高考数学科学创新复习方案提升版第43讲空间向量及其运算学案（Word版附解析）

这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第43讲空间向量及其运算学案（Word版附解析），共20页。

1．空间向量及其有关定理
2.空间向量的数量积
已知两个非零向量a，b，则a·b＝eq \x(\s\up1(07))|a||b|·cs〈a，b〉．
3．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
1．证明空间任意三点共线的方法
对空间三点P，A，B，可通过证明下列结论成立来证明三点共线：
(1)eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))(λ∈R)；
(2)对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→))(t∈R)；
(3)对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))(x＋y＝1)．
2．证明空间四点共面的方法
点共面问题可转化为向量共面问题，要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明eq \(PA,\s\up6(→))＝xeq \(PB,\s\up6(→))＋yeq \(PC,\s\up6(→))，或对空间任一点O，有eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))＋xeq \(PB,\s\up6(→))＋yeq \(PC,\s\up6(→))或eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)即可．
1．(人教B选择性必修第一册1.1.3练习B T5改编)已知a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是( )
A．2，eq \f(1,2) B．－eq \f(1,3)，eq \f(1,2)
C．－3，2 D．2，2
答案 A
解析 ∵a∥b，∴b＝ka，即(6，2μ－1，2λ)＝k(λ＋1，0，2)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6＝k（λ＋1），,2μ－1＝0，,2λ＝2k，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝2，,μ＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝－3，,μ＝\f(1,2).))故选A.
2．(人教B选择性必修第一册1.1.3练习B T8改编)已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为( )
A．－2 B．－eq \f(14,3)
C.eq \f(14,5) D．2
答案 D
解析 由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，又a2＝14，a·b＝7，∴14－7λ＝0，∴λ＝2.故选D.
3．(人教A选择性必修第一册习题1.1 T2(2)改编)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DD1,\s\up6(→))＝( )
A.eq \(D1B1,\s\up6(→)) B.eq \(D1B,\s\up6(→))
C.eq \(DB1,\s\up6(→)) D.eq \(BD1,\s\up6(→))
答案 D
解析 eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DD1,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DD1,\s\up6(→))＝eq \(BD1,\s\up6(→)).故选D.
4．(多选)(2023·宁德期末)已知a＝(1，0，1)，b＝(－1，2，－3)，c＝(2，－4，6)，则下列结论正确的是( )
A．a⊥b
B．b∥c
C．〈a，c〉为钝角
D．向量c在向量a上的投影向量为(4，0，4)
答案 BD
解析 因为1×(－1)＋0×2＋1×(－3)＝－4≠0，所以a，b不垂直，A错误；因为c＝－2b，所以b∥c，B正确；因为a·c＝1×2＋0×(－4)＋1×6＝8，所以cs〈a，c〉>0，所以〈a，c〉不是钝角，C错误；向量c在向量a上的投影向量为|c|cs〈a，c〉eq \f(a,|a|)＝eq \f(a·c,|a|2)a＝eq \f(8,2)(1，0，1)＝(4，0，4)，D正确．故选BD.
5．已知O是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且eq \(OA,\s\up6(→))＝2xeq \(BO,\s\up6(→))＋3yeq \(CO,\s\up6(→))＋4zeq \(DO,\s\up6(→))，则2x＋3y＋4z＝________．
答案 －1
解析 ∵eq \(OA,\s\up6(→))＝2xeq \(BO,\s\up6(→))＋3yeq \(CO,\s\up6(→))＋4zeq \(DO,\s\up6(→))，∴eq \(OA,\s\up6(→))＝－2xeq \(OB,\s\up6(→))－3yeq \(OC,\s\up6(→))－4zeq \(OD,\s\up6(→))，∵O是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，∴－2x－3y－4z＝1，∴2x＋3y＋4z＝－1.
