高考数学科学创新复习方案提升版第5讲基本不等式学案（Word版附解析）

这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第5讲基本不等式学案（Word版附解析），共18页。

1．基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)
(1)基本不等式成立的条件：eq \x(\s\up1(01))a>0，b>0．
(2)等号成立的条件：当且仅当eq \x(\s\up1(02))a＝b时等号成立．
(3)其中eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的eq \x(\s\up1(03))算术平均数，eq \r(ab)叫做正数a，b的eq \x(\s\up1(04))几何平均数．
2．利用基本不等式求最大、最小值问题
(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)，
那么当eq \x(\s\up1(05))x＝y时，x＋y有eq \x(\s\up1(06))最小值2eq \r(P)．(简记：“积定和最小”)
(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，
那么当eq \x(\s\up1(07))x＝y时，xy有eq \x(\s\up1(08))最大值eq \f(S2,4)．(简记：“和定积最大”)
1．常用的几个重要不等式
(1)a＋b≥2eq \r(ab)(a>0，b>0)．
(2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)(a，b∈R)．
(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)≤eq \f(a2＋b2,2)(a，b∈R)．
(4)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)．
(5)eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq \r(ab)(a>0，b>0)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
2．轮换对称不等式
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a2＋b2≥2ab,a2＋c2≥2ac,b2＋c2≥2bc))eq \a\vs4\al(a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc，当且仅当,a＝b＝c时，等号成立)
3．三元基本不等式
eq \r(3,abc)≤eq \f(a＋b＋c,3)，其中a>0，b>0，c>0，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
1．(2024·海口调研)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则eq \r(xy)的最大值为( )
A．9 B．18
C．36 D．81
答案 A
解析 因为x>0，y>0，且x＋y＝18，所以eq \r(xy)≤eq \f(x＋y,2)＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立，故eq \r(xy)的最大值为9.
2．下列命题正确的是( )
A．若a，b∈R，则eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2
B．若x>0，则x＋eq \f(1,x)>2
C．若x<0，则x＋eq \f(4,x)≥－2eq \r(x·\f(4,x))＝－4
D．若x∈R，则2x2＋eq \f(1,2x2)≥2eq \r(2x2·\f(1,2x2))＝2
答案 D
解析 A项必须保证a，b同号；B项应含有等号，即若x>0，则x＋eq \f(1,x)≥2；C项应该为“≤”．故选D.
3．(人教A必修第一册习题2.2 T1改编)若函数f(x)＝x＋eq \f(1,x－2)(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝ ( )
A．1＋eq \r(2) B．1＋eq \r(3)
C．3 D．4
答案 C
解析 因为x>2，所以f(x)＝x＋eq \f(1,x－2)＝(x－2)＋eq \f(1,x－2)＋2≥2eq \r(（x－2）·\f(1,x－2))＋2＝4，当且仅当x－2＝eq \f(1,x－2)，即x＝3时，等号成立．故a＝3.
4．(人教A必修第一册习题2.2 T5改编)设x>0，则3－3x－eq \f(1,x)的最大值是( )
A．3 B．3－2eq \r(2)
C．－1 D．3－2eq \r(3)
答案 D
解析 因为x>0，所以y＝3－3x－eq \f(1,x)＝3－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(1,x)))≤3－2eq \r(3x·\f(1,x))＝3－2eq \r(3)，当且仅当3x＝eq \f(1,x)，即x＝eq \f(\r(3),3)时，等号成立．故选D.
5．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________．
答案 2eq \r(2)
解析 ∵xy＝1，∴x2＋2y2≥2eq \r(x2·2y2)＝2eq \r(2)·eq \r(（xy）2)＝2eq \r(2)，当且仅当x2＝2y2，xy＝1时，等号成立．
多角度探究突破
角度 利用配凑法求最值
例1 (1)已知a，b为正数，4a2＋b2＝7，则aeq \r(1＋b2)的最大值为( )
A.eq \r(7) B.eq \r(3)
C．2eq \r(2) D．2
答案 D
解析 因为4a2＋b2＝7，则aeq \r(1＋b2)＝eq \f(1,2)×(2a)eq \r(1＋b2)＝eq \f(1,2)eq \r(4a2（1＋b2）)≤eq \f(1,2)×eq \f(4a2＋1＋b2,2)＝2，当且仅当4a2＝1＋b2，即a＝1，b＝eq \r(3)时，取得最大值．故选D.
