河南省郑州市西一中学2023-2024学年下学期九年级开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 的绝对值是（ ）
A. B. C. D. 2024
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了绝对值，根据负数的绝对值等于它的相反数，计算即可求出值．熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．
【详解】解：，
故选：A．
2. 将下面正方体的平面展开图重新折成正方体后，“共”字对面的字是（ ）
A. 阖B. 家C. 幸D. 福
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方体的展开图，选择底面，将展开图合并成正方体即可求解．
【详解】解：若以“阖”字为下底面，则上底面为“福”；
左右侧面分别为：“享”、“家”；
前后面分别为：“幸”、“共”
故选：C．
3. 如图，直线、交于点，若，平分，则的度数为（ ）
A. B. C. D. 72°
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义．利用邻补角的性质求得的度数，再根据角平分线的定义即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
故选：D．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同底数幂的除法法则，零指数幂和负整数幂的意义，单项式与单项式的乘法法则逐项计算即可．
【详解】解：A．，故原式不正确；
B．，故原式不正确；
C．，故原式不正确；
D．，正确；
故选D．
【点睛】本题考查了根据同底数幂的除法，零指数幂和负整数幂的意义，单项式与单项式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5. 如图，在菱形中，对角线，相交于点O，E，F分别是，的中点，连接，若，，则的长为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查菱形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质和三角形中位线定理得出，于是得到结论．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵点E、F分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：C．
6. 关于x的方程实数根的情况，下列判断正确的是（ ）
A. 有两个相等实数根B. 有两个不相等实数根C. 没有实数根D. 有一个实数根
【答案】B
【解析】
【分析】根据根的判别式直接判断即可得出答案．
【详解】解：对于关于x的方程，
∵，
∴此方程有两个不相等的实数根．
故选B．
【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
7. 某次数学测验，抽取部分同学的成绩(得分为整数)整理制成频数分布直方图,如图所示．根据图示信息，下列描述不正确的是( )
A. 共抽取了50人
B. 90分以上的有12人
C. 80分以上的所占的百分比是60%
D. 60.5～70.5分这一分数段的频数是12
【答案】D
【解析】
【分析】根据表中提供的数据分别进行计算，即可找出描述不正确的选项．
【详解】A、抽样的学生共有：4+10+18+12+6=50人，故本选项正确，不符合题意；
B. 90分以上的有12人，故本选项正确，不符合题意；
C. 80分以上的所占的百分比是=60%；故本选项正确，不符合题意；
D. 60.5～70.5分这一分数段的频数是10，故本选项错误，符合题意；
故选D.
【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
8. 华为最新款手机芯片“麒麟990”是一种微型处理器，每秒可进行100亿次运算，它工作2022秒可进行的运算次数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同，题中：1亿．
【详解】解：100亿，，
故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，关键要正确确定a的值以及n的值．
9. 如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…则正方形铁片连续旋转次后，点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】按照题意，连接右下角轴上的点与，如图所示，由旋转性质逐步求出各个位置时点的坐标，找到循环规律求解即可得到答案．
【详解】解：如图所示：

点，点，
，则，
由旋转的性质可得，
第一次；
如图所示：

，
，则由旋转的性质可得，
第二次，
如图所示：

，
，则由旋转的性质可得，
第三次，
如图所示：

，
，则由旋转性质可得，
第四次，
…
数形结合，发现点的位置4次一个循环，，
∵，
的纵坐标与相同为，横坐标为，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查图形与坐标规律，读懂题意，数形结合，找到坐标规律是解决问题的关键．