6．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ＝________．
答案 eq \f(65,7)
解析 由题意可知，存在实数x，y使得c＝xa＋yb，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(7＝2x－y，,5＝－x＋4y，,λ＝3x－2y，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(33,7)，,y＝\f(17,7)，,λ＝\f(65,7).))
例1 (1)已知向量a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq \f(1,2)c－2a，则c＝( )
A．(0，3，－6) B．(0，6，－20)
C．(0，6，－6) D．(6，6，－6)
答案 B
解析 ∵向量a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq \f(1,2)c－2a，∴c＝4a＋2b＝(8，12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0，6，－20)．故选B.
(2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．
①化简eq \(A1O,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝________；
②用eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))表示eq \(OC1,\s\up6(→))，则eq \(OC1,\s\up6(→))＝________．
答案 ①eq \(A1A,\s\up6(→)) ②eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))
解析 ①eq \(A1O,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(A1O,\s\up6(→))－eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \(A1O,\s\up6(→))－eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(A1O,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(A1A,\s\up6(→)).
②因为eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))，所以eq \(OC1,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→)).
空间向量线性运算中的三个关键点
(2023·天津一中期末)如图，空间四边形OABC中，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，且OM＝2MA，BN＝NC，则eq \(MN,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b＋eq \f(1,2)c B.eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c
C．－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c D.eq \f(1,2)a－eq \f(2,3)b＋eq \f(1,2)c
答案 C
解析 由题意知，eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))＝－eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.故选C.
例2 如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足eq \(AM,\s\up6(→))＝keq \(AC1,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))＝keq \(BC,\s\up6(→))(0≤k≤1)．
(1)向量eq \(MN,\s\up6(→))是否与向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))共面？
(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？
解 (1)因为eq \(AM,\s\up6(→))＝keq \(AC1,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))＝keq \(BC,\s\up6(→))，
所以eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))＝keq \(C1A,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋keq \(BC,\s\up6(→))＝k(eq \(C1A,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝k(eq \(C1A,\s\up6(→))＋eq \(B1C1,\s\up6(→)))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝keq \(B1A,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－keq \(AB1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－k(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＝(1－k)eq \(AB,\s\up6(→))－keq \(AA1,\s\up6(→))，
所以由共面向量定理知向量eq \(MN,\s\up6(→))与向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))共面．
(2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内．
当0又由(1)知eq \(MN,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))共面，
所以MN∥平面ABB1A1.
证明三点共线和空间四点共面的方法比较
1.若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则m＋n＝( )
A．－2 B．5
C．1 D．－3
答案 D
解析 因为eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，－1，1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(m＋1，n－2，－2)，且A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1，1)＝(3λ，－λ，λ)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＋1＝3λ，,n－2＝－λ，,－2＝λ，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝－2，,m＝－7，,n＝4，))所以m＋n＝－3.
2．在空间直角坐标系中，A(1，1，－2)，B(1，2，－3)，C(－1，3，0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，若A，B，C，D四点共面，则( )
A．2x＋y＋z＝1 B．x＋y＋z＝0
C．x－y＋z＝－4 D．x＋y－z＝0
答案 A
解析 ∵A(1，1，－2)，B(1，2，－3)，C(－1，3，0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，∴eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，1，－1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2，2，2)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(x－1，y－1，z＋2)．∵A，B，C，D四点共面，∴存在实数λ，μ使得eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，即(x－1，y－1，z＋2)＝λ(0，1，－1)＋μ(－2，2，2)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1＝－2μ，,y－1＝λ＋2μ，,z＋2＝－λ＋2μ，))解得2x＋y＋z＝1.故选A.
多角度探究突破
角度 坐标法
例3 已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝eq \(AB,\s\up6(→))，b＝eq \(AC,\s\up6(→)).
(1)若|c|＝3，且c∥eq \(BC,\s\up6(→))，求c；
(2)求a与b夹角的余弦值；
(3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
解 (1)∵c∥eq \(BC,\s\up6(→))，
∴c＝meq \(BC,\s\up6(→))＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)．
∴|c|＝eq \r(（－2m）2＋（－m）2＋（2m）2)＝3|m|＝3，∴m＝±1.
