＝0，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x－y＋1＝0，,2x＋y－3＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－1，))无论m为何值，直线l恒过定点(2，－1)，故A不正确；对于B，将x＝0代入圆C的方程，得(y－1)2＝15，解得y＝1±eq \r(15)，故圆C被y轴截得的弦长为2eq \r(15)，故B正确；对于C，无论m为何值，直线l不过圆心(1，1)，即直线l被圆C截得的弦长不存在最大值，故C不正确；对于D，当截得的弦长最短时，直线l垂直于圆心与定点的连线，则直线l的斜率为eq \f(1,2)，此时直线l的方程为y＋1＝eq \f(1,2)(x－2)，即x－2y－4＝0，故D正确．故选BD.
例4 (1)(2023·唐山二模)已知圆C1：x2＋y2－2x＝0，圆C2：(x－3)2＋(y－1)2＝4，则圆C1与C2的位置关系是( )
A．外切 B．内切
C．相交 D．外离
答案 C
解析 圆C1的圆心为(1，0)，r1＝1，圆C2的圆心为(3，1)，r2＝2，所以r2－r1<|C1C2|＝eq \r(（3－1）2＋（1－0）2)＝eq \r(5)(2)(多选)(2023·辽宁抚顺二模)已知圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，下列说法正确的是( )
A．C1与C2的公切线恰有4条
B．C1与C2相交弦的方程为3x＋4y－9＝0
C．C1与C2相交弦的弦长为eq \f(12,5)
D．若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝12
答案 BD
解析 由已知得圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1＝3，圆C2的圆心C2(3，4)，半径r2＝4，|C1C2|＝eq \r(（3－0）2＋（4－0）2)＝5，r2－r1<|C1C2|1．判断两圆位置关系的方法
常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系，一般不用代数法．
2．两圆公共弦长的求法
先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长eq \f(l,2)，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解．
1.已知圆C与圆x2＋y2＋10x＋10y＝0相切于原点，且过点A(0，－6)，则圆C的标准方程为________．
答案 (x＋3)2＋(y＋3)2＝18
解析 设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其圆心为C(a，b)，半径为r(r>0)．∵x2＋y2＋10x＋10y＝0可化为(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，∴其圆心为(－5，－5)，半径为5eq \r(2).∵两圆相切于原点O，且圆C过点(0，－6)，点(0，－6)在圆(x＋5)2＋(y＋5)2＝50内，∴两圆内切，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝r2，,\r(（a＋5）2＋（b＋5）2)＝5\r(2)－r，,（0－a）2＋（－6－b）2＝r2，))解得a＝－3，b＝－3，r＝3eq \r(2)，∴圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y＋3)2＝18.
2．(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程：________．
答案 x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(填一个即可)
解析 如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径r1＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为A(3，4)，半径r2＝4，所以|OA|＝5，r1＋r2＝5，所以|OA|＝r1＋r2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线l1的方程为x＝－1；②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称．易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝eq \f(4,3)x，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝\f(4,3)x，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－\f(4,3)，))由对称性可知公切线l2过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(4,3))).设公切线l2的方程为y＋eq \f(4,3)＝k(x＋1)，则点O(0，0)到l2的距离为1，所以1＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(k－\f(4,3))),\r(k2＋1))，解得k＝eq \f(7,24)，所以公切线l2的方程为y＋eq \f(4,3)＝eq \f(7,24)(x＋1)，即7x－24y－25＝0；③还有一条公切线l3与直线l：y＝eq \f(4,3)x垂直．设公切线l3的方程为y＝－eq \f(3,4)x＋t，易知t＞0，则点O(0，0)到l3的距离为1，所以1＝eq \f(|t|,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))\s\up12(2)＋（－1）2))，解得t＝eq \f(5,4)，所以公切线l3的方程为y＝－eq \f(3,4)x＋eq \f(5,4)，即3x＋4y－5＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.
课时作业
一、单项选择题
1．直线mx－y＋2＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定
答案 A
解析 圆x2＋y2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，直线mx－y＋2＝0恒过点A(0，2)，而02＋22＝4<9，所以点A在圆的内部，所以直线mx－y＋2＝0与圆x2＋y2＝9相交．故选A.