(2)函数y＝eq \f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值为________．
答案 2eq \r(3)＋2
解析 y＝eq \f(x2＋2,x－1)＝eq \f(（x2－2x＋1）＋（2x－2）＋3,x－1)＝eq \f(（x－1）2＋2（x－1）＋3,x－1)＝(x－1)＋eq \f(3,x－1)＋2≥2eq \r(3)＋2，当且仅当x－1＝eq \f(3,x－1)，即x＝eq \r(3)＋1时，等号成立．
利用基本不等式求最值的条件和配凑方法
提醒：注意配凑过程要进行等价变形；明确目标，即配凑出和或积为定值．
(2023·烟台三模)当x＞0时，eq \f(3x,x2＋4)的最大值为________．
答案 eq \f(3,4)
解析 当x＞0时，eq \f(3x,x2＋4)＝eq \f(3,x＋\f(4,x))≤eq \f(3,2\r(x·\f(4,x)))＝eq \f(3,4)，当且仅当x＝eq \f(4,x)，即x＝2时，等号成立，即eq \f(3x,x2＋4)的最大值为eq \f(3,4).
角度 利用常数代换法求最值
例2 (1)(2023·茂名模拟)已知正实数m，n满足m＋2n＝1，则eq \f(4,m)＋eq \f(n＋2,n)的最小值为________．
答案 17
解析 正实数m，n满足m＋2n＝1，则eq \f(4,m)＋eq \f(n＋2,n)＝eq \f(4,m)＋eq \f(2,n)＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,m)＋\f(2,n)))(m＋2n)＋1＝9＋eq \f(8n,m)＋eq \f(2m,n)≥9＋2eq \r(\f(8n,m)·\f(2m,n))＝17，当且仅当m＝2n＝eq \f(1,2)时，等号成立．所以eq \f(4,m)＋eq \f(n＋2,n)的最小值为17.
(2)(2023·东北师大附中模拟)已知正实数x，y满足x＋y＝eq \f(1,5)，则eq \f(1,3x＋y)＋eq \f(2,x＋2y)的最小值为________．
答案 9
解析 设x＋y＝m(3x＋y)＋n(x＋2y)＝(3m＋n)x＋(m＋2n)y，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3m＋n＝1，,m＋2n＝1，))所以m＝eq \f(1,5)，n＝eq \f(2,5)，所以5x＋5y＝3x＋y＋2(x＋2y)＝1，eq \f(1,3x＋y)＋eq \f(2,x＋2y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3x＋y)＋\f(2,x＋2y)))[3x＋y＋2(x＋2y)]＝1＋eq \f(2（x＋2y）,3x＋y)＋eq \f(2（3x＋y）,x＋2y)＋4＝5＋eq \f(2（x＋2y）,3x＋y)＋eq \f(2（3x＋y）,x＋2y)≥5＋2eq \r(\f(2（x＋2y）,3x＋y)·\f(2（3x＋y）,x＋2y))＝9，当且仅当eq \f(2（x＋2y）,3x＋y)＝eq \f(2（3x＋y）,x＋2y)，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,15)，,y＝\f(2,15)))时，等号成立，则eq \f(1,3x＋y)＋eq \f(2,x＋2y)的最小值为9.
