高考数学科学创新复习方案提升版第28讲余弦定理、正弦定理学案（Word版附解析）学案（Word版附解析）

这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第28讲余弦定理、正弦定理学案（Word版附解析）学案（Word版附解析），共28页。

1．正弦定理
2.余弦定理
3.三角形中常用的面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)ah(h表示边a上的高)．
(2)S＝eq \f(1,2)bcsinA＝eq \x(\s\up1(14))eq \f(1,2)acsinB＝eq \x(\s\up1(15))eq \f(1,2)absinC．
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
1．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cs(A＋B)＝－csC；
(3)sineq \f(A＋B,2)＝cseq \f(C,2)；(4)cseq \f(A＋B,2)＝sineq \f(C,2).
2．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcsC＋ccsB；b＝acsC＋ccsA；c＝bcsA＋acsB.
3．在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况
4.三角形中的大角对大边
在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.
1．(人教A必修第二册6.4.3例7改编)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝eq \f(π,6)，B＝eq \f(π,4)，a＝1，则b＝( )
A．2 B．1
C.eq \r(3) D.eq \r(2)
答案 D
解析 由eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)得b＝eq \f(asinB,sinA)＝eq \f(sin\f(π,4),sin\f(π,6))＝eq \f(\r(2),2)×2＝eq \r(2).
2．(人教A必修第二册6.4.3例8改编)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝eq \r(19)，AB＝2，则BC＝( )
A．1 B.eq \r(2)
C.eq \r(5) D．3
答案 D
解析 解法一：由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcsB，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去)．故选D.
解法二：由正弦定理eq \f(AC,sinB)＝eq \f(AB,sinC)，得sinC＝eq \f(\r(57),19)，从而csC＝eq \f(4\r(19),19)(C是锐角)，所以sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcsC＋csBsinC＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(4\r(19),19)－eq \f(1,2)×eq \f(\r(57),19)＝eq \f(3\r(57),38).又eq \f(AC,sinB)＝eq \f(BC,sinA)，所以BC＝3.故选D.
3．在△ABC中，已知B＝30°，b＝eq \r(2)，c＝2，则C＝________．
答案 45°或135°
解析 由正弦定理得sinC＝eq \f(csinB,b)＝eq \f(2sin30°,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，因为c>b，B＝30°，所以C＝45°或C＝135°.
4．(人教B必修第四册9.1.2练习A T4改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝7，则△ABC的面积为________．
答案 eq \f(15\r(3),4)
解析 因为a＝3，b＝5，c＝7，所以csC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(9＋25－49,2×3×5)＝－eq \f(1,2)，因此sinC＝eq \f(\r(3),2)，所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)×3×5×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(15\r(3),4).
5．在△ABC中，acsA＝bcsB，则这个三角形的形状为________________．
答案 等腰三角形或直角三角形
解析 由正弦定理，得sinAcsA＝sinBcsB，即sin2A＝sin2B，又因为00，所以C为锐角，所以B错误；由上可知，a最小，所以三角形中A最小，又csA＝eq \f(c2＋b2－a2,2cb)＝eq \f(（6x）2＋（5x）2－（4x）2,2×6x×5x)＝eq \f(3,4)，所以cs2A＝2cs2A－1＝eq \f(1,8)，所以cs2A＝csC.由三角形中C最大且C为锐角可得，2A∈(0，π)，C∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以2A＝C，所以C正确；由正弦定理，得2R＝eq \f(c,sinC)，又sinC＝eq \r(1－cs2C)＝eq \f(3\r(7),8)，所以2R＝eq \f(6,\f(3\r(7),8))，解得R＝eq \f(8\r(7),7)，所以D正确．故选ACD.
11．(2023·烟台模拟)在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，若CB＝2CD，cs∠CDB＝－eq \f(\r(5),5)，则( )
A．sin∠CDB＝eq \f(3,10)B．△ABC的面积为8
C．△ABC的周长为8＋4eq \r(5)D．△ABC为钝角三角形
答案 BCD
解析 由cs∠CDB＝－eq \f(\r(5),5)可得sin∠CDB＝eq \r(1－\f(1,5))＝eq \f(2\r(5),5)，故A错误；设CD＝x，CB＝2x，在△CBD中，由余弦定理，可得－eq \f(\r(5),5)＝eq \f(9＋x2－4x2,6x)，整理可得，5x2－2eq \r(5)x－15＝0，解得x＝eq \r(5)，即CD＝eq \r(5)，CB＝2eq \r(5)，所以S△ABC＝S△BCD＋S△ADC＝eq \f(1,2)×3×eq \r(5)×eq \f(2\r(5),5)＋eq \f(1,2)×5×eq \r(5)×eq \f(2\r(5),5)＝8，故B正确；由余弦定理，可知csB＝eq \f(CB2＋BD2－CD2,2CB·BD)＝eq \f(CB2＋AB2－AC2,2CB·AB)，即eq \f(20＋9－5,2×3×2\r(5))＝eq \f(20＋64－AC2,2×8×2\r(5))，解得AC＝2eq \r(5)，故△ABC的周长为AB＋AC＋CB＝8＋2eq \r(5)＋2eq \r(5)＝8＋4eq \r(5)，故C正确；由余弦定理，可得cs∠ACB＝eq \f(20＋20－64,2×2\r(5)×2\r(5))＝－eq \f(3,5)