重庆市第八中学2023-2024学年八年级下学期数学开学考试模拟试题（2.23）（解析版）

这是一份重庆市第八中学2023-2024学年八年级下学期数学开学考试模拟试题（2.23）（解析版），共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，选择填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形，解答本题的关键是掌握中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
2. 若代数式有意义，则实数的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零计算．
【详解】由题意得，x−2≠0，
解得，x≠2，
故选：D．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
3. 下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，根据因式分解的定义，即可得到本题的答案．
【详解】A．属于整式的乘法运算，不合题意；
B．符合因式分解的定义，符合题意；
C．右边不是乘积的形式，不合题意；
D．右边不是几个整式的积的形式，不合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，即将多项式写成几个因式的乘积的形式，掌握定义是解题的关键．
4. 下列不等式的变形不正确的是（ ）
A. 若a＞b，则a+3＞b+3B. 若a＜b，则﹣a＞﹣b
C. 若﹣x＜y，则x＞﹣2yD. 若﹣2x＞a，则x＞﹣a
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式方程的性质注意判断即可．
【详解】解：A．若a＞b，不等式两边同时加上3得：a+3＞b+3，即A项正确，
B．若a＜b，不等式两边同时乘以﹣1得：﹣a＞﹣b，即B项正确，
C．若﹣x＜y，不等式两边同时乘以﹣2得：x＞﹣2y，即C项正确，
D．若﹣2x＞a，不等式两边同时乘以﹣得：x＜﹣a，即D项错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式方程的性质，解决本题的关键是掌握以上的性质．
5. 若将点先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，得到点B，则点B的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减进行计算即可．
【详解】解：将点先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，得到点B，
则点B的坐标为，
即，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化--平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．
6. 已知，则的值为（ ）
A. 6B. C. -6D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，求出x的值，然后得到y的值，再代入计算，即可得到答案.
【详解】解：根据题意，有
，解得：，
∴，
∴；
故选：B.
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件.
7. 如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，得，根据外角性质可证，由旋转的性质可知，则，根据三角形内角和为得即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵将绕点A按逆时针方向旋转得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识，证明出是解题的关键．
8. 如图，直线（）与直线（）交于点，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象交点左侧直线y＝kx＋b图象在直线y＝mx图象的下面，即可得出不等式kx＋b≤mx的解集．
【详解】由图可知，关于x的不等式kx＋b≤mx的解是x≥−1．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：观察函数图象，比较函数图象的高低（即比较函数值的大小），确定对应的自变量的取值范围．也考查了数形结合的思想．
9. 如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（ ）
A. 11cmB. 2cmC. （8+2）cmD. （7+3）cm
【答案】B
【解析】
【详解】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
解：将长方体展开,连接AB′，则AB′最短.
∵AA′=3+2+3+2=10cm，A′B′=6 cm，
∴AB′=cm.
故选B..
10. 整数a使得关于x，y的二元一次方程组的解为正整数（x，y均为正整数），且使得关于x的不等式组无解，则所有满足条件的a的和为（ ）
A. 9B. 16C. 17D. 30
【答案】C
【解析】
【分析】表示出方程组解，由a为整数且方程组的解为正整数确定出a的值，再由不等式组无解，确定出满足题意a的值，求出之和即可．
【详解】解：方程组，
①−②得：（a−3）x＝10，
解得：x＝，
把x＝代入②得：，
解得：，
∵a为整数，x，y为正整数，
∴a−3＝1或2或5或10，
解得：a＝4或5或8或13，
不等式组整理得：，
∵不等式组无解，
∴a＋2≤10，
解得：a≤8，
∴满足题意a的值为4或5或8，之和为4＋5＋8＝17，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，以及二元一次方程组的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
二、填空题
11. 计算：_______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了零次幂，首先利用零次幂的性质，再算加减即可，关键是掌握零指数幂：．
【详解】解：原式，
故答案为：．
12. 在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则__________．
【答案】-3
【解析】
【分析】首先根据对称性，得出点A的坐标，即可得出和的值，然后代入即可得解，
【详解】由已知，得
点A的坐标为
∴
∴
故答案为：-3
【点睛】此题主要考查在平面直角坐标系中利用对称性求点坐标以及关于坐标的计算，熟练掌握，即可解题．
13. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点的坐标为，以点为直角顶点，为腰作等腰，则点的坐标为__________．

【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况讨论：①当点在第四象限时，过作轴于点，首先证明，由全等三角形的性质可得，，
即可确定点的坐标；当点在第三象限时，过作轴于点，同理可证明，由全等三角形的性质可得，，然后确定点的坐标即可．
【详解】解：分两种情况：
①如下图，当点在第四象限时，