常数代换法求最值的适用情境及解题通法
(1)适用情境
有两个代数式，其中一个是整式ax＋by，另一个是分式eq \f(m,x)＋eq \f(n,y)，其中a，b，m，n为常数，通常均为正数．
(2)解题通法
利用(ax＋by)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,x)＋\f(n,y)))＝am＋bn＋eq \f(bmy,x)＋eq \f(anx,y)≥am＋bn＋2eq \r(abmn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当\f(bmy,x)＝\f(anx,y)时，等号成立))得到结果．
(2024·南宁模拟)已知m>0，n>0，命题p：2m＋n＝mn，命题q：m＋n≥3＋2eq \r(2)，则p是q的____________条件．
答案 充分不必要
解析 因为m>0，n>0，由2m＋n＝mn，得eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)＝1，则m＋n＝(m＋n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(2,n)))＝3＋eq \f(n,m)＋eq \f(2m,n)≥3＋2eq \r(2)，当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(n,m)＝\f(2m,n)，,2m＋n＝mn，))即m＝eq \r(2)＋1，n＝2＋eq \r(2)时取等号，因此p⇒q；因为m>0，n>0，由m＋n≥3＋2eq \r(2)，可取m＝1，n＝10，则2m＋n＝12，mn＝10，此时2m＋n≠mn，因此qp，所以p是q的充分不必要条件．
角度 利用消元法、换元法求最值
例3 (1)(多选)(2024·哈尔滨模拟)已知a>0，b>0，a＋b＝2ab－eq \f(3,2)，则( )
A．a>eq \f(3,4) B．a＋b≥3
C．ab≥eq \f(9,4) D.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥eq \f(4,3)
答案 BCD
解析 对于A，取a＝eq \f(3,4)，b＝eq \f(9,2)，满足a＋b＝2ab－eq \f(3,2)，但不满足a>eq \f(3,4)，故A错误；对于B，因为a＋b＝2ab－eq \f(3,2)，所以2ab＝a＋b＋eq \f(3,2)≤eq \f(（a＋b）2,2)，即[(a＋b)－3][(a＋b)＋1]≥0，所以a＋b≥3，当且仅当a＝b＝eq \f(3,2)时，等号成立，故B正确；对于C，a＋b＝2ab－eq \f(3,2)≥2eq \r(ab)，令eq \r(ab)＝t(t>0)，所以4t2－4t－3≥0，即(2t＋1)(2t－3)≥0，所以t≥eq \f(3,2)，即eq \r(ab)≥eq \f(3,2)，所以ab≥eq \f(9,4)，当且仅当a＝b＝eq \f(3,2)时，等号成立，故C正确；对于D，eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,ab)＝eq \f(2ab－\f(3,2),ab)＝2－eq \f(\f(3,2),ab)，令ab＝m，由C项可知，m≥eq \f(9,4)，而函数y＝2－eq \f(\f(3,2),m)在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，＋∞))上单调递增，所以2－eq \f(\f(3,2),m)≥eq \f(4,3)，当且仅当m＝eq \f(9,4)，即a＝b＝eq \f(3,2)时，等号成立，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥eq \f(4,3)，故D正确．故选BCD.
(2)(2023·湖南省级示范名校联考)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当eq \f(xy,z)取得最大值时，eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)－eq \f(2,z)的最大值为________．
答案 1
解析 ∵正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，∴z＝x2－3xy＋4y2，∴eq \f(xy,z)＝eq \f(xy,x2－3xy＋4y2)＝eq \f(1,\f(x,y)＋\f(4y,x)－3)≤eq \f(1,2\r(\f(x,y)·\f(4y,x))－3)＝1，当且仅当x＝2y时取等号，此时z＝2y2，∴eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)－eq \f(2,z)＝eq \f(2,2y)＋eq \f(1,y)－eq \f(2,2y2)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,y)－1))eq \s\up12(2)＋1≤1，当且仅当y＝1时取等号，即eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)－eq \f(2,z)的最大值是1.