10. 如图所示，小亮设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，右侧用一个弹簧测力计向下拉，改变弹簧测力计与支点O的距离，观察弹簧测力计的示数的变化情况．实验数据记录如下表：
下列说法不正确的是（ ）
A. 弹簧测力计的示数与支点O的距离之间关系的图像如图
B. y与x的函数关系式为
C. 当弹簧测力计的示数为时，弹簧测力计与O点的距离是37.5
D. 随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小
【答案】C
【解析】
【分析】仔细观察表格，在坐标系中分别描出各点，并平滑曲线连接这些点，即可画出函数图像；观察所画图形，回想常见几种函数的图像特征，即可判断出函数类型，利用待定系数法求出函数关系式；把代入上面所得关系式求解，并根据函数的性质判断弹簧秤与O点的距离不断增大时的弹簧测力计示数变化情况．
【详解】解：由图像猜测y与x之间的函数关系为反比例函数．
所以设
把代入求得
∴
将其余各点代入验证均适合，
∴y与x的函数关系式为，
把代入得，
∴当弹簧测力计的示数为时，弹簧测力计与O点的距离是，
随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小．
故选：C．
【点睛】此题考查的是反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 写出一个具体的y随x的增大而减小的一次函数解析式___________
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据一次函数的性质只要使一次项系数大于0即可．
【详解】∵一次函数y随x的增大而减小
∴k＜0
∴y=-x+2（答案不唯一）．
故答案是：y=-x+2（答案不唯一）．
12. 不等式组的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
故答案为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
13. 新高考“3+1+2”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科．某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意列出表格如下：
由表格可得，共有12种等可能的结果，其中该同学恰好选择地理和化学两科的有2种结果，
某同学从4门再选科目中随机选择2科，恰好选择地理和化学概率为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
14. 如图，在菱形中，对角线，分别以点为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查菱形的面积公式、圆的面积公式、勾股定理以及菱形的基本性质，解题的关键在于熟记公式．根据菱形的性质以及勾股定理求得，再根据四边形的内角和为得到四个扇形的面积，阴影部分的面积即为菱形的面积减去四个扇形的面积．
【详解】如图所示，与BD交于点
在菱形中，，
所以菱形的面积为：，
根据菱形的性质可知：，，，
即：，，，
所以，
因为四边形的内角和为，
所以，
所以四个扇形的面积之和是一个以的长为半径的圆的面积：，
所以图中阴影部分面积为：．
故答案为：．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______．
【答案】或##或
【解析】
【分析】连接，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，分点在线段上和的延长线上，且，勾股定理求得即可．
【详解】如图，连接，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，
，，
，
根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，点在上，且，
，
如图，在中，，
在中，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点的位置是解题的关键．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. （1）；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查的是分式的混合运算及实数的运算，熟知分式的混合运算及实数的运算法则是解题的关键．
（1）先算乘方，去绝对值符号，特殊角的三角函数值，再算乘法，最后算加减即可；
（2）先算括号里面的，再算除法即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
17. 人口老龄化现象日益严峻，引起全社会的广泛关注．某校为引导学生关注社会生活，关爱老年人，开展了以“关注人口老龄化”为主题的综合实践活动某小组学生随机抽取某社区部分60岁以上的老年人进行了问卷调查，针对生活中存在的问题之“处理生病问题的方式”设计了如下5个选项（请选择一项您最常使用的方式）：A、子女陪同去医院就诊；B、独自去医院就诊；C、自己在家服用备用药；D、请人帮忙买药；E、雇佣护工陪同去医院就诊．调查问卷全部收回，并进行整理，绘制了如下尚不完整的统计图．
根据图中信息，回答下列问题：
（1）参与问卷调查的老年人共有 人，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，“B”所占的百分比为 ，“D”所在扇形的圆心角度数为 ；
