高考数学科学创新复习方案提升版第26讲三角函数的图象与性质学案（Word版附解析）

这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第26讲三角函数的图象与性质学案（Word版附解析），共25页。

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝csx，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)和y＝Acs(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝eq \f(2π,|ω|)，函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝eq \f(π,|ω|).函数y＝|Asin(ωx＋φ)|，y＝|Acs(ωx＋φ)|，y＝|Atan(ωx＋φ)|的周期均为T＝eq \f(π,|ω|).函数y＝|Asin(ωx＋φ)＋b|(b≠0)，y＝|Acs(ωx＋φ)＋b|(b≠0)的周期均为T＝eq \f(2π,|ω|).
2．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是eq \f(1,4)周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．
3．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
1．函数y＝1－sinx，x∈[0，2π]的大致图象是( )
答案 B
解析 当x＝0时，y＝1；当x＝eq \f(π,2)时，y＝0；当x＝π时，y＝1；当x＝eq \f(3π,2)时，y＝2；当x＝2π时，y＝1.结合正弦函数的图象可知B正确．故选B.
2．下列函数中，最小正周期为2π的奇函数为( )
A．y＝sineq \f(x,2)cseq \f(x,2) B．y＝sin2x
C．y＝tan2x D．y＝sin2x＋cs2x
答案 A
解析 y＝sin2x为偶函数；y＝tan2x的最小正周期为eq \f(π,2)；y＝sin2x＋cs2x为非奇非偶函数，故B，C，D都不正确．故选A.
3．(2021·新高考Ⅰ卷)下列区间中，函数f(x)＝7sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))单调递增的区间是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))
答案 A
解析 令－eq \f(π,2)＋2kπ≤x－eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq \f(π,3)＋2kπ≤x≤eq \f(2π,3)＋2kπ，k∈Z.取k＝0，则－eq \f(π,3)≤x≤eq \f(2π,3).因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，所以区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))是函数f(x)的单调递增区间．故选A.
4．(人教B必修第三册第七章复习题A组T14改编)函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象的对称轴方程为________，对称中心的坐标为________．
答案 x＝－eq \f(π,6)＋eq \f(kπ,2)(k∈Z) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋\f(kπ,2)，0))(k∈Z)
解析 令2x＋eq \f(π,3)＝kπ(k∈Z)，解得对称轴方程为x＝－eq \f(π,6)＋eq \f(kπ,2)(k∈Z)；函数f(x)的对称中心的横坐标满足2x＋eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，解得x＝eq \f(π,12)＋eq \f(kπ,2)(k∈Z)，所以对称中心的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋\f(kπ,2)，0))(k∈Z)．
5．(人教A必修第一册习题5.4 T10改编)y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的值域是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3))
解析 当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，2x－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，故3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3))，即y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，3)).
例1 (1)函数y＝2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,6)))的定义域为________．
答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,9)＋\f(kπ,3)，k∈Z))))
解析 由3x＋eq \f(π,6)≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得x≠eq \f(π,9)＋eq \f(kπ,3)，k∈Z，所以函数y＝2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,6)))的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,9)＋\f(kπ,3)，k∈Z)))).
(2)函数y＝lg sin2x＋eq \r(9－x2)的定义域为________．
答案 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
解析 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin2x＞0，,9－x2≥0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(kπ＜x＜kπ＋\f(π,2)，k∈Z，,－3≤x≤3，))∴－3≤x＜－eq \f(π,2)或0＜x＜eq \f(π,2).∴函数y＝lg sin2x＋eq \r(9－x2)的定义域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(3)(2023·北京丰台区二模)若函数f(x)＝sinx－cs2x，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝________，f(x)的值域为________．
答案 0 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,8)，2))
解析 feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝sineq \f(π,6)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,6)))＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)＝0.f(x)＝sinx－cs2x＝sinx－(1－2sin2x)＝2sin2x＋sinx－1，设t＝sinx∈[－1，1]，则y＝2t2＋t－1，t∈[－1，1]，当t∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,4)))时，y＝2t2＋t－1单调递减，当t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，1))时，y＝2t2＋t－1单调递增，所以当t＝－eq \f(1,4)时，ymin＝－eq \f(9,8)；当t＝1时，ymax＝2.所以f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,8)，2)).
(4)函数y＝sinx－csx＋sinxcsx，x∈[0，π]的最大值与最小值的差为________．
答案 2
解析 令t＝sinx－csx，又x∈[0，π]，∴t＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))，t∈[－1，eq \r(2)]．由t＝sinx－csx，得t2＝1－2sinxcsx，即sinxcsx＝eq \f(1－t2,2).∴原函数变为y＝t＋eq \f(1－t2,2)，t∈[－1，eq \r(2)]，即y＝－eq \f(1,2)t2＋t＋eq \f(1,2).∴当t＝1时，ymax＝－eq \f(1,2)＋1＋eq \f(1,2)＝1；当t＝－1时，ymin＝－eq \f(1,2)－1＋eq \f(1,2)＝－1.故函数的最大值与最小值的差为2.
1．三角函数定义域的求法
(1)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式)．
(2)求三角函数的定义域经常借助三角函数的图象，有时也利用数轴．
(3)对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式(组)分别求解，然后利用数轴求交集．
2．求三角函数的值域(最值)的三种类型及解题思路
(1)形如y＝asinx＋bcsx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(3)形如y＝asinxcsx＋b(sinx±csx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±csx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
1.(2023·新乡三模)已知函数f(x)＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋1的定义域是[0，m]，值域为[－1，5]，则m的最大值是( )
A.eq \f(2π,3) B.eq \f(π,3)
C.eq \f(π,6) D.eq \f(5π,6)
答案 A
解析 ∵x∈[0，m]，∴2x－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，2m－\f(π,6))).∵f(x)的值域为[－1，5]，∴－eq \f(1,2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))≤1，∴eq \f(π,2)≤2m－eq \f(π,6)≤eq \f(7π,6)，解得eq \f(π,3)≤m≤eq \f(2π,3)，∴m的最大值为eq \f(2π,3).故选A.
2．函数y＝lg (sinx－csx)的定义域是________．
答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2kπcsx，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2kπc B．a>c>b
C．c>a>b D．b>a>c
答案 A
解析 由2kπ≤x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋π，k∈Z得2kπ－eq \f(π,6)≤x≤2kπ＋eq \f(5π,6)，k∈Z，所以f(x)＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)，所以f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递减，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,7)))>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))，即a>b>c.
(2)函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－2x))(x∈[0，π])的单调递增区间是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(7π,12)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π))
答案 C
解析 y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－2x))＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，由eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，解得eq \f(π,3)＋kπ≤x≤eq \f(5π,6)＋kπ，k∈Z，即函数的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋kπ，\f(5π,6)＋kπ))，k∈Z，∴当k＝0时，单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6))).
1．求三角函数单调区间的两种方法
(1)代换法：将比较复杂的三角函数解析式中含自变量的代数式(如ωx＋φ)整体当作一个角，利用基本三角函数(y＝sinx，y＝csx，y＝tanx)的单调性列不等式求解．
(2)图象法：画出三角函数的图象，利用图象求函数的单调区间．
提醒：要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω