高考数学科学创新复习方案提升版第31讲平面向量基本定理及坐标表示学案（Word版附解析）

这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第31讲平面向量基本定理及坐标表示学案（Word版附解析），共17页。

1．平面向量基本定理
2.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，设与eq \x(\s\up1(03))x轴、y轴正方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，eq \x(\s\up1(04))(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝eq \x(\s\up1(05))(1，0)，j＝eq \x(\s\up1(06))(0，1)，0＝eq \x(\s\up1(07))(0，0)．
3．平面向量的坐标运算
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＋b＝eq \x(\s\up1(08))(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝eq \x(\s\up1(09))(x1－x2，y1－y2)，
λa＝eq \x(\s\up1(10))(λx1，λy1)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \x(\s\up1(11))(x2－x1，y2－y1)，
|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \x(\s\up1(12))eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R)⇔eq \x(\s\up1(13))x1y2－x2y1＝0．
1．平面向量的一个基底是两个不共线向量构成的集合，平面向量的基底可以有无穷多个．
2．当且仅当x2y2≠0时，a∥b与eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)等价，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
3．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
4．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).
5．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).
1．(人教A必修第二册复习参考题6 T2(6)改编)下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(3,4)))
答案 B
解析 两个不共线的非零向量构成一个基底，A中向量e1为零向量，C，D中两向量共线，B中e1≠0，e2≠0，且e1与e2不共线．故选B.
2．(2022·全国乙卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 D
解析 因为a－b＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝eq \r(42＋（－3）2)＝5.故选D.
3.(人教A必修第二册习题6.3 T1改编)如图，在△ABM中，BM＝3CM，eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(2,7)eq \(AM,\s\up6(→))，若eq \(AN,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ＝( )
A．－eq \f(1,7) B.eq \f(1,7)
C．－eq \f(2,7) D.eq \f(2,7)
答案 D
解析 eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(2,7)eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(2,7)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→)))＝eq \f(2,7)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,7)×eq \f(3,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(2,7)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,7)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝－eq \f(1,7)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,7)eq \(AC,\s\up6(→))，故λ＋μ＝－eq \f(1,7)＋eq \f(3,7)＝eq \f(2,7).故选D.
4．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________．
答案 eq \f(8,5)
解析 因为a∥b，所以2×4＝5λ，解得λ＝eq \f(8,5).
5．(人教A必修第二册习题6.3 T4改编)已知▱ABCD的顶点A(0，－2)，B(3，－1)，C(5，2)，则顶点D的坐标为________．
答案 (2，1)
解析 设D(x，y)，则由eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，得(3，1)＝(5－x，2－y)，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3＝5－x，,1＝2－y，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1.))
例1 (2023·清远月考)如图所示，已知在△OBC中，A是BC的中点，D是将eq \(OB,\s\up6(→))分成2∶1的一个内分点，DC与OA交于点E，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b.
(1)用a，b表示向量eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))；
(2)若eq \(OE,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))，求实数λ的值．
解 (1)∵A是BC的中点，
∴2eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，
即eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝2a－b.
eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))＝2a－b－eq \f(2,3)b＝2a－eq \f(5,3)b.
(2)∵eq \(OE,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))，
∴eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(OE,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b.
∵eq \(CE,\s\up6(→))与eq \(DC,\s\up6(→))共线，
∴存在实数k，使eq \(CE,\s\up6(→))＝keq \(DC,\s\up6(→))，
即(λ－2)a＋b＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a－\f(5,3)b))，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ－2＝2k，,1＝－\f(5,3)k，))解得λ＝eq \f(4,5).
应用平面向量基本定理表示向量的方法
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种：
(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止．
(2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解．
1.(2023·长沙模拟)已知在△ABC中，点D满足eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(BC,\s\up6(→))，点E在线段AD(不含端点A，D)上移动，若eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则eq \f(μ,λ)＝________．
答案 3
解析 如图，由题意得存在实数m，使得eq \(AE,\s\up6(→))＝meq \(AD,\s\up6(→))(02．(2023·北京第五十中学模拟)如图所示，平面内有三个向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，其中eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，且|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3).若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．
答案 6
解析 如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))＋eq \(OE,\s\up6(→)).在Rt△OCD中，因为|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，所以|eq \(OD,\s\up6(→))|＝4，|eq \(CD,\s\up6(→))|＝2，故eq \(OD,\s\up6(→))＝4eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OE,\s\up6(→))＝2eq \(OB,\s\up6(→))，即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.
