安徽省安庆市安庆九一六学校2023-2024学年高二下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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满分：150分 时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 对变量x, y 有观测数据（，）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（，）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断．
A. 变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B. 变量x 与y 正相关，u 与v 负相关
C. 变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D. 变量x 与y 负相关，u 与v 负相关
【答案】C
【解析】
【详解】变量x 与中y随x增大而减小，为负相关；u 与v中，u 随v的增大而增大，为正相关．
2. （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用组合数的性质可求三者的和.
【详解】．
故选：D.
【点睛】本题考查组合性质的应用，一般组合数具有如下性质：（1）递推性质： ；（2）对称性质：；（3）.本题属于基础题.
3. 甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件为“三个人去的景点各不相同”，事件为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则等于
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应的基本事件的个数，即可得出结果.
【详解】甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙、丙只能在剩下的两个景点选择，根据分步乘法计数原理可得，对应的基本事件有种；另外，三个人去不同景点对应的基本事件有种，所以，故选C.
【点睛】本题主要考查条件概率，确定相应的基本事件个数是解决本题的关键.
4. 下列说法中正确的是
①相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， 越接近于，相关性越弱；
②回归直线一定经过样本点的中心；
③随机误差的方差的大小是用来衡量预报的精确度；
④相关指数用来刻画回归的效果， 越小，说明模型的拟合效果越好．
A. ①②B. ③④C. ①④D. ②③
【答案】D
【解析】
【详解】①相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越接近于，则相关性越强，所以错误；
②回归直线一定经过样本点的中心，正确；
③随机误差的方差的大小是用来衡量预报的精确度，正确；
④相关指数用来刻画回归的效果，越小，说明模型的拟合效果越不好，所以错误．
所以正确的有②③．故选D．
5. 若随机变量X的分布列如下表所示，且，则表中a的值为（ ）
A. B. 7C. 5.61D. 6.61
【答案】B
【解析】
【分析】根据随机变量的分布列的性质求得，再由期望的公式，求得，最后利用方差的公式，即可求解，得到答案．
【详解】根据随机变量的分布列性质，可得，解得，
又由，解得.
故选：B.
6. 二项式的展开式中，的系数为（ ）
A. B. C. 10D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出二项式展开式的通项，再令求出，再代入计算可得；
【详解】解：二项式展开式的通项为，令，解得，所以，故的系数为；
故选：A
7. 某中学派6名教师到A，B，C，D，E五个山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教．学校考虑到教师甲的家乡在山区A，决定派教师甲到山区A，同时考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有（ ）
A. 360种B. 336种C. 216种D. 120种
【答案】B
【解析】
【分析】对山区的派发人数分类，若派到山区只有甲，剩下教师按人数分组以后计算种数，再减去乙丙教师安排到同一山区的种数，即可得山区只派甲的情况的种数，进而求出总的情况数量.
【详解】若派到山区有人，则不同的派法有种；
若派到山区只有甲，先把其余人分为四组，每组人数分别为，再将四组教师分配到四个山区，不同派法有种，
其中乙和丙安排到同一山区的情况有种，所以派到山区只有甲的派法有种；
所以不同的派法共有种.
故选：
8. 在3重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A发生的次数X的期望和方差分别为（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得到，结合题设条件求得，结合期望和方差的公式，即可求解.
【详解】设事件在每次试验中发生的概率为，则，
因为事件至少发生一次的概率为，可得，解得，
所以，所以.
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
分析】令可判断选项AB；令，令可判断选项CD.
【详解】令，解得，故选项A错误，B正确.
令，得，故选项C正确.
令，得，
故，即，故选项D正确.
故选：BCD．
10. 设某大学女生体重（单位：）与身高（单位：）具有线性相关关系，根据一组样本数据（、、、），用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中正确的是（ ）
A. 与具有正的线性相关关系
B. 回归直线过样本点的中心
C. 若该大学某女生身高增加，则其体重约增加
D. 若该大学某女生身高，则可断定其体重必为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据线性回归方程的意义及性质逐一判断即可得出答案.
【详解】A选项，则，与 具有正的线性相关关系，故A对；
B选项，回归直线过样本点的中心，故B对；
C选项，该大学某女生身高增加，预测其体重约增加，故C对；
D选项，该大学某女生身高为，预测其体重约为，故D错.
