高考数学科学创新复习方案提升版第42讲空间直线、平面的垂直学案（Word版附解析）

这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第42讲空间直线、平面的垂直学案（Word版附解析），共24页。

1．直线与平面垂直
(1)直线与平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的eq \x(\s\up1(01))任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)直线与平面垂直的判定定理
(3)直线与平面垂直的性质定理
2.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是eq \x(\s\up1(10))直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的判定定理
(3)平面与平面垂直的性质定理
3.直线与平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线与这个平面所成的角．
(2)斜线与平面所成的角的范围：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
直线与平面所成的角的范围：eq \x(\s\up1(19))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))．
4．二面角的有关概念
(1)二面角：从一条直线出发的eq \x(\s\up1(20))两个半平面所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱eq \x(\s\up1(21))垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．
5．三种距离
(1)点面距
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的eq \x(\s\up1(22))垂线段，eq \x(\s\up1(23))垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．
(2)线面距
一条直线与一个平面平行时，这条直线上eq \x(\s\up1(24))任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
(3)面面距
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都eq \x(\s\up1(25))相等，把它叫做这两个平行平面间的距离．
1．直线与平面垂直的五个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线．
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．
(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
2．三垂线定理及其逆定理
(1)三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
(2)三垂线定理的逆定理
平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．
3．三种垂直关系的转化
线线垂直eq \(,\s\up9(判定))线面垂直eq \(,\s\up9(判定),\s\d9(性质))面面垂直
1．(人教B必修第四册11.4.1练习B T5改编)若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍，则AB与平面α所成角的大小为( )
A．60° B．45°
C．30° D．90°
答案 A
解析 斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，∠ABO即是斜线段与平面α所成的角．又AB＝2BO，所以cs∠ABO＝eq \f(OB,AB)＝eq \f(1,2)，所以∠ABO＝60°.故选A.
2.(人教A必修第二册复习参考题8 T13改编)如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小为( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
答案 A
解析 ∵PA⊥平面ABC，BA，CA⊂平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此∠BAC即为二面角B－PA－C的平面角．又∠BAC＝90°，故选A.
3．(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的是( )
答案 BC
解析 设正方体的棱长为2，对于A，如图1所示，连接AC，则MN∥AC，故∠POC或其补角为异面直线OP与MN所成的角，在直角三角形OPC中，OC＝eq \r(2)，CP＝1，故tan∠POC＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，故MN⊥OP不成立，故A错误；对于B，如图2所示，取MT的中点为Q，连接PQ，OQ，则OQ⊥MT，PQ⊥MN，由正方体SBCN－MADT可得SM⊥平面MADT，而OQ⊂平面MADT，故SM⊥OQ，而SM∩MT＝M，故OQ⊥平面SNTM，又MN⊂平面SNTM，所以OQ⊥MN，而OQ∩PQ＝Q，所以MN⊥平面OPQ，而OP⊂平面OPQ，故MN⊥OP，故B正确；对于C，如图3，连接BD，则BD∥MN，由B的判断可得OP⊥BD，故OP⊥MN，故C正确；对于D，如图4，取AD的中点Q，AB的中点K，连接AC，PQ，OQ，PK，OK，AO，则AC∥MN，因为DP＝PC，故PQ∥AC，故PQ∥MN，所以∠QPO或其补角为异面直线OP，MN所成的角，因为正方体的棱长为2，故PQ＝eq \f(1,2)AC＝eq \r(2)，OQ＝eq \r(AO2＋AQ2)＝eq \r(2＋1)＝eq \r(3)，OP＝eq \r(PK2＋OK2)＝eq \r(4＋1)＝eq \r(5)，OQ2