例2 (1)(2023·辽宁省辽南协作校二模)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，则c＝( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,3)，\f(8,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,3)，－\f(8,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,3)，\f(4,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,3)，－\f(4,3)))
答案 D
解析 ∵a－2b＋3c＝0，∴c＝－eq \f(1,3)(a－2b)＝－eq \f(1,3)(5＋2×4，－2＋2×3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,3)，－\f(4,3))).故选D.
(2)(2024·安徽省A10联盟模拟)古希腊数学家泰特托斯(Theaetetus)利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知AB＝BC＝CD＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AC与BD交于点O，若eq \(DO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ＝( )
A.eq \r(2)－1 B．1－eq \r(2)
C.eq \r(2)＋1 D．－eq \r(2)－1
答案 A
解析 以C为坐标原点，CD，CA所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则C(0，0)，A(0，eq \r(2))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，eq \(AC,\s\up6(→))＝(0，－eq \r(2))．因为BC＝CD＝1，∠DCB＝135°，故∠BDC＝22.5°.因为tan45°＝eq \f(2tan22.5°,1－tan222.5°)＝1，所以tan22.5°＝eq \r(2)－1(负值舍去)，故O(0，eq \r(2)－1)．又D(－1，0)，则eq \(DO,\s\up6(→))＝(1，eq \r(2)－1)，因为eq \(DO,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)λ，－\f(\r(2),2)λ－\r(2)μ))，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝\f(\r(2),2)λ，,\r(2)－1＝－\f(\r(2),2)λ－\r(2)μ，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝\r(2)，,μ＝－1，))所以λ＋μ＝eq \r(2)－1.故选A.
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．
1.若向量a＝(2，1)，b＝(－1，2)，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,2)))，则c可用向量a，b表示为( )
A．c＝eq \f(1,2)a＋b B．c＝－eq \f(1,2)a－b
C．c＝eq \f(3,2)a＋eq \f(1,2)b D．c＝eq \f(3,2)a－eq \f(1,2)b
答案 A
解析 设c＝xa＋yb，易知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0＝2x－y，,\f(5,2)＝x＋2y，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)，,y＝1.))∴c＝eq \f(1,2)a＋b.故选A.
2．已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点，eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，4)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(1，3)，若点E满足eq \(OC,\s\up6(→))＝3eq \(EC,\s\up6(→))，则点E的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，－\f(2,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，－\f(1,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)))
答案 A
解析 解法一：易知eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(－1，－1)，则C(－1，－1)，设E(x，y)，则3eq \(EC,\s\up6(→))＝3(－1－x，－1－y)＝(－3－3x，－3－3y)，由eq \(OC,\s\up6(→))＝3eq \(EC,\s\up6(→))，知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－3－3x＝－1，,－3－3y＝－1，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(2,3)，,y＝－\f(2,3)，))所以点E的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，－\f(2,3))).
解法二：易知eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(－1，－1)，由eq \(OC,\s\up6(→))＝3eq \(EC,\s\up6(→))得eq \(OC,\s\up6(→))＝3(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OE,\s\up6(→)))，所以eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，－\f(2,3)))，所以点E的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，－\f(2,3))).
例3 (1)△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(π,2) D.eq \f(2π,3)
答案 B
解析 因为p∥q，所以(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，所以c2－a2－b2＋ab＝0，即a2＋b2－c2＝ab，所以2abcsC＝ab，即csC＝eq \f(1,2)，因为0(2)已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为________．
答案 (3，3)
解析 解法一：由O，P，B三点共线，可设eq \(OP,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＝(4λ，4λ)，则eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(4λ－4，4λ)．又eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2，6)，由eq \(AP,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝eq \f(3,4)，所以eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OB,\s\up6(→))＝(3，3)，所以点P的坐标为(3，3)．
解法二：设点P(x，y)，则eq \(OP,\s\up6(→))＝(x，y)，因为eq \(OB,\s\up6(→))＝(4，4)，且eq \(OP,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→))共线，所以eq \f(x,4)＝eq \f(y,4)，即x＝y.又eq \(AP,\s\up6(→))＝(x－4，y)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2，6)，且eq \(AP,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3，3)．
利用两向量共线解题的技巧
(1)一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．
1.(2023·唐山二模)设向量a＝(1，0)，b＝(0，－1)，若2a＋3b与xa－6b共线，则实数x＝________．
答案 －4
解析 根据题意，向量a＝(1，0)，b＝(0，－1)，则2a＋3b＝(2，－3)，xa－6b＝(x，6)，若2a＋3b与xa－6b共线，则有－3x＝2×6＝12，解得x＝－4.