2．两圆C1：x2＋y2＋2x－6y－26＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的位置关系是( )
A．内切 B．外切
C．相交 D．外离
答案 A
解析 由于圆C1的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝36，故圆心为C1(－1，3)，半径为6；圆C2的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故圆心为C2(2，－1)，半径为1.因为两圆的圆心距|C1C2|＝eq \r(（－1－2）2＋（3＋1）2)＝5＝6－1，所以两圆内切．
3．(2023·吉林延边州二模)经过P(2，3)向圆x2＋y2＝4作切线，切线方程为( )
A．5x－12y＋26＝0
B．13x－12y＋10＝0
C．5x－12y＋26＝0或x＝2
D．13x－12y＋10＝0或x＝2
答案 C
解析 当切线的斜率不存在时，直线x＝2是圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线l的方程为y－3＝k(x－2)，由(0，0)到切线的距离d＝eq \f(|2k－3|,\r(k2＋1))＝2，得k＝eq \f(5,12)，此时切线方程为y－3＝eq \f(5,12)(x－2)，即5x－12y＋26＝0.故选C.
4．(2021·北京高考)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m＝( )
A．±2 B．±eq \r(2)
C．±eq \r(3) D．±eq \r(5)
答案 C
解析 由题可得圆心为(0，0)，半径为2，则圆心到直线的距离d＝eq \f(|m|,\r(k2＋1))，则弦长为2eq \r(4－\f(m2,k2＋1))，则当k＝0时，弦长取得最小值为2eq \r(4－m2)＝2，解得m＝±eq \r(3).故选C.
5．若曲线y＝eq \r(4－x2)与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞))
C．(1，＋∞) D．(1，3]
答案 A
解析 根据题意画出图形，如图所示．由题意可得，曲线y＝eq \r(4－x2)的图象为以(0，0)为圆心，2为半径的半圆，直线l恒过A(2，4)，当直线l与半圆相切时，圆心到直线l的距离d＝r，即eq \f(|4－2k|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝eq \f(3,4)；当直线l过点B时，直线l的斜率k＝eq \f(4－0,2－（－2）)＝1，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1)).故选A.
6．(2023·北京东城区模拟)设A是圆C：(x＋1)2＋y2＝9上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝4，则点P到点Q(5，8)距离的最小值为( )
A．4 B．5
C．6 D．15
答案 B
解析 由圆C：(x＋1)2＋y2＝9，可知圆心C(－1，0)，半径为3，又|PA|＝4，所以|PC|2＝|PA|2＋32＝25，设P(x，y)，则点P的轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝25，故点P到点Q(5，8)距离的最小值为eq \r(（5＋1）2＋82)－5＝5.故选B.
7．(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sinα＝( )
A．1 B.eq \f(\r(15),4)
C.eq \f(\r(10),4) D.eq \f(\r(6),4)
答案 B
解析 解法一：因为x2＋y2－4x－1＝0，即(x－2)2＋y2＝5，可得圆心C(2，0)，半径r＝eq \r(5)，过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B，因为|PC|＝eq \r(22＋（－2）2)＝2eq \r(2)，则|PA|＝eq \r(|PC|2－r2)＝eq \r(3)，可得sin∠APC＝eq \f(\r(5),2\r(2))＝eq \f(\r(10),4)，cs∠APC＝eq \f(\r(3),2\r(2))＝eq \f(\r(6),4)，则sin∠APB＝sin(2∠APC)＝2sin∠APCcs∠APC＝2×eq \f(\r(10),4)×eq \f(\r(6),4)＝eq \f(\r(15),4)，cs∠APB＝cs(2∠APC)＝cs2∠APC－sin2∠APC＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),4)))eq \s\up12(2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(10),4)))eq \s\up12(2)＝－eq \f(1,4)<0，即∠APB为钝角，所以sinα＝sin(π－∠APB)＝sin∠APB＝eq \f(\r(15),4).故选B.
