山西省大同市浑源县第七中学校2023-2024学年高二下学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题（共8小题，每题5分，共40分）
1. 下列集合中表示同一集合的是（）
A. ，
B ，
C. ，
D. ，
2. 设全集与集合，的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（）
A. B.
C. D.
3. 已知，则（）
A. B. C. D.
4. 下列四个函数中，在上为增函数的是（）
A. B. C. D.
5 设甲：，乙：，则（）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
6. 基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （）
A. 1.2天B. 1.8天
C. 2.5天D. 3.5天
7. 已知函数，则下列图象错误的是（）
A. 的图象：
B. 的图象：
C. 的图象：
D. 的图象：
8. 已知函数，若关于x的方程恰有6个不同的实数根，则m的取值范围是（）
A. B. (
C. D.
二、多选题（共3小，每题6分，共18分）
9. 下列函数中，在上是减函数的是（）
A. B. C. D.
10. 已知函数，则下列结论中正确的是（）
A. 的定义域为R
B. 是奇函数
C. 在定义域上是减函数
D. 无最小值，无最大值
11. 定义在R上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2023个交点，则下列说法正确的是（）
A. B. 为的对称轴
C. D.
三、填空题（3小题，每小题5分，共15分）
12. 不等式的解集为______.
13. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是____.
14. 已知，且，则的最小值为__________．
四、解答题（5小题，共77分）
15. 在中，，，为锐角且的面积小于3.
（1）求的取值范围；
（2）求取值范围.
16. 如图，在长方体中，点分别在棱上，且，.
（1）证明：点平面内；
（2）若，，，求平面与平面夹角正弦值．
17. 已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若是椭圆上的两个动点，且的角平分线总垂直于轴，求证：直线的斜率为定值.
18. 中国茶文化博大精深，已知茶水的口感与茶叶类型以及水温有关.经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.某学习研究小组通过测量，得到了下面表格中的数据(室温是).
（1）小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图，并根据散点图分布情况，考虑到茶水温度降到室温(即)就不能再降的事实，决定选择函数模型来刻画.
①令，求出关于的线性回归方程；
②利用①的结论，求出中的与.
（2）你认为该品种绿茶用的水大约泡制多久后饮用，可以产生最佳口感？
参考数据：，，，，，，，，.参考公式：，，.
19. 已知函数
（1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值；
（2）求函数在区间上的最小值.泡制时间
0
1
2
3
4
水温
85
79
74
71
65