故选：ABC．
11. 已知随机变量服从正态分布（100，100），则下列结论正确的是（ ）
（若随机变量服从正态分布，则，
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据正态分布的意义及法则可得结果
【详解】由随机变量得：
正态分布曲线关于直线对称，且，
,
所以，
，
，
故ABC正确，D错误.
故选：ABC.
12. 能被7整除，则整数a的值可以是（ ）
A. 4B. 6C. 11D. 13
【答案】BD
【解析】
【分析】将化成，问题转化为能被7整除，再利用二项式定理计算推理作答.
【详解】依题意，
显然能被7整除，因此能被7整除，当且仅当能被7整除，
而，又能被7整除，
从而得能被7整除，则整数a的值可以是6或13.
故选：BD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）
13. 某校的4名体育教师对足球、篮球、羽毛球3个运动兴趣小组进行指导，要求每项运动至少有一名教师指导，每名教师指导一项运动，则分派方法共有______种．
【答案】
【解析】
【分析】先将教师分成3组，再进行全排列即可得解.
【详解】先将4名教师分成3组的方法有种，
将3组教师分配指导3个运动兴趣小组的方法有种，
所以总的分派方法共有种.
故答案为：.
14. 一个盒子中有大小、形状完全相同的m个红球和6个黄球.从盒中每次随机取出一个球，记下颜色后放回，共取5次，设取到红球的个数为X，若，则m的值为________.
【答案】14
【解析】
【分析】利用计算即可.
【详解】由题意，知，则，解得.
故答案为：14
【点睛】本题考查二项分布的期望，考查学生对常见分布的期望公式的掌握情况，是一道容易题.
15. 已知在党委政府精准扶贫政策下，自2018年起某地区贫困户第x年的年人均收入y（单位：万元）的统计数据如表：
根据如表可得经验回归方程中的为0.3，据此模型预报该地区贫困户2022年的年人均收入为___________万元．
【答案】1.75
【解析】
【分析】根据样本中心点求得，进而求得年的年人均收入的预测值.
【详解】.
故，
所以，
年，对应，预测值为（万元）
故答案为：
16. 河北疫情爆发后，某医院抽调3名医生，5名护士支援河北的三家医院，规定每家医院医生一名，护士至少一名，则不同的安排方案有___________种.
【答案】900
【解析】
【分析】先对医生进行分配，再将护士分组后进行分配，根据分步计数原理即可求解.
【详解】解：第一步：先将三名医生分配到三家医院，则有，
第二步：将名医生分为组，再分配到三家医院，则有，
故不同的安排方案有.
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 从分别印有数字0，3，5，7，9的5张卡片中，任意抽出3张组成三位数．
（Ⅰ）求可以组成多少个大于500的三位数；
（Ⅱ）求可以组成多少个三位数；
（Ⅲ）若印有9的卡片，既可以当9用，也可以当6用，求可以组成多少个三位数．
【答案】（Ⅰ）36；（Ⅱ）48；（Ⅲ）78．
【解析】
【分析】（Ⅰ）只要首位不小于5，后面随便排数即可；
（Ⅱ）首位不排0，后两位排任意数；
（Ⅲ）分类选了9和没选9，选9这张可作9也可作6用．
【详解】（Ⅰ）由题意大于500的三位数的个数为；
（Ⅱ）所有三位数个数为；
（Ⅲ）．
【点睛】本题考查排列的应用，数学排列问题，注意首位不能为0．
18. 袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：
（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）随机变量X分布列；
（3）一次取球所得计分介于20分到40分之间的概率．
【答案】（1）
（2）分布列见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合组合数的计算公式和古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（2）由题意得到随机变量的可能取值为，利用互斥事件和独立事件的概率计算公式，求得相应的概率，列出分布列；
（3） “一次取球所得计分介于20分到40分之间记为事件C，结合，即可求解．
【小问1详解】
解：由题意，“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件即为，
则.