解法二：圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2，0)，半径r＝eq \r(5)，过点P(0，－2)作圆C的切线，切点为A，B，连接AB，可得|PC|＝eq \r(22＋（－2）2)＝2eq \r(2)，则|PA|＝|PB|＝eq \r(|PC|2－r2)＝eq \r(3)，因为|PA|2＋|PB|2－2|PA|·|PB|cs∠APB＝|CA|2＋|CB|2－2|CA|·|CB|cs∠ACB，且∠ACB＝π－∠APB，则3＋3－6cs∠APB＝5＋5－10cs(π－∠APB)，即3－3cs∠APB＝5＋5cs∠APB，解得cs∠APB＝－eq \f(1,4)<0，即∠APB为钝角，则csα＝cs(π－∠APB)＝－cs∠APB＝eq \f(1,4)，又α为锐角，所以sinα＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(\r(15),4).故选B.
解法三：圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2，0)，半径r＝eq \r(5)，若切线斜率不存在，则切线方程为x＝0，则圆心到切线的距离d＝20.设两切线斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝－8，k1k2＝1，可得|k1－k2|＝eq \r(（k1＋k2）2－4k1k2)＝2eq \r(15)，所以tanα＝eq \f(|k1－k2|,1＋k1k2)＝eq \r(15)，即eq \f(sinα,csα)＝eq \r(15)，可得csα＝eq \f(sinα,\r(15))，则sin2α＋cs2α＝sin2α＋eq \f(sin2α,15)＝1，又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则sinα>0，解得sinα＝eq \f(\r(15),4).故选B.
8．已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为( )
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
答案 D
解析 圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝4，则M(1，1)，点M到直线l的距离为d＝eq \f(|2×1＋1＋2|,\r(22＋12))＝eq \r(5)＞2，所以直线l与圆M相离．依圆的知识可知，点A，P，B，M四点共圆，且AB⊥PM，所以|PM|·|AB|＝4S△PAM＝4×eq \f(1,2)|PA|×|AM|＝4|PA|，而|PA|＝eq \r(|PM|2－|AM|2)＝eq \r(|PM|2－4)，当直线l⊥PM时，|PM|最小，|PM|min＝eq \r(5)，|PA|min＝1，此时|PM|·|AB|最小．直线PM的方程为y－1＝eq \f(1,2)(x－1)，即y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,2)x＋\f(1,2)，,2x＋y＋2＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝0，))所以P(－1，0)．所以以PM为直径的圆的方程为(x－1)(x＋1)＋y(y－1)＝0，即x2＋y2－y－1＝0.两圆的方程相减可得2x＋y＋1＝0，即为直线AB的方程．故选D.
二、多项选择题
9．(2023·黄冈模拟)已知圆C：(x＋1)2＋y2＝9，则下列四个命题表述正确的是( )
A．圆C上有且仅有3个点到直线l：x－eq \r(3)y－1＝0的距离等于1
B．过点A(3，4)作圆C的两条切线，切点分别为M，N，直线MN的方程为4x＋4y－5＝0
C．一条直线与圆C交于不同的两点P，Q，且有eq \r(3)|eq \(CP,\s\up6(→))＋eq \(CQ,\s\up6(→))|－|eq \(PQ,\s\up6(→))|≥0，则∠PCQ的最大值为eq \f(2π,3)
D．若圆C与圆E：x2＋y2－4x－8y＋m2＝0相外切，则m＝4
答案 BC
解析 圆心C(－1，0)，半径r＝3，圆心C到直线l：x－eq \r(3)y－1＝0的距离d＝eq \f(|－1－\r(3)×0－1|,\r(12＋（－\r(3)）2))＝1，故圆C上有4个点到直线l的距离为1，故A错误；过点A(3，4)作圆C的两条切线，切点分别为M，N，则A，C，M，N四点共圆，且AC为直径，方程为x2＋y2－2x－4y－3＝0，与圆C的方程相减可得，直线MN的方程为4x＋4y－5＝0，故B正确；设PQ的中点为D，则CD⊥PQ.因为eq \r(3)|eq \(CP,\s\up6(→))＋eq \(CQ,\s\up6(→))|－|eq \(PQ,\s\up6(→))|≥0，即eq \r(3)·2|eq \(CD,\s\up6(→))|≥2|eq \(PD,\s\up6(→))|，可得eq \r(3)≥eq \f(|\(PD,\s\up6(→))|,|\a\vs4\al(\(CD,\s\up6(→)))|)＝tan∠DCP，则0<∠DCP≤eq \f(π,3)，故∠PCQ的最大值为eq \f(2π,3)，故C正确；圆E：x2＋y2－4x－8y＋m2＝0的圆心为E(2，4)，半径R＝eq \r(20－m2)，根据题意可得R＋r＝|CE|，即3＋eq \r(20－m2)＝5，解得m＝±4，故D错误．故选BC.
10．(2024·合肥二模)若圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－m)2＋(y－n)2＝4的公共弦AB的长为2eq \r(3)，则下列结论正确的是( )
A．m2＋n2＝4
B．直线AB的方程为mx＋ny－2＝0
C．AB中点的轨迹方程为x2＋y2＝3
D．四边形AC1BC2的面积为eq \r(3)
答案 AB
解析 对于A，圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－m)2＋(y－n)2＝4，两圆的方程相减可得2mx＋2ny－m2－n2＝0，即两圆公共弦的方程为2mx＋2ny－m2－n2＝0，圆C1：x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径R＝2，圆心C1到直线2mx＋2ny－m2－n2＝0的距离d＝eq \f(|m2＋n2|,2\r(m2＋n2))＝eq \f(\r(m2＋n2),2)，而两个圆的公共弦AB的长为2eq \r(3)，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),2)))eq \s\up12(2)＝4－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(m2＋n2),2)))eq \s\up12(2)，即m2＋n2＝4，A正确；对于B，由于两圆公共弦AB的方程为2mx＋2ny－m2－n2＝0，且m2＋n2＝4，故两圆公共弦AB的方程为2mx＋2ny－4＝0，即mx＋ny－2＝0，B正确；对于C，设AB的中点坐标为(x，y)，由于C1C2垂直平分AB，则C1到AB中点的距离就是C1到直线AB的距离，则x2＋y2＝1，即AB中点的轨迹方程为x2＋y2＝1，C错误；对于D，两圆的半径相等，则四边形AC1BC2为菱形，其面积S＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×1×2\r(3)))＝2eq \r(3)，D错误．故选AB.
11．(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则( )
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3eq \r(2)
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3eq \r(2)
答案 ACD
解析 设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝eq \f(|5＋2×5－4|,\r(5))＝eq \f(11,\r(5))>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋eq \f(11,\r(5))，4＋eq \f(11,\r(5))<5＋eq \r(\f(125,5))＝10，故A正确；易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝eq \f(11,\r(5))－4，eq \f(11,\r(5))－4三、填空题
12．圆心在直线y＝－4x上，并且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)的圆的方程为________．
答案 (x－1)2＋(y＋4)2＝8
解析 设圆心A的坐标为(a，－4a)，则kAP＝eq \f(2－4a,a－3)，又圆A与直线l相切，∴kAP·kl＝－1，又kl＝－1，∴a＝1，∴A(1，－4)，r＝eq \r(（1－3）2＋（－4＋2）2)＝2eq \r(2)，∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
13．(2023·广东东莞期中)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________．
答案 －eq \f(3,4)或－eq \f(4,3)
解析 圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为(－3，2)，半径为1，根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(－2，－3)关于y轴的对称点(2，－3)，易知反射光线所在直线的斜率存在，设为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0，由反射光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，可得eq \f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋1))＝1，整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－eq \f(4,3)或k＝－eq \f(3,4).
14．在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)，B(2，0)，圆C：(x－2)2＋(y－m)2＝eq \f(1,4)(m>0)，在圆上存在点P满足|PA|＝2|PB|，则实数m的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，\f(\r(21),2)))
解析 设点P(x，y)，由|PA|＝2|PB|可得(x＋1)2＋y2＝4[(x－2)2＋y2]，化简得(x－3)2＋y2＝4，即点P的轨迹是圆心为Q(3，0)，半径为r＝2的圆，因为点P在圆C：(x－2)2＋(y－m)2＝eq \f(1,4)(m>0)上，所以圆Q和圆C有公共点，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,2)))≤|QC|≤eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2＋\f(1,2)))，故eq \f(3,2)≤eq \r(1＋m2)≤eq \f(5,2)，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(2)≤1＋m2≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))eq \s\up12(2)，所以eq \f(5,4)≤m2≤eq \f(21,4)，又m>0，所以eq \f(\r(5),2)≤m≤eq \f(\r(21),2).
