高考数学科学创新复习方案提升版第3讲全称量词与存在量词学案（Word版附解析）

这是一份高考数学科学创新复习方案提升版第3讲全称量词与存在量词学案（Word版附解析），共14页。

1．全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的、任意一个、任给一个，用符号“eq \x(\s\up1(01))∀”表示；存在量词有：存在一个、至少有一个、有些，用符号“eq \x(\s\up1(02))∃”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为eq \x(\s\up1(03))∀x∈M，p(x)．
(3)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．“存在M中元素x，使p(x)成立”用符号简记为eq \x(\s\up1(04))∃x∈M，p(x)．
2．含有一个量词的命题的否定
1．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．
2．常用的正面叙述词语和它的否定词语
3.因为命题p与¬p的真假性相反，所以不管是全称量词命题还是存在量词命题，当其真假不易判断时，可先判断其否定的真假．
1．(人教A必修第一册习题1.5 T3(1)改编)命题“∃x∈Q，|x|∈N”的否定是( )
A．∀x∉Q，|x|∉N B．∀x∈Q，|x|∈N
C．∃x∉Q，|x|∉N D．∀x∈Q，|x|∉N
答案 D
解析 存在量词命题的否定需要把存在量词改为全称量词，并否定结论．故选D.
2．(2023·厦门模拟)已知集合M，N满足M∩N≠∅，则( )
A．∀x∈M，x∈N B．∀x∈M，x∉N
C．∃x∈M，x∈N D．∃x∈M，x∉N
答案 C
解析 ∵集合M，N满足M∩N≠∅，∴由交集定义得∃x∈M，x∈N.故选C.
3．(2024·宁德一中质检)若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋10，解得a3.
4．(人教A必修第一册1.5.2练习T2改编)“等边三角形都是等腰三角形”的否定是________．
答案 存在一个等边三角形，它不是等腰三角形
解析 全称量词命题的否定是存在量词命题．故命题的否定是存在一个等边三角形，它不是等腰三角形．
5．(人教B必修第一册1.2.1练习B T4改编)若“∀x∈[－1，2]，x2－m≤1”为真命题，则实数m的最小值为________．
答案 3
解析 因为“∀x∈[－1，2]，x2－m≤1”为真命题，所以m≥x2－1对x∈[－1，2]恒成立，即m≥(x2－1)max＝3.
例1 (1)(2023·沈阳东北育才学校模拟)已知P，Q为R的两个非空真子集，若∁RQ∁RP，则下列结论正确的是( )
A．∀x∈Q，x∈P B．∃x∈∁RP，x∈∁RQ
C．∃x∉Q，x∈P D．∀x∈∁RP，x∈∁RQ
答案 B
解析 因为∁RQ∁RP，所以PQ，如图，对于A，由题意知P是Q的真子集，故∃x∈Q，x∉P，故A不正确；对于B，由∁RQ是∁RP的真子集且∁RQ，∁RP都不是空集知，∃x∈∁RP，x∈∁RQ，故B正确；对于C，由P是Q的真子集知，∀x∉Q，x∉P，故C不正确；对于D，∁RQ是∁RP的真子集，故∃x∈∁RP，x∉∁RQ，故D不正确．故选B.
(2)(多选)(2024·厦门外国语学校期中)下列命题中为真命题的是( )
A．∃x∈(0，＋∞)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)＜eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)
B．∃x∈(0，1)，lgeq \s\d10(\f(1,2))x＞lgeq \s\d10(\f(1,3))x
C．∀x∈(0，＋∞)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)＞lgeq \s\d10(\f(1,2))x
D．∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)＜lgeq \s\d10(\f(1,3))x
答案 BD
解析 当x＞0时，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)的图象永远在y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)的图象上方，因此A是假命题；当0＜x＜1时，y＝lgeq \s\d10(\f(1,2))x的图象永远在y＝lgeq \s\d10(\f(1,3))x的图象上方，因此B是真命题；当x＝eq \f(1,2)时， eq \r(\f(1,2))＜1＝lgeq \s\d10(\f(1,2))eq \f(1,2)，因此C是假命题；当0＜x＜eq \f(1,3)时，lgeq \s\d10(\f(1,3))x＞1＞eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(x)，因此D是真命题．故选BD.
