天津市西青区2023-2024学年高一下学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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第Ⅰ卷（40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1. 已知向量，，若，则m的值为（ ）
A. －1B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由两向量平行的坐标表示列出等式，即可解出答案.
【详解】因为，
所以，
解得：.
故选：D
2. 8个样本数据11，2，8，13，5，7，4，6的75%分位数为（ ）
A. 11B. 9.5C. 8D. 7.5
【答案】B
【解析】
【分析】将数据从小到大排列，根据百分位数的求法，即可求得答案.
【详解】8个样本数据从小到大排列为：2，4，5，6，7，8，11，13，
由于，故这8个样本数据的75%分位数为，
故选：B
3. 由下列条件解，其中有两解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形内角和为及三角形三边关系，结合正弦定理和余弦定理逐项判断即可.
【详解】对于A，由，,由正弦定理可得,
由和可知和只有唯一解，所以只有唯一解，因此A不正确；
对于B，因为，由余弦定理可知只有唯一解，
所以三角形的三个边唯一确定，即只有唯一解，因此B不正确；
对于C，因为，由正弦定理得，
即，又，所以，
所以角只有唯一解，即只有唯一解，因此C不正确；
对于D，因为，由正弦定理得，
所以，又，所以，所以角有两个解，即有两个解，因此D正确.
故选：D.
4. 在复平面内，复数，对应的向量分别是，其中O是原点，则向量对应的复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据所给的两个向量的代数形式，先求两个向量的差，求出，得到向量的代数形式的表示式即可.
【详解】复数与对应的向量分别是与，
.
故选：A.
5. 设，为两个平面，m为平面内一条直线．则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件
C. 必要不充分条件D. 充分不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据面面垂直的判定定理以及性质，即可判断出答案.
【详解】由于m为平面内一条直线．若，则根据面面垂直的判定定理可得；
当时，m可能平行于，或与斜交，不一定有，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：D
6. 从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解.
【详解】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，
记事件 “抽到两人是一男生一女生”，
在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为:
共12个样本点，
其中有8个样本点，所以.
在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为:
共16个样本点，
其中有8个样本点，所以.
故选：A.
7. 将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：将边长为1正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周得到的几何体为底面为半径为的圆、高为1的圆柱，其侧面展开图为长为，宽为1，所以所得几何体的侧面积为.故选C.
8. 已知向量，设与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用投影向量的计算公式进行计算即可.
【详解】由题意知，在上的投影向量为：
.
故选：C.
9. 下列五个命题
①若则；
②投掷一枚质地均匀的硬币1000次，一定有500次“正面朝上”；
③若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定；
④分别投掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”，“第二枚正面朝上”，事件“两枚硬币朝上的面相同”，则A、B、C三个事件两两独立；
⑤为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式．
以上5个命题正确的命题个数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，逐个分析5个命题的真假，综合即可得正确答案.
【详解】对于①，当时，，但不一定成立，因此①错误；
对于②，因为每次抛掷硬币都是随机事件，所以不一定有500次“正面朝上”，因此②错误；
对于③，因为方差越小越稳定，因此③正确；
对于④，，，，，
由，，，
则A、B、C三个事件两两独立，因此④正确；
对于⑤，为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式，因此⑤错误；
一共有两个正确，
故选：C.
10. 天津广播电视塔是津门十景之一，被人们称为“天塔”，建成于1991年：它曾是亚洲第一高塔，现为集广播电视、观光旅游、娱乐餐饮于一体的4A级景区．某校一项目学习小组开展数学建模活动，欲测量天塔AB的高度．在天塔湖岸边上，选取与塔底在同一水平面内的两个观测点、．测得，在、两观测点处测得天塔顶部的仰角分别为，则天塔的高约为（ ）
A. 414mB. C. D. 207m
【答案】A
【解析】
【分析】设，在和 中，求出，在中借助余弦定理求出的值，即的值.
【详解】设，
在中，有题意知，则，
在中，有题意知，则，
在中， ，，
由余弦定理可得：，
即，解得，即.
故选：A.
【点睛】解三角形应用题的一般步骤：
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
第Ⅱ卷（80分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给1分，全部答对的给5分，把答案写在答题纸相应的横线上
11. 已知复数z满足______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可.
【详解】由，
故答案为：.