2．(2023·十堰模拟)已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))，6))，eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,4)))，1))，eq \(OA,\s\up6(→))∥eq \(OB,\s\up6(→))，则tan2α＝________．
答案 eq \f(35,12)
解析 ∵向量eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))，6))，eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,4)))，1))，eq \(OA,\s\up6(→))∥eq \(OB,\s\up6(→))，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,4)))，可得sinα＋csα＝6(－sinα＋csα)，∴tanα＝eq \f(sinα,csα)＝eq \f(5,7)，∴tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)＝eq \f(35,12).
课时作业
一、单项选择题
1．(2023·泸州模拟)若e1，e2是平面α内的一个基底，则下列四组向量能作为平面α的一个基底的是( )
A．e1－e2，e2－e1B．e1＋e2，e1－e2
C．2e2－3e1，－6e1＋4e2D．2e1＋e2，e1＋eq \f(1,2)e2
答案 B
解析 由e1，e2是平面α内的一个基底，则e1，e2非零不共线，对于A，e1－e2＝－(e2－e1)，故e1－e2，e2－e1共线，不满足题意；对于B，e1＋e2，e1－e2不能互相线性表示，故不共线，满足题意；对于C，2e2－3e1＝eq \f(1,2)(－6e1＋4e2)，故2e2－3e1，－6e1＋4e2共线，不满足题意；对于D，2e1＋e2＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e1＋\f(1,2)e2))，故2e1＋e2，e1＋eq \f(1,2)e2共线，不满足题意．故选B.
2．(2023·聊城月考)已知平行四边形ABCD中，eq \(AD,\s\up6(→))＝(3，7)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则eq \(CO,\s\up6(→))的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，5)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，5))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－5)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－5))
答案 D
解析 因为eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝(－2，3)＋(3，7)＝(1，10)，所以eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，5))，所以eq \(CO,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－5)).
3．设向量a＝(－3，4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(6,5)，\f(8,5))) B．(－6，8)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，－\f(8,5))) D．(6，－8)
答案 D
解析 因为a与b的方向相反，所以可设b＝(3t，－4t)(t>0)，又|b|＝10，则9t2＋16t2＝100，解得t＝2或t＝－2(舍去)，所以b＝(6，－8)．
4．(2023·淄博市实验中学高三月考)已知点A(8，－1)，B(1，－3)，若点C(2m－1，m＋2)在直线AB上，则实数m＝( )
A．－12 B．13
C．－13 D．12
答案 C
解析 因为点C在直线AB上，所以eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))共线．又eq \(AB,\s\up6(→))＝(－7，－2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2m－9，m＋3)，故eq \f(2m－9,－7)＝eq \f(m＋3,－2)，解得m＝－13.故选C.
5.(2023·梅州模拟)如图所示，四边形ABCD为等腰梯形，CD∥AB，CD＝eq \f(1,2)AB，E，F分别为CD，AE的中点，若eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(BF,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则( )
A．λ＝eq \f(7,2) B．μ＝1
C．λ＋μ＝eq \f(9,2) D．λμ＝eq \f(7,2)
答案 D
解析 因为CD∥AB，CD＝eq \f(1,2)AB，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))，因为F为AE的中点，所以eq \(AE,\s\up6(→))＝2eq \(AF,\s\up6(→))＝2(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→)))＝2eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(BF,\s\up6(→))，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(BF,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(7,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(BF,\s\up6(→))，所以λ＝eq \f(7,4)，μ＝2，则λ＋μ＝eq \f(15,4)，λμ＝eq \f(7,2).故选D.