∴c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)．
(2)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，
∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，
又|a|＝eq \r(12＋12＋02)＝eq \r(2)，
|b|＝eq \r(（－1）2＋02＋22)＝eq \r(5)，
∴cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－1,\r(2)×\r(5))＝－eq \f(\r(10),10).
∴a与b夹角的余弦值为－eq \f(\r(10),10).
(3)∵ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，ka＋b与ka－2b互相垂直，
∴(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，
∴k＝2或k＝－eq \f(5,2).
即当ka＋b与ka－2b互相垂直时，k＝2或k＝－eq \f(5,2).
角度 基向量法
例4 已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
(1)求|eq \(AC1,\s\up6(→))|；
(2)求向量eq \(AC1,\s\up6(→))与eq \(A1D,\s\up6(→))夹角的余弦值；
(3)证明：eq \(AA1,\s\up6(→))⊥eq \(BD,\s\up6(→)).
解 (1)如图所示，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，
eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，
则|a|＝|b|＝1，|c|＝2.
a·b＝0，a·c＝b·c＝2×1×cs120°＝－1.
∵eq \(AC1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，
∴|eq \(AC1,\s\up6(→))|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋22－2－2＝2.
∴|eq \(AC1,\s\up6(→))|＝eq \r(2).
(2)∵eq \(AC1,\s\up6(→))＝a＋b＋c，eq \(A1D,\s\up6(→))＝b－c，
∴eq \(AC1,\s\up6(→))·eq \(A1D,\s\up6(→))＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－b·c＋b·c－c2＝1＋12－22＝－2.
又|eq \(A1D,\s\up6(→))|2＝(b－c)2＝b2＋c2－2b·c＝1＋4＋2＝7，
∴|eq \(A1D,\s\up6(→))|＝eq \r(7).
∴cs〈eq \(AC1,\s\up6(→))，eq \(A1D,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AC1,\s\up6(→))·\(A1D,\s\up6(→)),|\(AC1,\s\up6(→))||\(A1D,\s\up6(→))|)＝eq \f(－2,\r(2)×\r(7))＝－eq \f(\r(14),7).
(3)证明：∵eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，eq \(BD,\s\up6(→))＝b－a，
∴eq \(AA1,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝－1－(－1)＝0.
∴eq \(AA1,\s\up6(→))⊥eq \(BD,\s\up6(→)).
空间向量数量积的三个应用
1.(2023·芜湖期末)在棱长为3的正四面体A－BCD中，E为BC的中点，F为棱CD上靠近D的三等分点，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(9,4) B．－eq \f(9,4)
C.eq \f(27,4) D．－eq \f(27,4)
答案 B
解析 如图所示，设eq \(BA,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，eq \(BD,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝3，a·b＝a·c＝b·c＝3×3×cs60°＝eq \f(9,2)，由题意，知eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \(BA,\s\up6(→))＝－a，eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(BF,\s\up6(→))－eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))－eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(DC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(BD,\s\up6(→)))－eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BD,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)c－eq \f(1,6)b，所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(EF,\s\up6(→))＝－a·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)c－\f(1,6)b))＝－eq \f(2,3)a·c＋eq \f(1,6)a·b＝－eq \f(2,3)×eq \f(9,2)＋eq \f(1,6)×eq \f(9,2)＝－eq \f(9,4).故选B.
