高考数学科学创新复习方案提升版第24讲简单的三角恒等变换学案（Word版附解析）

这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第24讲简单的三角恒等变换学案（Word版附解析），共17页。

1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
3.半角公式
sineq \f(α,2)＝eq \x(\s\up1(12))±eq \r(\f(1－csα,2))，cseq \f(α,2)＝eq \x(\s\up1(13))±eq \r(\f(1＋csα,2))，taneq \f(α,2)＝eq \x(\s\up1(14))±eq \r(\f(1－csα,1＋csα))．
1．公式的常用变式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；tanαtanβ＝1－eq \f(tanα＋tanβ,tan（α＋β）)＝eq \f(tanα－tanβ,tan（α－β）)－1.
2．降幂公式：sin2α＝eq \f(1－cs2α,2)；cs2α＝eq \f(1＋cs2α,2)；sinαcsα＝eq \f(1,2)sin2α.
3．升幂公式：1＋csα＝2cs2eq \f(α,2)；1－csα＝2sin2eq \f(α,2)；1＋sinα＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))eq \s\up12(2)；1－sinα＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))eq \s\up12(2).
4．常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；eq \f(π,4)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))等．
5．辅助角公式：一般地，函数f(α)＝asinα＋bcsα(a，b为常数)可以化为f(α)＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tanφ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq \r(a2＋b2)cs(α－θ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tanθ＝\f(a,b))).
1．(人教A必修第一册习题5.5 T6(1)改编)sin20°·cs10°－cs160°sin10°＝( )
A．－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2)
C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
答案 D
解析 原式＝sin20°cs10°＋cs20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝eq \f(1,2).
2．(2021·全国乙卷)cs2eq \f(π,12)－cs2eq \f(5π,12)＝( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2)
答案 D
解析 cs2eq \f(π,12)－cs2eq \f(5π,12)＝cs2eq \f(π,12)－cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(π,12)))＝cs2eq \f(π,12)－sin2eq \f(π,12)＝cseq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2).故选D.
3．(多选)(人教A必修第一册习题5.5 T12改编)化简：eq \f(3,5)sinx＋eq \f(3\r(3),5)csx＝( )
A.eq \f(6,5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))) B.eq \f(6,5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))
C.eq \f(6,5)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6))) D.eq \f(6,5)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))
答案 AC
解析 eq \f(3,5)sinx＋eq \f(3\r(3),5)csx＝eq \f(6,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sinx＋\f(\r(3),2)csx))＝eq \f(6,5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝eq \f(6,5)cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))))＝eq \f(6,5)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6))).故选AC.
4．(人教A必修第一册5.5.1例3改编)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sinα＝eq \f(4,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值为________．
答案 －eq \f(1,7)
解析 因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sinα＝eq \f(4,5)，所以csα＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))\s\up12(2))＝－eq \f(3,5)，tanα＝eq \f(sinα,csα)＝eq \f(\f(4,5),－\f(3,5))＝－eq \f(4,3).所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tanα＋tan\f(π,4),1－tanαtan\f(π,4))＝eq \f(－\f(4,3)＋1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))×1)＝－eq \f(1,7).
5．已知θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)，3π))且sinθ＝eq \f(4,5)，则sineq \f(θ,2)＝________，cseq \f(θ,2)＝________．
答案 －eq \f(2\r(5),5) －eq \f(\r(5),5)
解析 ∵θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)，3π))，且sinθ＝eq \f(4,5)，∴csθ＝－eq \f(3,5)，eq \f(θ,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(3π,2)))，∴sineq \f(θ,2)＝－eq \r(\f(1＋\f(3,5),2))＝－eq \f(2\r(5),5)，cseq \f(θ,2)＝－eq \r(\f(1－\f(3,5),2))＝－eq \f(\r(5),5).
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
及二倍角公式
例1 (1)若csα＝－eq \f(4,5)，α是第三象限角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝( )
A.eq \f(7\r(2),10) B．－eq \f(7\r(2),10)
C．－eq \f(\r(2),10) D.eq \f(\r(2),10)
答案 B
解析 ∵α是第三象限角，∴sinα0，sineq \f(3π,8)＋cseq \f(3π,8)>0，故θ是第一象限角，又θ∈(0，2π)，故θ＝eq \f(3π,8)，故A正确；|OM|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(3π,8)－cs\f(3π,8)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(3π,8)＋cs\f(3π,8)))eq \s\up12(2)＝2，故|OM|＝eq \r(2)，故B正确；tanθ＝taneq \f(3π,8)>taneq \f(π,4)＝1，故C错误；csθ＝cseq \f(3π,8)