高考数学科学创新复习方案提升版第9讲函数的奇偶性与周期性学案（Word版附解析）

这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第9讲函数的奇偶性与周期性学案（Word版附解析），共19页。

1．函数的奇偶性
2.函数的周期性
(1)周期函数
设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有eq \x(\s\up1(06))x＋T∈D，且eq \x(\s\up1(07))f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，同时nT(n∈Z，n≠0)也是这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个eq \x(\s\up1(08))最小的正数，那么这个eq \x(\s\up1(09))最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
1．函数奇偶性的重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量的值互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量的值也互为相反数．
2．周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0)．
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a≠0)．
(3)若f(x＋a)＝－eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a≠0)．
3．对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．
1．(2023·北京丰台区三模)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ln x B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝3－|x|
答案 B
解析 对于A，y＝ln x为非奇非偶函数，不满足题意；对于B，y＝|x|＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，符合题意；对于C，y＝－x2＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意；对于D，y＝3－|x|是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意．故选B.
2．(人教B必修第一册习题3－1B T8改编)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
A．－eq \f(1,3) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
答案 B
解析 显然b＝0，a－1＋2a＝0，∴a＝eq \f(1,3)，∴a＋b＝eq \f(1,3).
3.(人教A必修第一册3.2.2练习T1改编)设偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________．
答案 [－5，－2)∪(2，5]
解析 由图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0.又f(x)是偶函数，
∴当－2＜x＜0时，f(x)＞0；当－5≤x＜－2时，f(x)＜0.综上，不等式f(x)＜0的解集为[－5，－2)∪(2，5]．
4．(人教A必修第一册习题3.2 T11改编)已知函数f(x)是奇函数且定义域为R，当x>0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为________．
答案 f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1，x>0，,0，x＝0，,x－1，x0，,0，x＝0，,x－1，x0，所以f(x)＝eq \f(\r(1－x2),x)，定义域为[－1，0)∪(0，1]．
所以f(－x)＝eq \f(\r(1－（－x）2),－x)＝－eq \f(\r(1－x2),x)＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数．
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法
(2)图象法
(3)性质法
在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
1.函数f(x)＝|x3＋1|＋|x3－1|，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)的图象上的是( )
A．(a，－f(a)) B．(a，f(－a))
C．(－a，－f(a)) D．(－a，－f(－a))
答案 B
解析 ∵f(－x)＝|－x3＋1|＋|－x3－1|＝|x3－1|＋|x3＋1|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∵(a，f(a))一定在函数f(x)的图象上，而f(a)＝f(－a)，∴(a，f(－a))一定在函数f(x)的图象上．故选B.
2．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)，则下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
答案 B
解析 解法一：因为f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)＝－1＋eq \f(2,x＋1)，其图象关于点(－1，－1)中心对称，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后关于原点(0，0)中心对称，所以f(x－1)＋1为奇函数．故选B.
解法二：因为f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)，所以f(x－1)＝eq \f(1－（x－1）,1＋（x－1）)＝eq \f(2－x,x)，f(x＋1)＝eq \f(1－（x＋1）,1＋（x＋1）)＝eq \f(－x,x＋2).对于A，F(x)＝f(x－1)－1＝eq \f(2－x,x)－1＝eq \f(2－2x,x)，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)，故F(x)不是奇函数；对于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝eq \f(2－x,x)＋1＝eq \f(2,x)，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)，故G(x)为奇函数；对于C，f(x＋1)－1＝eq \f(－x,x＋2)－1＝－eq \f(2x＋2,x＋2)，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f(x＋1)＋1＝eq \f(－x,x＋2)＋1＝eq \f(2,x＋2)，定义域不关于原点对称，不是奇函数．故选B.
例2 (1)(2024·南昌二中月考)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－lg2x，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝( )
A．－eq \f(1,4) B．－eq \f(1,2)
C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(5,4)
答案 D
解析 因为函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－lg2x，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)－lg2\f(1,2)))＝－eq \f(5,4).故选D.
(2)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln eq \f(2x－1,2x＋1)为偶函数，则a＝( )
A．－1 B．0
C．eq \f(1,2) D．1
答案 B
解析 解法一：因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，即(1＋a)ln eq \f(1,3)＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0.当a＝0时，f(x)＝xln eq \f(2x－1,2x＋1)，由(2x－1)·(2x＋1)>0，解得x>eq \f(1,2)或x\f(1,2)或x