2．(多选)空间直角坐标系中，已知O(0，0，0)，eq \(OA,\s\up6(→))＝(－1，2，1)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(－1，2，－1)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(2，3，－1)，则( )
A．|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2
B．△ABC是等腰直角三角形
C．与eq \(OA,\s\up6(→))平行的单位向量的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),6)，－\f(\r(6),3)，－\f(\r(6),6)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(6),6)，\f(\r(6),3)，\f(\r(6),6)))
D．eq \(OA,\s\up6(→))在eq \(OB,\s\up6(→))方向上的投影向量的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(4,3)，\f(2,3)))
答案 AC
解析 eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(－1，2，－1)－(－1，2，1)＝(0，0，－2)，∴|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(02＋02＋（－2）2)＝2，A正确；eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，3，－1)－(－1，2，1)＝(3，1，－2)，∴|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(32＋12＋（－2）2)＝eq \r(14)，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝(2，3，－1)－(－1，2，－1)＝(3，1，0)，∴|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(32＋12＋02)＝eq \r(10)，∴△ABC三条边互不相等，B不正确；与eq \(OA,\s\up6(→))平行的单位向量为e＝±eq \f(\(OA,\s\up6(→)),|\(OA,\s\up6(→))|)＝±eq \f(（－1，2，1）,\r(（－1）2＋22＋12))＝±eq \f(（－1，2，1）,\r(6))＝±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(6),6)，\f(\r(6),3)，\f(\r(6),6)))，C正确；eq \(OA,\s\up6(→))在eq \(OB,\s\up6(→))方向上的投影向量为eq \f(\(OA,\s\up6(→))·\(OB,\s\up6(→)),|\(OB,\s\up6(→))|)·eq \f(\(OB,\s\up6(→)),|\(OB,\s\up6(→))|)＝eq \f(4,6)eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(4,3)，－\f(2,3)))，D不正确．故选AC.
课时作业
一、单项选择题
1．已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，0，1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝( )
A．－1 B．1
C．0 D．2
答案 A
解析 因为a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，0，1)，所以p＝a－b＝(1，1，0)－(0，1，1)＝(1，0，－1)，q＝a＋2b－c＝(1，1，0)＋2(0，1，1)－(1，0，1)＝(0，3，1)，则p·q＝1×0＋0×3－1×1＝－1.故选A.
2．以下四组向量在同一平面的是( )
A．(1，1，0)，(0，1，1)，(1，0，1)
B．(3，0，0)，(1，1，2)，(2，2，4)
C．(1，2，3)，(1，3，2)，(2，3，1)
D．(1，0，0)，(0，0，2)，(0，3，0)
答案 B
解析 对于A，设(1，1，0)＝m(0，1，1)＋n(1，0，1)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n＝1，,m＝1，,m＋n＝0，))无解；对于B，因为(2，2，4)＝0(3，0，0)＋2(1，1，2)，故B中的三个向量共面；对于C，设(1，2，3)＝x(1，3，2)＋y(2，3，1)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y＝1，,3x＋3y＝2，,2x＋y＝3，))无解；对于D，设(1，0，0)＝a(0，0，2)＋b(0，3，0)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0＝1，,3b＝0，,2a＝0，))无解．故选B.
3．在空间四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c，则eq \(CD,\s\up6(→))＝( )
A．a＋b－c B．c－a－b
C．a－b－c D．b－a＋c
答案 B
解析 如图所示，eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝－b＋c－a＝c－a－b.故选B.
4．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O为坐标原点，eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，则λ的值为( )
A．±eq \f(\r(6),6) B.eq \f(\r(6),6)
C．－eq \f(\r(6),6) D．±eq \r(6)
答案 C
解析 由于eq \(OA,\s\up6(→))＋λeq \(OB,\s\up6(→))＝(1，－λ，λ)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(0，－1，1)，则cs120°＝eq \f(λ＋λ,\r(1＋2λ2)·\r(2))＝－eq \f(1,2)，解得λ＝±eq \f(\r(6),6).经检验λ＝eq \f(\r(6),6)不符合题意，舍去，所以λ＝－eq \f(\r(6),6).故选C.