（3）关于人口老龄化，你还想关注哪些问题（写出一个即可）？你想通过什么方式获得相关信息？
【答案】（1），图见解析
（2），；
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图、扇形图；
（1）用D类人数除以它所占的百分比得到调查的老年人总人数，再求出A、C的人数；
（2）用B的人数除以总人数即可，乘以类人数所占的百分比得到扇形统计图中所对应的圆心角度数；
（3）关注老年人的经济问题．
【小问1详解】
解：，
，
补全条形统计图如下；
故答案为：；
【小问2详解】
解：“B”所占的百分比为：，
“D”所在扇形的圆心角度数为：，
故答案为：，；
【小问3详解】
解：关于人口老龄化，还想关注“处理经济问题的方式”，通过调查问卷的方式来获取相关信息（答案不唯一）．
18. 如图，点在反比例函数的图象上，点B在y轴上，，将线段向右下方平移，得到线段，此时点C落在反比例函数的图象上，点D落在x轴正半轴上，且．
（1）点B的坐标为__________，点D的坐标为__________，点C的坐标为__________（用含m的式子表示）；
（2）求k的值和直线的表达式．
【答案】（1）（0，2），（1，0），（m＋1，2）
（2）4；y＝-2x＋6
【解析】
【分析】（1）根据OB＝2可得点B的坐标，根据OD＝1可得点D的坐标为（1，0），由平移规律可得点C的坐标；
（2）根据点C和D的坐标列方程可得m的值，从而得k的值，再利用待定系数法可得直线AC的解析式．
【小问1详解】
∵点B在y轴上，，
∴B（0，2），
∵点D落在x轴正半轴上，且
∴D（1，0），
∴线段AB向下平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段CD，
∵点A（m，4），
∴C（m＋1，2），
故答案为：（0，2），（1，0），（m＋1，2）；
【小问2详解】
∵点A和点C在反比例函数的图象上，
∴k＝4m＝2（m＋1），
∴m＝1，
∴A（1，4），C（2，2），
∴k＝1×4＝4，
设直线AC的表达式为：，
∴ 解得，
∴直线AC的表达式为：y＝-2x＋6．
【点睛】此题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用以及平移的性质，根据OB和OD的长得出平移的规律是解题关键．
19. 河南广播电视塔又名中原福塔，是国家4A级旅游景区，又被评为郑州市中小学专项性社会实践教育基地．某数学小组在学习了三角函数的知识后，设计了合理的方案测量中原福塔的高度．如图，表示福塔，点C，E，B在同一直线上，测角仪的高度为．测角仪在C处测得塔尖A的仰角，前进到达E处测得塔尖A的仰角，根据测得的数据请你计算福塔的高度，（参考数据：，，，结果保留整数）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，设，先证明，再利用锐角三角函数求解即可．掌握正切的定义是解本题的关键．
【详解】解：设，
，
为等腰直角三角形，即．
∵，
∴，
在直角三角形中，，
，
．
解得．
由题意可得，四边形为矩形．
．
．
福塔的高度约为．
20. 河南新密伏羲山小马高原风景秀丽，成为新晋河南打卡景区，景区为旅游旺季的到来做物资准备，需要购买A、B两种型号的帐篷．若购买种型号帐篷2顶和种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买种型号帐篷3顶和种型号帐篷1顶，则需2800元．
（1）求每顶种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格；
（2）若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共70顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买A种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买种型号帐篷和种型号帐篷各多少顶？
【答案】（1）每顶A种型号帐篷600元，每顶B种型号帐篷1000元；
（2）购买种型号帐篷17顶，购买种型号帐篷55顶．
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
（1）设每顶种型号帐篷元，每顶种型号帐篷元，根据若购买种型号帐篷2顶和种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买种型号帐篷3顶和种型号帐篷1顶，则需2800元列得二元一次方程组，即可解得答案；
（2）设购买种型号帐篷顶，总费用为元，由购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量，可得，而，根据一次函数性质可得答案．
【小问1详解】
解：设每顶种型号帐篷元，每顶种型号帐篷元，
根据题意得：，
解得：，
每顶种型号帐篷600元，每顶种型号帐篷1000元；
【小问2详解】
解：设购买种型号帐篷顶，总费用为元，则购买种型号帐篷顶，
购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，
，
解得，
根据题意得：，
，
随的增大而减小，
当时，取最小值，最小值为（元，
，
答：购买种型号帐篷17顶，购买种型号帐篷55顶．