6．(2023·盐城一模)在平面直角坐标系xOy中，设A(1，0)，B(3，4)，向量eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，x＋y＝6，则|eq \(AC,\s\up6(→))|的最小值为( )
A．1 B．2
C.eq \r(5) D．2eq \r(5)
答案 D
解析 ∵A(1，0)，B(3，4)，x＋y＝6，∴eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＝x(1，0)＋y(3，4)＝(x，0)＋(6－x)(3，4)＝(18－2x，24－4x)，∴eq \(AC,\s\up6(→))＝(17－2x，24－4x)，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(（17－2x）2＋（24－4x）2)＝eq \r(20x2－260x＋865)＝eq \r(20（x－6.5）2＋20)≥eq \r(20)＝2eq \r(5).故选D.
7．(2023·青岛模拟)已知向量a＝(1＋csx，2)，b＝(sinx，1)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，若a∥b，则sinx＝( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5)
C.eq \f(2,5) D.eq \f(2\r(5),5)
答案 A
解析 根据题意，向量a＝(1＋csx，2)，b＝(sinx，1)，若a∥b，则2sinx＝1＋csx，变形可得csx＝2sinx－1，又sin2x＋cs2x＝1，则有sin2x＋(2sinx－1)2＝1，变形可得5sin2x－4sinx＝0，解得sinx＝0或sinx＝eq \f(4,5)，又x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则sinx＝eq \f(4,5).故选A.
8.(2023·广东统考模拟预测)古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中，提到了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提升了空间利用率，体现了动物的智慧，得到世人的认可．已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则eq \(AB,\s\up6(→))＝( )
A．－eq \f(3,2)eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \f(5,6)eq \(DE,\s\up6(→)) B．－eq \f(5,6)eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)eq \(DE,\s\up6(→))
C．－eq \f(2,3)eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \f(5,6)eq \(DE,\s\up6(→)) D．－eq \f(5,6)eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(DE,\s\up6(→))
答案 B
解析 以D为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．不妨设AD＝2，则A(－1，eq \r(3))，B(5，5eq \r(3))，D(0，0)，E(9，eq \r(3))，C(0，4eq \r(3))，故eq \(AB,\s\up6(→))＝(6，4eq \r(3))，eq \(CE,\s\up6(→))＝(9，－3eq \r(3))，eq \(DE,\s\up6(→))＝(9，eq \r(3))．设eq \(AB,\s\up6(→))＝xeq \(CE,\s\up6(→))＋yeq \(DE,\s\up6(→))，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6＝9x＋9y，,4\r(3)＝－3\r(3)x＋\r(3)y，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(5,6)，,y＝\f(3,2)，))所以eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(5,6)eq \(CE,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)eq \(DE,\s\up6(→)).故选B.
二、多项选择题
9．已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是( )
A．－2 B.eq \f(1,2)
C．1 D．－1
答案 ABD
解析 若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形．故选ABD.
10．(2023·湛江高三模拟)若点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且eq \(BC,\s\up6(→))＝a，eq \(CA,\s\up6(→))＝b，则下列结论正确的是( )
A.eq \(AD,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a－bB.eq \(BE,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)b
C.eq \(CF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)bD.eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a
答案 ABC
解析 如图，在△ABC中，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝－eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))＝－b－eq \f(1,2)a，故A正确；eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)b，故B正确；eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b，故C正确；eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a，故D不正确．故选ABC.
11．(2024·日照调研)如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”(如图2)的两个顶点，动点P在“六芒星”上(包含内部以及边界)，若eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，则x＋y的取值可能是( )
A．－6 B．1
C．5 D．9
答案 BC
解析 设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，求x＋y的范围，只需考虑图中6个向量的情况即可，讨论如下：①若P在A点，∵eq \(OA,\s\up6(→))＝a，∴x＋y＝1＋0＝1；②若P在B点，∵eq \(OB,\s\up6(→))＝b，∴x＋y＝0＋1＝1；③若P在C点，∵eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋2b，∴x＋y＝1＋2＝3；④若P在D点，∵eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(ED,\s\up6(→))＝a＋b＋(a＋2b)＝2a＋3b，∴x＋y＝2＋3＝5；⑤若P在E点，∵eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝a＋b，∴x＋y＝1＋1＝2；⑥若P在F点，∵eq \(OF,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝a＋3b，∴x＋y＝1＋3＝4.∴x＋y的最大值为2＋3＝5.根据对称性，可知x＋y的最小值为－5.故选BC.
三、填空题
12．(2023·哈尔滨六中二模)已知向量a＝(lg2x，1)，b＝(lg23，－1)，若a∥b，则x＝________．
答案 eq \f(1,3)
解析 因为a∥b，所以－lg2x＝lg23，所以lg2x＋lg23＝0，所以lg2(3x)＝0，所以3x＝1，所以x＝eq \f(1,3).