利用消元法、换元法求最值的方法
(1)消元法
根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．
(2)换元法
求较复杂的式子的最值时，通常利用换元法将式子恰当变形，简化式子，再利用基本不等式求解．
1.(2024·聊城一中月考)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是( )
A．1 B．3
C．6 D．12
答案 B
解析 ∵x2＋2xy－3＝0，∴y＝eq \f(3－x2,2x)，∴2x＋y＝2x＋eq \f(3－x2,2x)＝eq \f(3x2＋3,2x)＝eq \f(3x,2)＋eq \f(3,2x)≥2eq \r(\f(3x,2)·\f(3,2x))＝3，当且仅当eq \f(3x,2)＝eq \f(3,2x)，即x＝1时取等号．故选B.
2．(2024·咸阳调研)已知a，b均是正实数，则eq \f(a,a＋2b)＋eq \f(b,a＋b)的最小值为________．
答案 2eq \r(2)－2
解析 设a＋2b＝x，a＋b＝y，则a＝2y－x，b＝x－y，且x，y均为正实数，所以eq \f(a,a＋2b)＋eq \f(b,a＋b)＝eq \f(2y－x,x)＋eq \f(x－y,y)＝eq \f(2y,x)＋eq \f(x,y)－2≥2eq \r(\f(2y,x)·\f(x,y))－2＝2eq \r(2)－2，当且仅当eq \f(2y,x)＝eq \f(x,y)，即x＝eq \r(2)y时，等号成立．所以eq \f(a,a＋2b)＋eq \f(b,a＋b)的最小值为2eq \r(2)－2.
例4 (2023·广州模拟)若对任意实数x>0，y>0，不等式x＋eq \r(xy)≤a(x＋y)恒成立，则实数a的最小值为( )
A.eq \f(\r(2)－1,2) B.eq \r(2)－1
C.eq \r(2)＋1 D.eq \f(\r(2)＋1,2)
答案 D
解析 由题意可得，a≥eq \f(x＋\r(xy),x＋y)对于任意实数x>0，y>0恒成立，则只需求eq \f(x＋\r(xy),x＋y)的最大值即可，eq \f(x＋\r(xy),x＋y)＝eq \f(1＋\r(\f(y,x)),1＋\f(y,x))，设eq \r(\f(y,x))＝t(t>0)，则eq \f(1＋\r(\f(y,x)),1＋\f(y,x))＝eq \f(1＋t,1＋t2)，再设1＋t＝m(m>1)，则eq \f(1＋\r(\f(y,x)),1＋\f(y,x))＝eq \f(1＋t,1＋t2)＝eq \f(m,1＋（m－1）2)＝eq \f(m,m2－2m＋2)＝eq \f(1,m＋\f(2,m)－2)≤eq \f(1,2\r(m·\f(2,m))－2)＝eq \f(1,2\r(2)－2)＝eq \f(\r(2)＋1,2)，当且仅当m＝eq \f(2,m)⇒eq \r(\f(y,x))＝eq \r(2)－1时取等号，所以a≥eq \f(\r(2)＋1,2)，即实数a的最小值为eq \f(\r(2)＋1,2).故选D.
利用基本不等式求参数的值或取值范围的方法
(1)根据基本不等式等号成立的条件，求参数的值或取值范围．
(2)转化为求最值问题，利用基本不等式求解．
(2024·徐州一中质检)若关于x的不等式eq \f(4x,a)＋eq \f(1,x－2)≥4对任意x>2恒成立，则正实数a的取值范围为( )
A．[1，4] B．(0，4)
C．(0，4] D．(1，4]
答案 C
解析 由题意可得eq \f(4（x－2）,a)＋eq \f(1,x－2)≥4－eq \f(8,a)对任意x>2恒成立，由a>0，x－2>0，可得eq \f(4（x－2）,a)＋eq \f(1,x－2)≥2eq \r(\f(4（x－2）,a)·\f(1,x－2))＝eq \f(4,\r(a))，当且仅当eq \f(4（x－2）,a)＝eq \f(1,x－2)，即x＝2＋eq \f(\r(a),2)时取等号，则4－eq \f(8,a)≤eq \f(4,\r(a))，解得0例5 某市近郊有一块大约500 m×500 m的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其总面积为3000 m2，其中阴影部分为通道，通道宽度为2 m，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状、大小均相同)，塑胶运动场地占地面积为S m2.