判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路
1.已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( )
A．∀x∈R，f(－x)≠f(x)B．∀x∈R，f(－x)≠－f(x)
C．∃x∈R，f(－x)≠f(x)D．∃x∈R，f(－x)≠－f(x)
答案 C
解析 ∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数，∴∀x∈R，f(－x)＝f(x)为假命题，∴∃x∈R，f(－x)≠f(x)为真命题．
2．(2024·江西师大附中月考)下列命题为真命题的是( )
A．∃x∈R，ln (x2＋1)2，2x>x2
C．∃α，β∈R，sin(α－β)＝sinα－sinβ
D．∀x∈(0，π)，sinx>csx
答案 C
解析 ∵x2＋1≥1，∴ln (x2＋1)≥0，故A是假命题；当x＝3时，232，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解
C．存在正整数n≤2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解
D．存在正整数n>2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解
答案 D
解析 命题为全称量词命题，则命题的否定为“存在正整数n>2，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn至少存在一组正整数解”．故选D.
(2)(2023·德州调研)命题“∃x∈R，12”．故选D.
写出全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤
1.(2023·泰安三模)命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是( )
A．所有奇函数的图象都不关于原点对称
B．所有非奇函数的图象都关于原点对称
C．存在一个奇函数的图象不关于原点对称
D．存在一个奇函数的图象关于原点对称
答案 C
解析 全称量词命题“所有奇函数的图象关于原点对称”的否定是存在量词命题，所以命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是“存在一个奇函数的图象不关于原点对称”．故选C.
2．(2024·商丘月考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
答案 B
解析 根据存在量词命题的否定为全称量词命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．
例3 (1)(2023·南通模拟)若“∃x∈(0，π)，sin2x－ksinx0)，x∈[－1，2]的值域为[2－a，2＋2a]，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,2－a≥－1，,2＋2a≤3，))解得00，利用二次函数的性质可知y≤1，故m≤1.
课时作业
一、单项选择题
1．(2023·江门一模)命题“∀x∈Q，x2－5≠0”的否定为( )
A．∃x∉Q，x2－5＝0 B．∀x∈Q，x2－5＝0
C．∀x∉Q，x2－5＝0 D．∃x∈Q，x2－5＝0
答案 D
解析 原命题为全称量词命题，该命题的否定为“∃x∈Q，x2－5＝0”．故选D.
2．(2024·惠州摸底)已知命题p：∃m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则¬p为( )
A．∃m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数
B．∀m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数
C．∃m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数
D．∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数
答案 D
解析 由存在量词命题的否定可得¬p为“∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．
3．(2023·滨州模拟)下列命题正确的是( )
A．命题“每个正方形都是矩形”是存在量词命题
B．命题“有一个素数不是奇数”是全称量词命题
C．命题“∀x∈R，x4∈R”的否定为“∃x∈R，x4∉R”
D．命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数”
答案 C
解析 命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词“每个”，是全称量词命题，故A错误；命题“有一个素数不是奇数”含有存在量词“有一个”，是存在量词命题，故B错误；命题“∀x∈R，x4∈R”的否定为“∃x∈R，x4∉R”，故C正确；命题“每个整数都是有理数”的否定为“存在一个整数不是有理数”，故D错误．
4．(2024·衡水月考)设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( )
A．∀x∈Q，有x∈PB．∀x∉Q，有x∉P
C．∃x∉Q，使得x∈PD．∃x∈P，使得x∉Q
答案 B
解析 因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以∀x∉Q，有x∉P.故选B.
5．(2024·成都模拟)命题p：∀x>1，eq \r(x)＋2x－3>0，命题q：∃x∈R，2x2－4x＋3＝0，则( )
A．p真q真 B．p假q假
C．p假q真 D．p真q假
答案 D
解析 对于命题p：令t＝eq \r(x)>1，则y＝2t2＋t－3＝(2t＋3)(t－1)，由二次函数的图象可知，当t＞1时，y＝2t2＋t－3>0，所以∀x>1，eq \r(x)＋2x－3>0，即命题p为真命题；对于命题q：因为Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8