13．(2023·安徽江南十校调研)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上，且|eq \(OC,\s\up6(→))|＝3eq \r(10)，则向量eq \(OC,\s\up6(→))的坐标为________．
答案 (－3，9)
解析 因为点C在∠AOB的平分线上，所以存在λ∈(0，＋∞)，使得eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(OA,\s\up6(→)),|\(OA,\s\up6(→))|)＋\f(\(OB,\s\up6(→)),|\(OB,\s\up6(→))|)))＝λ(0，1)＋λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(4,5)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)λ，\f(9,5)λ))，又|eq \(OC,\s\up6(→))|＝3eq \r(10)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)λ))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,5)λ))eq \s\up12(2)＝(3eq \r(10))2，解得λ＝5.故向量eq \(OC,\s\up6(→))＝(－3，9)．
14．(2023·威海月考)如图，已知▱ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且eq \(AK,\s\up6(→))＝e1，eq \(AL,\s\up6(→))＝e2，则eq \(BC,\s\up6(→))＝________，eq \(CD,\s\up6(→))＝________．(用e1，e2表示)
答案 －eq \f(2,3)e1＋eq \f(4,3)e2 －eq \f(4,3)e1＋eq \f(2,3)e2
解析 设eq \(BC,\s\up6(→))＝x，eq \(CD,\s\up6(→))＝y，则eq \(BK,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)x，eq \(DL,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)y.由eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BK,\s\up6(→))＝eq \(AK,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DL,\s\up6(→))＝eq \(AL,\s\up6(→))，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－y＋\f(1,2)x＝e1 ①，,x－\f(1,2)y＝e2 ②，))①＋②×(－2)，得eq \f(1,2)x－2x＝e1－2e2，即x＝－eq \f(2,3)(e1－2e2)＝－eq \f(2,3)e1＋eq \f(4,3)e2，所以eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)e1＋eq \f(4,3)e2.同理可得y＝－eq \f(4,3)e1＋eq \f(2,3)e2，即eq \(CD,\s\up6(→))＝－eq \f(4,3)e1＋eq \f(2,3)e2.
四、解答题
15．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)，
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解 (1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
∵ka－b与a＋2b共线，
∴2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－eq \f(1,2).
(2)解法一：∵A，B，C三点共线，
∴存在唯一的实数λ，使eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2＝λ，,3＝mλ，))解得m＝eq \f(3,2).
解法二：eq \(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，
eq \(BC,\s\up6(→))＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)，
∵A，B，C三点共线，∴eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→))，
∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，
∴m＝eq \f(3,2).
16．已知向量a＝(sinθ，csθ－2sinθ)，b＝(1，2)．
(1)若a∥b，求eq \f(sinθcsθ,1＋3cs2θ)的值；
(2)若|a|＝|b|，0<θ<π，求θ的值．
解 (1)因为a∥b，所以2sinθ＝csθ－2sinθ，于是4sinθ＝csθ，
当csθ＝0时，sinθ＝0，与sin2θ＋cs2θ＝1矛盾，
所以csθ≠0，故tanθ＝eq \f(1,4)，
所以eq \f(sinθcsθ,1＋3cs2θ)＝eq \f(sinθcsθ,sin2θ＋4cs2θ)＝eq \f(tanθ,tan2θ＋4)＝eq \f(4,65).
(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(csθ－2sinθ)2＝5，
即1－4sinθcsθ＋4sin2θ＝5，
从而－2sin2θ＋2(1－cs2θ)＝4，
即sin2θ＋cs2θ＝－1，于是sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,4)))＝－eq \f(\r(2),2)，
又由0<θ<π知，eq \f(π,4)<2θ＋eq \f(π,4)所以2θ＋eq \f(π,4)＝eq \f(5π,4)或2θ＋eq \f(π,4)＝eq \f(7π,4)，
因此θ＝eq \f(π,2)或θ＝eq \f(3π,4).条件
e1，e2是同一平面内的两个eq \x(\s\up1(01))不共线向量
结论
对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使eq \x(\s\up1(02))a＝λ1e1＋λ2e2
基底
若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
考向一 平面向量基本定理的应用
考向二 平面向量的坐标运算
考向三 平面向量共线的坐标表示