(1)分别写出y和S关于x的函数关系式，并给出定义域；
(2)怎样设计能使S取得最大值？并求出最大值．
解 (1)由已知，得xy＝3000，∴y＝eq \f(3000,x)，其定义域是(6，500)．S＝(x－4)a＋(x－6)a＝(2x－10)a，∵2a＋6＝y，∴a＝eq \f(y,2)－3＝eq \f(1500,x)－3，∴S＝(2x－10)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1500,x)－3))＝3030－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15000,x)＋6x))，其定义域是(6，500)．
(2)S＝3030－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(15000,x)＋6x))≤3030－2eq \r(6x·\f(15000,x))＝3030－2×300＝2430，当且仅当eq \f(15000,x)＝6x，即x＝50∈(6，500)时，上述不等式等号成立，此时y＝60，Smax＝2430.
∴当x＝50，y＝60时，运动场地面积最大，最大面积为2430 m2.
有关函数最值的实际问题的解题技巧
(1)根据实际问题建立函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．
(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．
某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为________米．
答案 5
解析 设长方体蓄水池的长为y，宽为x，高为h，每平方米池侧壁造价为a，蓄水池总造价为W，则由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝20，,xyh＝500，))∴W＝2a(xh＋yh)＋2axy＝2ah(x＋y)＋2axy＝40ah＋eq \f(500×2a,h)，∴W≥2eq \r(40ah×\f(500×2a,h))＝400a，当且仅当h＝5时等号成立，即W取得最小值时，蓄水池的高应该为5米．
课时作业
一、单项选择题
1．(2024·长春第五中学检测)eq \r((3－a)(a＋6))(－6≤a≤3)的最大值为( )
A．9 B．eq \f(9,2)
C．3 D．eq \f(3\r(2),2)
答案 B
解析 当a＝－6或a＝3时，eq \r(（3－a）（a＋6）)＝0；当－6＜a＜3时，eq \r(（3－a）（a＋6）)≤eq \f(3－a＋a＋6,2)＝eq \f(9,2)，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－eq \f(3,2)时取等号．
2．(2023·宿州模拟)已知函数y＝x－4＋eq \f(9,x＋1)(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则2a＋3b＝( )
A．9 B．7
C．5 D．3
答案 B
解析 因为x>－1，所以x＋1>0，所以y＝x－4＋eq \f(9,x＋1)＝x＋1＋eq \f(9,x＋1)－5≥2eq \r(（x＋1）·\f(9,x＋1))－5＝1，当且仅当x＋1＝eq \f(9,x＋1)，即x＝2时取等号，所以y的最小值b＝1，此时x＝a＝2，所以2a＋3b＝7.
3．(2024·扬州宝应中学检测)若xA．最大值0 B．最小值9
C．最大值－3 D．最小值－3
答案 C
解析 因为x4．(2024·重庆模拟)已知x>2，y>1，(x－2)·(y－1)＝4，则x＋y的最小值是( )
A．1 B．4
C．7 D．3＋eq \r(17)
答案 C
解析 ∵x>2，y>1，(x－2)(y－1)＝4，∴x＋y＝(x－2)＋(y－1)＋3≥2eq \r(（x－2）（y－1）)＋3＝7，当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝3))时等号成立．
5．(2023·湛江二模)若a，b∈(0，＋∞)，且eq \r(a)＋eq \f(4,b)＝9，则b＋eq \f(\r(a),a)的最小值为( )
A．9 B．3
C．1 D．eq \f(1,3)
答案 C
解析 ∵a，b∈(0，＋∞)，且eq \r(a)＋eq \f(4,b)＝9，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(\r(a),a)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(a)＋\f(4,b)))＝beq \r(a)＋4＋1＋eq \f(4,b\r(a))＝5＋beq \r(a)＋eq \f(4,b\r(a))≥5＋2eq \r(b\r(a)·\f(4,b\r(a)))＝9，当且仅当beq \r(a)＝eq \f(4,b\r(a))时等号成立，∴9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(\r(a),a)))≥9，故b＋eq \f(\r(a),a)≥1，即b＋eq \f(\r(a),a)的最小值为1.故选C.