21. 图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部点O处，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在斜坡上的点A建有垂直于水平线的城墙，且，，，点D，A，B在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙．
【答案】（1）抛物线的表达式为y＝
（2）石块不能飞越城墙
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数的应用．
（1）由抛物线的顶点坐标是可设石块运行的函数关系式为，把点C坐标代入即可解答；
（2）由得到点D的横坐标为75，将代入函数，可求得石块飞到点D的竖直方向上时距的高度为，又，即可解答．
【小问1详解】
解：∵抛物线的顶点坐标是，
∴设石块运行的函数关系式为，
∵
∴点C的坐标为，
∵抛物线过点，
∴，代入，得，
解得：
∴抛物线的表达式为，
即；
【小问2详解】
∵，
∴点D的横坐标为75，
将代入函数，得，
即石块飞到点D的竖直方向上时距的高度为，
∵，，
∴，
∴石块不能飞越城墙．
22. 为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环与水平地面相切于点C，推杆与铅垂线的夹角为，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆与铁环相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．
（1）求证：．
（2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动，图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离最小，测得的长为50cm，铁环的半径为25cm，推杆的长为75cm，求．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）如图，过点B作，分别交于点E，交于点F．首先证明，；再根据B是切点得出．然后证明出结论；
（2）设，则，证明，可得两三角形相似比为，用含x的式子表示出，再在中根据勾股定理计算出x值，从而计算的值，即可解答问题．
【小问1详解】
如图，过点B作，分别交于点E，交于点F．
∵与相切于点C，
∴，
∵
∴
∵，
∴
∴
∵为的切线，
∴
∴
∴
∴
【小问2详解】
∵
∴四边形为矩形，
设，则，
∵由（1）得
∴
∴，即
∴
在中，∵
∴
整理，得：
解得：（不符合题意，舍去），
∴
∴．
【点睛】本题重点考查切线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题关键是根据已知和所求问题，合理作出辅助线．
23. 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点H，沿折叠，使点B落在上的点G处，得到折痕，把纸片展平．根据以上操作，直接写出图1中的度数：_______；
（2）拓展应用
小华在以上操作的基础上，继续探究，延长交于点M，连接交于点N（如图2），判断的形状是_______，并说明理由；
（3）迁移探究
如图3，已知正方形的边长为3，当点H是边的三等分点时，把沿翻折得，延长交于点M，请直接写出的长：_______．
【答案】（1）
（2）等边三角形，理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）由折叠的性质可得，从而可得；
（2）由折叠可证， ，得到，即点N是的中点，从而，，得证，根据（1）可得，因此为等边三角形；
（3）由点H是边的三等分点得到或，分两种情况讨论：①当时，，，易证，从而设，则，，在中，根据勾股定理有，求解即可；②当时，同①思路即可解答．
【小问1详解】
解：∵四边形为正方形，
∴，，
根据折叠性质可得，，，，
∴，
∴，
∴；
故答案：；
【小问2详解】
解：为等边三角形．理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠可得，
∴，
∵由折叠可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点N是的中点，
∴，，
∴，
∵由（1）有，
∴，
∴为等边三角形；
故答案为：等边三角形；
【小问3详解】
∵点H是边的三等分点，
∴或，
①当时，，，
∵，，，
∴，
∴
设，
则，，
∵在正方形中，，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴；
②当时，，，

∵，，，
∴，
∴，
设，
则，，
∵在正方形中，，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴；
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查轴对称的性质，正方形的性质，等边三角形的判定，三角形全等的判定及性质，勾股定理，综合运用各个知识，运用分类讨论思想，方程思想是解题的关键．
……
10
15
20
25
30
……
……
45
30
22.5
18
15
……
思想政治
地理
化学
生物
思想政治
思想政治，地理
思想政治，化学
思想政治，生物
地理
地理，思想政治
地理，化学
地理，生物
化学
化学，思想政治
化学，地理
化学，生物
生物
生物，思想政治
生物，地理
生物，化学