5．(2024·潍坊模拟)已知向量a＝(1，3，0)，b＝(2，1，1)，则向量a在向量b上的投影向量c＝( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(5,4)，\f(5,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，\f(5,6)，\f(5,6)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,4)，\f(5,8)，\f(5,8))) D．(2，4，4)
答案 B
解析 向量a＝(1，3，0)，b＝(2，1，1)，则a·b＝2＋3＋0＝5，|b|＝eq \r(4＋1＋1)＝eq \r(6)，故向量a在向量b上的投影向量c＝eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|)＝eq \f(5,6)b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，\f(5,6)，\f(5,6))).故选B.
6.(2023·安徽宣城期末)四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为棱PC的中点，若eq \(AE,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))＋zeq \(AP,\s\up6(→))，则x＋y＋z＝( )
A.eq \f(3,2) B．1
C.eq \f(5,2) D．2
答案 A
解析 因为eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(EP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋(eq \(AP,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→)))，所以2eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AP,\s\up6(→))，所以eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AP,\s\up6(→))，所以x＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(1,2)，z＝eq \f(1,2)，所以x＋y＋z＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2).故选A.
7．(2023·广东六校联考)已知正四面体ABCD的棱长为1，且eq \(BE,\s\up6(→))＝2eq \(EC,\s\up6(→))，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(1,6) B．－eq \f(1,6)
C．－eq \f(1,3) D．eq \f(1,3)
答案 C
解析 因为eq \(BE,\s\up6(→))＝2eq \(EC,\s\up6(→))，所以eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(CB,\s\up6(→)).根据向量的减法法则，得eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(CE,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))，所以eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(CB,\s\up6(→))－\(CA,\s\up6(→))))·eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(CB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)|eq \(CB,\s\up6(→))||eq \(CD,\s\up6(→))|cseq \f(π,3)－|eq \(CA,\s\up6(→))||eq \(CD,\s\up6(→))|cseq \f(π,3)＝eq \f(1,3)×1×1×eq \f(1,2)－1×1×eq \f(1,2)＝－eq \f(1,3).故选C.
8．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝0，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝0，M为BC的中点，则△AMD是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
答案 C
解析 ∵M为BC的中点，∴eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．∴eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝0，∴AM⊥AD，∴△AMD为直角三角形．故选C.
二、多项选择题
9.(2023·十堰二模)《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，eq \(B1D,\s\up6(→))＝2eq \(DC1,\s\up6(→))，则( )
A.eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))
B.eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))
C．向量eq \(AD,\s\up6(→))在向量eq \(AB,\s\up6(→))上的投影向量为eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))
D．向量eq \(AD,\s\up6(→))在向量eq \(AC,\s\up6(→))上的投影向量为eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))
答案 BD
解析 因为eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1B1,\s\up6(→))＋eq \(B1D,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1B1,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(B1C1,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1B1,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(A1C1,\s\up6(→))－eq \(A1B1,\s\up6(→)))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，所以A错误，B正确；如图所示，过D作DE⊥BC于E，过E作EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，故向量eq \(AD,\s\up6(→))在向量eq \(AB,\s\up6(→))上的投影向量为eq \(AF,\s\up6(→))，向量eq \(AD,\s\up6(→))在向量eq \(AC,\s\up6(→))上的投影向量为eq \(AG,\s\up6(→))，由题意易得eq \f(AF,AB)＝eq \f(1,3)，eq \f(AG,AC)＝eq \f(2,3)，故eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，所以C错误，D正确．故选BD.