6．(2023·潍坊二模)已知正实数a，b满足a2＋2ab＋4b2＝6，则a＋2b的最大值为( )
A．2eq \r(5) B．2eq \r(2)
C．eq \r(5) D．2
答案 B
解析 因为a2＋2ab＋4b2＝6，所以(a＋2b)2＝6＋2ab≤6＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋2b,2)))eq \s\up12(2)，所以(a＋2b)2≤8，又因为a，b都是正实数，所以a＋2b≤2eq \r(2)，当且仅当a＝2b时，等号成立，所以a＋2b的最大值为2eq \r(2).
7.
(2024·太原第十八中学月考)《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，则该图形可以完成的无字证明为( )
A.eq \f(a＋b,2)≤eq \r(ab)(a>0，b>0)B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
C.eq \r(ab)≥eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))(a>0，b>0)D.eq \f(a2＋b2,2)≥eq \f(a＋b,2)(a>0，b>0)
答案 C
解析 根据图形，利用射影定理得CD2＝DE·OD，又OD＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)(a＋b)，CD2＝AC·CB＝ab，所以DE＝eq \f(CD2,OD)＝eq \f(ab,\f(a＋b,2)).由于OD≥CD，所以eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)(a>0，b>0)．由于CD≥DE，所以eq \r(ab)≥eq \f(2ab,a＋b)＝eq \f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))(a>0，b>0)．
8．由于近年来，冬季气候干燥，冷空气频繁袭来．为提高公民的取暖水平，某社区决定建立一个取暖供热站．已知供热站每月自然消费与供热站到社区的距离成反比，每月供热费与供热站到社区的距离成正比，如果在距离社区20千米处建立供热站，这两项费用分别为5千元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区( )
A．5千米处 B．6千米处
C．7千米处 D．8千米处
答案 A
解析 设供热站应建在离社区x千米处，则自然消费y1＝eq \f(k1,x)，供热费y2＝k2x，由题意得，当x＝20时，y1＝0.5，y2＝8，所以k1＝xy1＝10，k2＝eq \f(y2,x)＝eq \f(2,5)，所以y1＝eq \f(10,x)，y2＝eq \f(2,5)x.所以两项费用之和为y1＋y2＝eq \f(10,x)＋eq \f(2x,5)≥2eq \r(\f(10,x)·\f(2x,5))＝4，当且仅当eq \f(10,x)＝eq \f(2x,5)，即x＝5时，等号成立，所以要使这两项费用之和最小，供热站应建在离社区5千米处．故选A.
二、多项选择题
9．(2024·邢台模拟)三元均值不等式：“当a，b，c均为正实数时，eq \f(a＋b＋c,3)≥eq \r(3,abc)，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．”利用上面结论，判断下列不等式成立的是( )
A．若x>0，则x2＋eq \f(2,x)≥3
B．若0C．若x>0，则2x＋eq \f(1,x2)≥3
D．若0答案 AC
解析 对于A，x>0，x2＋eq \f(2,x)＝x2＋eq \f(1,x)＋eq \f(1,x)≥3eq \r(3,x2·\f(1,x)·\f(1,x))＝3，故A正确；对于B，∵00，x2(1－x)＝eq \f(1,2)x·x·(2－2x)≤eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋x＋2－2x,3)))eq \s\up12(3)＝eq \f(4,27)，故B错误；对于C，x>0，2x＋eq \f(1,x2)＝x＋x＋eq \f(1,x2)≥3eq \r(3,x·x·\f(1,x2))＝3，故C正确；对于D，∵00，x(1－x)2＝eq \f(1,2)×2x(1－x)(1－x)≤eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x＋1－x＋1－x,3)))eq \s\up12(3)＝eq \f(4,27)，故D错误．故选AC.