【小问2详解】
解：由题意，随机变量的可能取值为，
可得；；
；
可得随机变量的概率分布列为：
【小问3详解】解：“一次取球所得计分介于20分到40分之间记为事件C，
则．
19. 随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加，为此某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：
若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．
附：（为样本容量）
（1）经调查，该市约有3万人参与马拉松运动，估计其中“热烈参与者”的人数；
（2）根据上表的数据，填写下列：列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“热烈参与马拉松”与性别有关？
【答案】（1）6000人
（2）在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为“热烈参与马拉松”与性别有关.
【解析】
【分析】（1）先求出参与马拉松运动的‘热烈参与者’的概率即可求出该市参与马拉松运动的“热烈参与者”的人数.
（2）根据题中所给数据即可填写列联表，再结合独立性检验的思想方法直接计算求解即可得解.
【小问1详解】
记事件“参与马拉松运动的‘热烈参与者’”，
则由题意可得，
所以该市参与马拉松运动的“热烈参与者”的人数估计为人.
【小问2详解】
列联表如下：
零假设为：“热烈参与马拉松”与性别无关，
根据列联表中的数据得，
所以根据小概率值的独立性检验推断不成立，
所以在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为“热烈参与马拉松”与性别有关.
20. 在二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列.
（1）求展开式中的所有有理项；
（2）求系数最大的项.
【答案】（1），，
（2）或
【解析】
【分析】（1）先求出前三项的系数，再由前三项的系数依次成等差数列，得，求出，从而可求出二项式展开式的通项公式，进而可求出其的有理项，
（2）设第项的系数最大，则，且，从而可求出的范围，进而可求出系数最大的项
【小问1详解】
∵，，，
由题设可知，，解得或（舍），
当时，通项，
据题意，必为整数，从而可知必为4的倍数，而，
∴，4，8，
故展开式的有理项为，，.
【小问2详解】
设第项的系数最大，显然，故，且，
即得，且得，
∵，
∴或，
∴系数最大的项为或.
21. 3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．
（1）选其中5人排成一排；
（2）全体站成一排，男、女各站在一起；
（3）全体站成一排，男生不能站在一起；
（4）全体站成一排，男不站排头也不站排尾．
【答案】（1）2520
（2）288 （3）1440
（4）1440
【解析】
【分析】（1）（2）（3）（4）根据不同要求，依题意列出不同情况满足的排列组合的式子计算即可得到方法种数.
【小问1详解】
选其中5人排成一排，不同的排队方案有种.
【小问2详解】
全体站成一排，男女各站一起，有种.
【小问3详解】
全体站成一排，男生不能站在一起，有种.
【小问4详解】
全体站成一排，男不站排头也不站排尾，
选2女生排头和尾，其它5人作全排列，有种.
22. 甲盒有标号分别为1、2、3的3个红球;乙盒有标号分别为1、2、3、4的4个黑球,从甲、乙两盒中各抽取一个小球.
(1)求抽到红球和黑球的标号都是偶数的概率;
(2)现从甲乙两盒各随机抽取1个小球,记其标号的差的绝对值为,求的分布列和数学期望.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】（1）由独立事件的概率公式即可得到答案；
（2）的所有可能取值为0,1,2,3，分别计算概率，于是得到分布列和数学期望.
【详解】（1）由题意，抽到红球是偶数的概率为，抽到黑球是偶数的概率为
因为两次抽取是相互独立事件，
所以由独立事件的概率公式，得抽到红球和黑球的标号都是偶数的概率为
（2）由题意，的所有可能取值为0,1,2,3
故的分布列为
故的数学期望为
【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率计算，分布列以及数学期望，意在考查学生的分析能力，转化能力及计算能力.
X
4
a
9
P
0.5
0.1
b
年份
2018
2019
2020
2021
年份编号x
1
2
3
4
年人均收入y/万元
0.6
0.8
1.1
1.5
X
2
3
4
5
P
平均每周进行长跑训练天数
不大于2天
3天或4天
不少于5天
人数
30
130
40
a
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
热烈参与者
非热烈参与者
合计
男
140
女
55
合计
性别
热烈参与者
非热烈参与者
合计
男
35
105
140
女
5
55
60
合计
40
160
200
0
1
2
3