10．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是( )
A．(eq \(A1A,\s\up6(→))＋eq \(A1D1,\s\up6(→))＋eq \(A1B1,\s\up6(→)))2＝3eq \(A1B1,\s\up6(→))2
B.eq \(A1C,\s\up6(→))·(eq \(A1B1,\s\up6(→))－eq \(A1A,\s\up6(→)))＝0
C．向量eq \(AD1,\s\up6(→))与向量eq \(A1B,\s\up6(→))的夹角是60°
D．正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))|
答案 AB
解析 由向量的加法运算得到eq \(A1A,\s\up6(→))＋eq \(A1D1,\s\up6(→))＋eq \(A1B1,\s\up6(→))＝eq \(A1C,\s\up6(→))，∵A1C2＝3A1Beq \\al(2,1)，∴eq \(A1C,\s\up6(→))2＝3A1B12，故A正确；∵eq \(A1B1,\s\up6(→))－eq \(A1A,\s\up6(→))＝eq \(AB1,\s\up6(→))，AB1⊥A1C，∴eq \(A1C,\s\up6(→))·eq \(AB1,\s\up6(→))＝0，故B正确；∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的角为60°，但是向量eq \(AD1,\s\up6(→))与向量eq \(A1B,\s\up6(→))的夹角是120°，故C错误；∵AB⊥AA1，∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(→))＝0，故|eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))|＝0，因此D错误．故选AB.
11.如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD－A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，则下列说法中正确的是( )
A．AC1＝6eq \r(6)
B．AC1⊥DB
C．向量eq \(B1C,\s\up6(→))与eq \(AA1,\s\up6(→))的夹角是60°
D．BD1与AC所成角的余弦值为eq \f(\r(6),3)
答案 AB
解析 因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，所以eq \(AA1,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝6×6×cs60°＝18，(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))2＝eq \(AA1,\s\up6(→))2＋eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AD,\s\up6(→))2＋2eq \(AA1,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋2eq \(AA1,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝36＋36＋36＋3×2×18＝216，则|eq \(AC1,\s\up6(→))|＝eq \r(（\(AA1,\s\up6(→))＋\(AB,\s\up6(→))＋\(AD,\s\up6(→))）2)＝6eq \r(6)，所以A正确；eq \(AC1,\s\up6(→))·eq \(DB,\s\up6(→))＝(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \(AA1,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AA1,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))2－eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))2＝0，所以B正确；显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60°.因为eq \(B1C,\s\up6(→))＝eq \(A1D,\s\up6(→))，且eq \(A1D,\s\up6(→))与eq \(AA1,\s\up6(→))的夹角是120°，所以eq \(B1C,\s\up6(→))与eq \(AA1,\s\up6(→))的夹角也是120°，所以C错误；因为eq \(BD1,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，所以|eq \(BD1,\s\up6(→))|＝eq \r(（\(AD,\s\up6(→))＋\(AA1,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→))）2)＝6eq \r(2)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(\a\vs4\al(（\(AB,\s\up6(→))＋\(AD,\s\up6(→))）2))＝6eq \r(3)，eq \(BD1,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝36，所以cs〈eq \(BD1,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(BD1,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(BD1,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(36,6\r(2)×6\r(3))＝eq \f(\r(6),6)，所以D错误．
三、填空题
12．已知O(0，0，0)，A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，当eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))取最小值时，点Q的坐标是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3)))
解析 由题意，设eq \(OQ,\s\up6(→))＝λeq \(OP,\s\up6(→))，即eq \(OQ,\s\up6(→))＝(λ，λ，2λ)，则eq \(QA,\s\up6(→))＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，eq \(QB,\s\up6(→))＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))＝(1－λ)·(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(4,3)))eq \s\up12(2)－eq \f(2,3)，当λ＝eq \f(4,3)时，eq \(QA,\s\up6(→))·eq \(QB,\s\up6(→))有最小值，此时点Q的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4,3)，\f(8,3))).
13.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M，N，G分别是棱AA1，BC，A1D1的中点，设Q是该正方体表面上的一点，若eq \(MQ,\s\up6(→))＝xeq \(MG,\s\up6(→))＋yeq \(MN,\s\up6(→))(x，y∈R)，则点Q的轨迹围成的图形的面积是________．
答案 3eq \r(3)
解析 ∵eq \(MQ,\s\up6(→))＝xeq \(MG,\s\up6(→))＋yeq \(MN,\s\up6(→))(x，y∈R)，∴Q在平面MGN上，分别取AB，CC1，C1D1的中点E，F，O，则点Q的轨迹是正六边形OFNEMG，∵正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，∴正六边形OFNEMG的边长为eq \r(2)，∴点Q的轨迹围成的图形的面积是S＝6×eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \r(2)×sin60°＝3eq \r(3).