10．(2023·张家口三模)已知x>0,y>0，x＋y＝m(m是常数)，则下列结论正确的是( )
A．若eq \f(1,x)＋eq \f(4,y＋1)的最小值为m＋1，则m＝3
B．若x(y＋1)的最大值为4，则m＝3
C．若eq \r(x)＋eq \r(y)的最大值为m，则m＝2
D．若m＝4，则eq \f(y2＋9,x)的最小值为2
答案 BC
解析 因为x>0,y>0，x＋y＝m，所以eq \f(1,x)＋eq \f(4,y＋1)＝eq \f(1,1＋m)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(x＋y＋1,x)＋\f(4（x＋y＋1）,y＋1)))＝eq \f(1,1＋m)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(y＋1,x)＋\f(4x,y＋1)))≥eq \f(1,1＋m)(5＋4)＝eq \f(9,1＋m)，当且仅当eq \f(y＋1,x)＝eq \f(4x,y＋1)时取等号，若eq \f(9,1＋m)＝m＋1，则m＝2或m＝－4(舍去)，A错误；由题意得x(y＋1)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y＋1,2)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋1,2)))eq \s\up12(2)＝4，则m＝3，当且仅当x＝y＋1＝2时取等号，B正确；由题意得(eq \r(x)＋eq \r(y))2≤2(x＋y)＝2m＝m2，解得m＝2或m＝0(舍去)，当且仅当x＝y时取等号，C正确；若m＝4，则eq \f(y2＋9,x)＝eq \f(（4－x）2＋9,x)＝x＋eq \f(25,x)－8≥2eq \r(25)－8＝2，当且仅当x＝eq \f(25,x)，即x＝5时取等号，又x＋y＝4，x>0，y>0，故等号取不到，D错误．故选BC.
11．(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则( )
A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1
答案 BC
解析 因为ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)≤eq \f(a2＋b2,2)(a，b∈R)，由x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))eq \s\up12(2)，解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以A错误，B正确；因为x2＋y2－xy＝1变形可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(y,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)y2＝1，设x－eq \f(y,2)＝csθ，eq \f(\r(3),2)y＝sinθ，所以x＝csθ＋eq \f(1,\r(3))sinθ，y＝eq \f(2,\r(3))sinθ，因此x2＋y2＝cs2θ＋eq \f(5,3)sin2θ＋eq \f(2,\r(3))sinθcsθ＝1＋eq \f(1,\r(3))sin2θ－eq \f(1,3)cs2θ＋eq \f(1,3)＝eq \f(4,3)＋eq \f(2,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ－\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，2))，即eq \f(2,3)≤x2＋y2≤2，当且仅当x＝eq \f(\r(3),3)，y＝－eq \f(\r(3),3)或x＝－eq \f(\r(3),3)，y＝eq \f(\r(3),3)时，x2＋y2＝eq \f(2,3)，当且仅当x＝y＝±1时，x2＋y2＝2，所以C正确，D错误．故选BC.
三、填空题
12．(2024·齐齐哈尔八中质检)函数f(x)＝eq \f(x＋3,\r(x－1))的最小值为________．
答案 4
解析 函数f(x)＝eq \f(x＋3,\r(x－1))的定义域为(1，＋∞)，f(x)＝eq \f(（x－1）＋4,\r(x－1))＝eq \r(x－1)＋eq \f(4,\r(x－1))≥2eq \r(\r(x－1)·\f(4,\r(x－1)))＝4，当且仅当eq \r(x－1)＝eq \f(4,\r(x－1))，即x＝5时取等号，故当x＝5时，f(x)取得最小值4.