12. 天气预报端午假期甲地的降雨概率为0.6，乙地的降雨概率为0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内两地都不降雨的概率为______．
【答案】028##
【解析】
【分析】根据相互独立事件的概率计算以及对立事件的概率计算，即可求得答案。
【详解】由题意知甲地的降雨概率为0.6，乙地的降雨概率为0.3，
故在这段时间内两地都不降雨的概率为，
故答案为：0.28
13. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则角______．
【答案】##
【解析】
分析】由正弦定理进行边化角得到，从而得解；
【详解】，由正弦定理可得，
在中，，，
，
.
故答案为：.
14. 如图，在正方体中，异面直线与BC所成角的大小为______；平面与平面ABCD所成的二面角的大小为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据异面直线以及二面角的定义求解，即可得答案.
【详解】在正方体中，，
故异面直线与BC所成角即为直线与AD所成角，
由于，故异面直线与BC所成角的大小为；
在正方体中，平面，
而平面，故，
又平面，平面，
故为平面与平面ABCD所成的二面角，而,
故平面与平面ABCD所成的二面角的大小为，
故答案为：；
15. 甲，乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班人，乙班人．甲班的平均成绩为，方差为；乙班的平均成绩为，方差为．那么甲，乙两班全部名学生成绩的方差是______．
【答案】
【解析】
【分析】首先计算得到全部名学生的平均成绩，根据方差的计算公式可求得结果.
【详解】由题意知：全部名学生的平均成绩为：，
全部名学生的方差为：.
故答案为：.
16. 在平行四边形中，是线段的中点，点满足若设，则可用表示为______；若，则______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由向量的线性运算，可将用表示出来；以为基底，即可对的数量积进行运算求解.
【详解】
由E是线段CD的中点，，可得，，
则，
则，
所以；
由题意知，，，，，
则.
故答案为：；.
【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程.
17. 已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．
（1）求角的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）结合余弦定理进行求解即可；
（2）结合正弦定理进行求解即可.
【小问1详解】
由，
则，
又，则；
【小问2详解】
由（1）知，又，
则由正弦定理知，，即
.
18. 已知向量满足
（1）若，求向量的坐标；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）在（1）的条件下，若与垂直，求的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）由平面向量的坐标运算计算即可；
（2）由向量夹角公式计算即可；
（3）由向量垂直的坐标表示建立方程，进行求解即可.
【小问1详解】
，，
；
【小问2详解】
由，知与夹角的余弦值为；
【小问3详解】
，
由与垂直，
则，
解得.
19. 今年3月在北京召开了中国人民政治协商会议第十四届全国委员会第二次会议和第十四届人民代表大会第二次会议．某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试．已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求图中a的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（2）今年政府工作报告将“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”列为2024年首要任务．为了更好的帮助同学们理解新质生产力，感受新质生产力强劲“脉搏”，学校团总支利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成“新质生产力扬帆起航”宣讲团．
①求应从和学生中分别抽取的学生人数；
②从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，写出这个试验的样本空间Ω；（用恰当的符号表示）
③设事件“至少有1人测试成绩位于区间”，求在②的条件下事件A的概率．
【答案】（1）；74.5
（2）①5，2；②答案见解析；③
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图中各组频率之和为1，即可求得a的值，根据平均数的计算方法即可求得答案；
（2）①根据两组的频率之比，即可求得每组抽取人数；②依题意即可写出样本空间；③根据古典概型的概率公式，即可求得答案.
【小问1详解】
由频率分布直方图可得，
解得；
估算这40名学生测试成绩的平均数为；
【小问2详解】
①由图可得和这两组的频率之比为，
故应从学生中抽取的学生人数为（人），
应从学生中抽取的学生人数为（人）；
②设从中抽取的5人为，从学生中抽取的2人为1，2，
则这个试验的样本空间为，
共有21个基本事件；
③事件“至少有1人测试成绩位于区间”，
在②的条件下事件A的个数有11个，即，
故.
20. 如图，直三棱柱中，，E、F分别为AB、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）若，直线EF与平面ABC所成角为，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用线面平行的判定定理，即可证明结论；
（2）取BC中点为H，先证明平面，再根据线面垂直的性质定理，即可证明结论；
（3）证明平面，根据等体积法即可求得答案.
【小问1详解】
连接交于O点，连接，
则直三棱柱中，四边形为平行四边形，
则O为的中点，又E为AB的中点，故，
平面，平面，
故平面；
【小问2详解】
取BC中点为H，连接,
F为的中点，故，而底面，
故底面，底面，故;
又E为AB的中点，则，而，即，
故，而平面，
故平面，平面，故，即；
【小问3详解】
由（2）可知为直线EF与平面ABC所成角，即，
由，E为AB中点，则；
又，得，
又底面，底面，故，
而平面，故平面，
故.