14．已知空间向量eq \(PA,\s\up6(→))，eq \(PB,\s\up6(→))，eq \(PC,\s\up6(→))的模分别为1，2，3，且两两夹角均为60°.点G为△ABC的重心，若eq \(PG,\s\up6(→))＝xeq \(PA,\s\up6(→))＋yeq \(PB,\s\up6(→))＋zeq \(PC,\s\up6(→))，x，y，z∈R，则x＋y＋z＝________，|eq \(PG,\s\up6(→))|＝________．
答案 1 eq \f(5,3)
解析 根据题意得，点G为△ABC的重心，设BC的中点为D，则eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，所以eq \(PG,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→)))，所以eq \(PG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(PC,\s\up6(→))，所以x＝y＝z＝eq \f(1,3)，所以x＋y＋z＝1.|eq \(PG,\s\up6(→))|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(12＋22＋32＋2×1×2×\f(1,2)＋2×1×3×\f(1,2)＋2×2×3×\f(1,2)))＝eq \f(25,9)，所以|eq \(PG,\s\up6(→))|＝eq \f(5,3).
四、解答题
15．(2023·杭州期末)如图，在四面体A－BCD中，eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AH,\s\up6(→))＝λeq \(AD,\s\up6(→))，eq \(CF,\s\up6(→))＝(1－λ)eq \(CB,\s\up6(→))，eq \(CG,\s\up6(→))＝(1－λ)eq \(CD,\s\up6(→))，λ∈(0，1)．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)若λ＝eq \f(1,3)，设M是EG与FH的交点，O是空间任意一点，用eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))表示eq \(OM,\s\up6(→)).
解 (1)证明：因为eq \(EH,\s\up6(→))＝eq \(AH,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AD,\s\up6(→))－λeq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BD,\s\up6(→))，eq \(FG,\s\up6(→))＝eq \(CG,\s\up6(→))－eq \(CF,\s\up6(→))＝(1－λ)eq \(CD,\s\up6(→))－(1－λ)eq \(CB,\s\up6(→))＝(1－λ)eq \(BD,\s\up6(→))，
所以eq \(EH,\s\up6(→))＝eq \f(λ,1－λ)eq \(FG,\s\up6(→))，则eq \(EH,\s\up6(→))∥eq \(FG,\s\up6(→))，
因此E，F，G，H四点共面．
(2)由(1)知，eq \(EH,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(FG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BD,\s\up6(→))，
因此eq \(EH,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(FG,\s\up6(→))，
EH，FG不在同一条直线上，所以EH∥FG，
则eq \f(EM,MG)＝eq \f(EH,FG)＝eq \f(1,2)，则eq \(EM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(MG,\s\up6(→))，
即eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OG,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→)))，
因为eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))，即eq \(OE,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，
可得eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))，
因为eq \(CG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(CD,\s\up6(→))，即eq \(OG,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))，
可得eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OD,\s\up6(→))，
所以eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(OE,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)\(OA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(OB,\s\up6(→))))＋eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(OC,\s\up6(→))＋\f(2,3)\(OD,\s\up6(→))))＝eq \f(4,9)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,9)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,9)eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \f(2,9)eq \(OD,\s\up6(→)).