13．已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________．
答案 eq \f(4,5)
解析 ∵5x2y2＋y4＝1，∴y≠0且x2＝eq \f(1－y4,5y2).∴x2＋y2＝eq \f(1－y4,5y2)＋y2＝eq \f(1,5y2)＋eq \f(4y2,5)≥2eq \r(\f(1,5y2)·\f(4y2,5))＝eq \f(4,5)，当且仅当eq \f(1,5y2)＝eq \f(4y2,5)，即x2＝eq \f(3,10)，y2＝eq \f(1,2)时取等号，∴x2＋y2的最小值为eq \f(4,5).
14．(2023·天津九校联考)设a>2b>0，那么eq \f(a4＋1,b（a－2b）)的最小值是________．
答案 16
解析 因为b(a－2b)＝eq \f(1,2)·2b(a－2b)≤eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2b＋a－2b,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(a2,8)，当且仅当2b＝a－2b，即b＝eq \f(1,4)a时取等号，所以eq \f(a4＋1,b（a－2b）)≥eq \f(a4＋1,\f(a2,8))＝8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2＋\f(1,a2)))≥8×2eq \r(a2×\f(1,a2))＝16，当且仅当a2＝eq \f(1,a2)，即a＝1时取等号，故当a＝1，b＝eq \f(1,4)时，eq \f(a4＋1,b（a－2b）)取得最小值16.
四、解答题
15．(2023·中卫一模)(1)设a，b，c∈R，a＋b＋c＝1，证明：ab＋bc＋ac≤eq \f(1,3)；
(2)求满足方程(x2＋2)(y2＋8)＝16xy的实数x，y的值．
解 (1)证明：由a，b，c∈R，a＋b＋c＝1，
可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝eq \f(1,2)(a2＋b2)＋eq \f(1,2)(b2＋c2)＋eq \f(1,2)(c2＋a2)＋2ab＋2bc＋2ac≥ab＋bc＋ac＋2ab＋2bc＋2ac＝3(ab＋bc＋ac)，
所以ab＋bc＋ac≤eq \f(1,3)，当且仅当a＝b＝c＝eq \f(1,3)时取等号．
(2)(x2＋2)(y2＋8)＝16xy＞0，
当x＞0，y＞0时，由x2＋2≥2eq \r(2)x，y2＋8≥4eq \r(2)y，可得(x2＋2)(y2＋8)≥16xy，当且仅当x＝eq \r(2)，y＝2eq \r(2)时取等号．
同理可得，当x＜0，y＜0时，x＝－eq \r(2)，y＝－2eq \r(2)时，也成立．
所以原方程的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝\r(2)，,y1＝2\r(2)，))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝－\r(2)，,y2＝－2\r(2).))
16．(2024·杭州十四中月考)某学校设计如图所示的环状田径场，该田径场的内圈由两条平行线段(图中的AB，DC)和两个半圆构成，设AB为x m，且x≥80.
(1)若图中矩形ABCD的面积为eq \f(16200,π) m2，则当x取何值时，内圈的周长最小？
(2)若内圈的周长为400 m，则当x取何值时，矩形ABCD的面积最大？
解 (1)S矩形ABCD＝eq \f(16200,π)，
则AD＝eq \f(\f(16200,π),x)＝eq \f(16200,πx)(x≥80)，
则内圈的周长为2x＋π·eq \f(16200,πx)＝2x＋eq \f(16200,x)≥2eq \r(2x·\f(16200,x))＝360，当且仅当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＝\f(16200,x)，,x≥80，))
即x＝90时，内圈的周长取得最小值，为360 m.
(2)若内圈的周长为400 m，
则AD＝eq \f(400－2x,π)，
则S矩形ABCD＝AB·AD＝x·eq \f(400－2x,π)
＝eq \f(－2（x－100）2＋20000,π)，
故当x＝100时，矩形ABCD的面积最大，为eq \f(20000,π) m2.考向一 利用基本不等式求最值
考向二 利用基本不等式求参数的值或取值范围
考向三 基本不等式的实际应用