四、解答题
15．(2023·赣州模拟)已知在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.圆C的半径为1，圆心C在直线l上．
(1)若直线3x＋4y－12＝0与圆C相切，求圆C的标准方程；
(2)已知动点M(x，y)，满足|MA|＝2|MO|，说明M的轨迹是什么？若点M同时在圆C上，求圆心C的横坐标a的取值范围．
解 (1)因为圆心C在直线l上，所以圆心C可设为(a，2a－4)，
由题意可得eq \f(|3a＋4（2a－4）－12|,\r(32＋42))＝eq \f(|11a－28|,5)＝1，即|11a－28|＝5，
由11a－28＝±5，解得a＝3或a＝eq \f(23,11)，
圆心C的坐标为(3，2)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(23,11)，\f(2,11)))，
所以圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(23,11)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(2,11)))eq \s\up12(2)＝1.
(2)由|MA|＝2|MO|，得eq \r(x2＋（y－3）2)＝2eq \r(x2＋y2)，
化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，
所以动点M的轨迹是以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆，
若点M同时在圆C上，则圆C与圆D有公共点，
则2－1≤|CD|≤2＋1，即1≤eq \r(a2＋（2a－3）2)≤3，
整理得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5a2－12a＋8≥0，,5a2－12a≤0，))解得0≤a≤eq \f(12,5)，
所以圆心C的横坐标a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(12,5))).
16．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解 (1)设圆心C(a，0)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>－\f(5,2)))，
则eq \f(|4a＋10|,5)＝2⇒a＝0或a＝－5(舍去)．
所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)当直线AB的斜率不存在时，x轴平分∠ANB.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝4，,y＝k（x－1），))得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝eq \f(2k2,k2＋1)，x1x2＝eq \f(k2－4,k2＋1).
若x轴平分∠ANB，
则kAN＝－kBN⇒eq \f(y1,x1－t)＋eq \f(y2,x2－t)＝0⇒eq \f(k（x1－1）,x1－t)＋eq \f(k（x2－1）,x2－t)＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒eq \f(2（k2－4）,k2＋1)－eq \f(2k2（t＋1）,k2＋1)＋2t＝0⇒t＝4，
所以当点N的坐标为(4，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立．方法
过程
依据
结论
代数法
联立方程组消去x(或y)得一元二次方程，计算Δ＝b2－4ac
Δ>0
eq \x(\s\up1(01))相交
Δ＝0
eq \x(\s\up1(02))相切
Δ<0
eq \x(\s\up1(03))相离
几何法
计算圆心到直线的距离d，比较d与半径r的关系
deq \x(\s\up1(04))＜r
相交
deq \x(\s\up1(05))＝r
相切
deq \x(\s\up1(06))＞r
相离
位置关系
图示
d与r1，r2的关系
外离
eq \x(\s\up1(07))d＞r1＋r2
外切
eq \x(\s\up1(08))d＝r1＋r2
相交
eq \x(\s\up1(09))|r1－r2|＜d＜r1＋r2
内切
d＝eq \x(\s\up1(10))|r1－r2|(r1≠r2)
内含
0≤d＜eq \x(\s\up1(11))|r1－r2|(r1≠r2)
考向一 直线与圆的位置关系
几何法
利用d与r的关系判断
代数法
联立方程之后利用Δ判断
点与圆的位置关系法
若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交
考向二 直线与圆的综合问题
几何法
直线被圆截得的半弦长eq \f(l,2)、弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，且r2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(l,2)))eq \s\up12(2)＋d2
代数法
将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ>0的前提下，利用根与系数的关系求弦长．弦长公式如下：
|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(（y1＋y2）2－4y1y2)(k≠0)
考向三 两圆的位置关系