16．(2023·大湾区期末)空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：i，j，k分别为“斜60°坐标系”下三条数轴(x轴、y轴、z轴)正方向的单位向量，若向量n＝xi＋yj＋zk，则n与有序实数组(x，y，z)相对应，称向量n的斜60°坐标为[x，y，z]，记作n＝[x，y，z]．
(1)若a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，求a＋b的斜60°坐标；
(2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，
AA1＝3，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，如图，以{eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))}为基底建立“空间斜60°坐标系”．
①若eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(EB1,\s\up6(→))，求向量eq \(ED1,\s\up6(→))的斜60°坐标；
②若eq \(AM,\s\up6(→))＝[2，t，0]，且eq \(AM,\s\up6(→))⊥eq \(AC1,\s\up6(→))，求|eq \(AM,\s\up6(→))|.
解 (1)∵a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，
∴a＋b＝(i＋2j＋3k)＋(－i＋j＋2k)＝3j＋5k＝[0，3，5]，
∴a＋b的斜60°坐标为[0，3，5]．
(2)eq \(AB,\s\up6(→))＝2i，eq \(AD,\s\up6(→))＝2j，eq \(AA1,\s\up6(→))＝3k.
①eq \(ED1,\s\up6(→))＝eq \(AD1,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AA1,\s\up6(→))))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AA1,\s\up6(→))＝－2i＋2j＋eq \f(3,2)k＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，2，\f(3,2))).
②eq \(AC1,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＝2i＋2j＋3k，
由eq \(AM,\s\up6(→))＝[2，t，0]，知eq \(AM,\s\up6(→))＝2i＋tj，
由eq \(AM,\s\up6(→))⊥eq \(AC1,\s\up6(→))，知
eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AC1,\s\up6(→))＝(2i＋tj)·(2i＋2j＋3k)＝0，
∴4i2＋2tj2＋(4＋2t)i·j＋6k·i＋3tk·j＝0，
∴4＋2t＋(4＋2t)·eq \f(1,2)＋3＋eq \f(3t,2)＝0，解得t＝－2.
则|eq \(AM,\s\up6(→))|＝|2i－2j|＝eq \r(（2i－2j）2)
＝eq \r(4i2＋4j2－8i·j)＝eq \r(4＋4－4)＝2.概念
语言描述
共线向量(平行向量)
表示若干空间向量的有向线段所在的直线eq \x(\s\up1(01))互相平行或重合
共面向量
平行于eq \x(\s\up1(02))同一个平面的向量
共线向量定理
对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一实数λ，使eq \x(\s\up1(03))a＝λb
共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝eq \x(\s\up1(04))xa＋yb
空间向量基本定理及推论
定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝eq \x(\s\up1(05))xa＋yb＋zc.
推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))，且x＋y＋z＝eq \x(\s\up1(06))1
向量和
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
向量差
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘向量
λa＝(λa1，λa2，λa3)
数量积
a·b＝eq \x(\s\up1(08))a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a∥b(b≠0)⇒a1＝eq \x(\s\up1(09))λb1，a2＝eq \x(\s\up1(10))λb2，a3＝eq \x(\s\up1(11))λb3(λ∈R)
垂直
a⊥b⇔eq \x(\s\up1(12))a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|＝eq \x(\s\up1(13))eq \r(aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋aeq \\al(2,3))
夹角公式
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \x(\s\up1(14))eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋aeq \\al(2,3))\r(beq \\al(2,1)＋beq \\al(2,2)＋beq \\al(2,3)))
考向一 空间向量的线性运算
考向二 共线向量与共面向量定理的应用
三点(P，A，B)共线
空间四点(M，P，A，B)共面
eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))且同过点P
eq \(MP,\s\up6(→))＝xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))
对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→))
对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋xeq \(MA,\s\up6(→))＋yeq \(MB,\s\up6(→))
对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋(1－x)eq \(OB,\s\up6(→))
对空间任一点O，eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OM,\s\up6(→))＋yeq \(OA,\s\up6(→))＋(1－x－y)eq \(OB,\s\up6(→))
考向三 空间向量的数量积
求夹角
设向量a与b的夹角为θ，则csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)，进而可求两异面直线所成的角
求长度(距离)
利用公式|a|2＝a·a，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题
解决垂直问题
利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题