吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试数学试题（原卷版+解析版）

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数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第I卷1至3页，第II卷4至6页.
第I卷
一､单选题：本题包括8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知复数，则（ ）
A B. C. D.
2. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 命题“”的否定是“”
B. 若，则
C. 单调减区间为
D. 是的必要不充分条件
3. 已知向量，的夹角为150°，且，，则（ ）
A. 1B. C. D.
4. 如图，在圆（）上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是（ ）

A. B.
C. D.
5. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面水平放置时，液面恰好过的四等分点处，，当底面水平放置时，液面高为（ ）
A. B. C. D.
6. 平均数､中位数和众数都描述了数据的集中趋势，下列说法错误的是（ ）
A. 如果频率分布直方图的形状是对称的，那么平均数和中位数大体上差不多
B. 与中位数相比，平均数反映出样本数据中的更多信息
C. 对分类型数据，比如产品质量等级等集中趋势的描述可以用众数
D. 如果频率分布直方图在“右边”拖尾，那么平均数小于中位数
7. 已知有唯一的零点，则实数的值为（ ）
A 0B. C. D.
8. 设函数，若存在使得既是的零点，也是的极值点，则的可能取值为（ ）
A. 0B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的答案的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选题的得0分.
9. （多选）下列四种变换，其中能使的图象变为的图象的是（ ）
A. 向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的
B. 向左平移个单位长度，再将各点的横坐标缩短为原来的
C. 各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度
D. 各点横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度
10. 已知抛物线的焦点为F，C上一点到和到轴的距离分别为12和10，且点位于第一象限，以线段为直径的圆记为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 的准线方程为
C. 圆的标准方程为
D. 若过点，且与直线为坐标原点）平行的直线与圆相交于A，B两点，则
11. 已知是函数 的极值点，若，则下列结论 正确的是（ ）
A. 的对称中心为B.
C D.
第II卷
三､填空题：本题共3题，每小题5分，共15分.
12. 等差数列中，，则_____．
13. 在中，若，则的值是________．
14. 给如图所示1~9号方格进行涂色，规则是：任选一个格子开始涂色，之后每次随机选一个未涂色且与上次所涂方格不相邻（即没有公共边）的格子进行涂色，当5号格子被涂色后停止涂色，记此时已被涂色的格子数为X，则___________.

15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求B；
（2）若，的面积为，求的周长.
16. 四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点.
（1）求证：平面平面；
（2）当为的一个三等分点，即时，求四面体的体积；
（3）当为中点时，求平面与平面夹角的大小.
17. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围.
18. 在11分制乒乓球比赛中，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为p，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立．已知在某局双方平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束，且．
（1）求p的值；
（2）求再打2个球甲新增的得分Y的分布列和均值；
（3）记事件“，且甲获胜”的概率为，求．
19. 已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为，为坐标原点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是MN的中点，直线MN、OQ的斜率分别为，证明：为定值；
（3）直线y=4x-6与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点P1，过点P1且斜率为4的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点，⋯，这样一直操作下去，可以得到一列点．证明：共线．