过作轴于点，
∴，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
②如下图，当点在第三象限时，

过作轴于点，
同理可证明，
∴，，
∴，
∴点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形两锐角互余等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
三、解答题
14. 将下列各式因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）先提取公因式a，然后利用完全平方公式进行因式分解；
（2）利用分组分解法进行因式分解，前3项一组，后1项一组．
【详解】解：（1）原式==；
（2）原式===．
考点：因式分解——分组分解法；提公因式法与公式法的综合运用．
15. 解下列不等式组并在数轴上表示解集．
（1）；
（2）．
【答案】（1）无解，数轴见解析
（2），数轴见解析
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解不等式的方法，会在数轴上表示不等式组的解集．
（1）根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集，并在数轴上表示出来；
（2）根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集，并在数轴上表示出来．
【小问1详解】
解：，
解①得，，
解②得，，
则不等式组无解，
在数轴上表示为：
【小问2详解】
解：2x+1>3x-1①x+12-x-13≤1②，
解①得，，
解②得，，
则不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
16. 已知：在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）
（1）画出向下平移4个单位，再向左平移2个位得到的，并直接写出点的坐标 ；
（2）作出绕点A顺时针方向旋转90°后得到的，并直接写出点C旋转到的路线的长度 .
【答案】（1）作图见解析；；
（2）作图见解析；
【解析】
【分析】（1）按照要求平移作图可直接得到结果.
（2）按照要求旋转作图观察可直接得到结果，再利用弧长公式求解即可
【小问1详解】
把每个坐标按照题意平移可得图形如下；向下平移4个单位，再向左平移2个单位得.
【小问2详解】
作图如下，由图可知，.
∵
∴点C旋转到的路线的长度=
17. 为庆祝二十二届足球世界杯于2022年11月21日-12月18日在卡塔尔举行，某中学举办了一次足球世界杯知识网上答题竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行竞赛（百分制），竞赛成绩整理、描述和分析如下：
（成绩得分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．）．
七年级10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
七、八年级抽取的学生成绩统计表
八年级抽取的学生成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中a，b，c的值；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“足球世界杯”知识较好﹖请说明理由；（从两个不同的角度说明推断的合理性）
（3）该校七、八年级共1400人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是多少?
【答案】（1），，；
（2）八年级学生掌握“足球世界杯”知识较好，理由见解析
（3）估计参加竞赛活动成绩优秀的学生人数约是910人．
【解析】
【分析】本题考查频数分布表、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图表中各个数量之间的关系是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
（1）求出组所占的百分比，再根据频率之和为1，即可求出的值，依据中位数、众数的计算方法可求出八年级的中位数，和七年级的众数，确定、的值；
（2）通过比较平均数、中位数、众数得出答案；
（3）根据样本估计总体求解即可．
【小问1详解】
解：，，因此，
组有2人，组有2人，组有1人，组有5人，
将他们的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数是90和96，因此中位数是93，即，
七年级竞赛成绩出现次数最多的是96，都出现3次，因此众数是96，即，
答：，，；
【小问2详解】
解：八年级学生掌握防溺水安全知识较好，虽然七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，而且成绩的稳定性高于七年级，
因此八年级学生掌握“足球世界杯”知识较好；
【小问3详解】
解：（人．
答：估计参加竞赛活动成绩优秀的学生人数是910人．
18. 如图，在等腰中，，．点D为的中点，动点P从点D出发，沿着方向运动至点C处停止，过点P作交于点Q．设点P运动的路程为x，点P、Q的距离为y．
（1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，若直线与函数图象有2个交点，请直接写出t的取值范围．
【答案】（1）
（2）见解析；性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；
（3）
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形的性质可知，，，设点P运动的路程为x，点P、Q的距离为y，分两种情况讨论：当时，点P在上；当时，点P在上，利用度角所对的直角边等于斜边一半分别求出的长，即可得到答案；
（2）根据（1）所得函数关系式，利用描点法画图，再写出该函数的性质即可；
（3）结合函数图象，将和0,1代入，分别求出的值，即可得出t的取值范围．
【小问1详解】
解：在等腰中，，，点D为的中点，
，，
设点P运动的路程为x，点P、Q的距离为y，
如图，当时，点P在上，
，
在中，，
；
如图，当时，点P在上，
，
，
，
在中，，
；
综上可知，y关于x的函数表达式为
【小问2详解】
解：由（1）所得关系式可知，
函数图象如下：
性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；（答案不唯一）
【小问3详解】
解：由图象可知，直线的图象在和之间时，与函数图象有2个交点，
将代入，得：，
解得：，
将0,1代入，得：，
t的取值范围为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，求一次函数解析式，描点法画函数图象，一次函数图象和性质，两直线交点问题等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．
B卷
四、选择填空题
19. 若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（ ）
A. ﹣3B. ﹣2C. ﹣1D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】方程组中的两个方程相减得出x-y=3m+2，根据已知得出不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】解：，
①-②得：x-y=3m+2，
∵关于x，y的方程组的解满足x-y＞-，
∴3m+2＞-，
解得：m＞，
∴m的最小整数解为-1，
故选C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键．
20. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为________．
【答案】16
【解析】
【分析】根据旋转的性质得到△ABC≌△A1BC1，A1B=AB=8，所以△A1BA是等腰三角形，依据∠A1BA=30°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道，最终得到阴影部分的面积．
【详解】解：∵在△ABC中，AB=8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，
∴△ABC≌△A1BC1，
∴A1B=AB=8，
∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA=30°，
过点A1作于点D
∴
∴×8×4=16，
又∵，
，
∴=16．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键．
21. 如图，O是等边内一点，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：
①可以由绕点B逆时针旋转得到；
②点O与的距离为4；
③；
④；
⑤．
其中结论正确的是（ ）
A. ①②③⑤B. ①②③④C. ①②③④⑤D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】连接，过点O作，垂足为D，由旋转的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，从而证明，即可判断①正确，证明是等边三角形，即可判断②正确；根据等边三角形的性质可得，根据全等三角形的性质可证是直角三角形，即可判断③正确；在中，求出的长，然后根据进行计算即可判断④不正确；将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至点的位置，连接，过点A作，垂足为F，仿照④的解题思路，即可判断⑤不正确．
【详解】解：连接，过点O作，垂足为D，
由旋转得：，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴可以由绕点B逆时针旋转得到，故①正确；
由旋转得：，
∴是等边三角形，
∴，
∴点O与的距离为4，故②正确；
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，故③正确；
中，，
∴
，故④不正确；
将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至点的位置，连接，过点A作，垂足为F，如图：
由旋转得：，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
在中，，
∴
，
故⑤不正确；
所以，上列结论，正确的结论是①②③，
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22. 如图，的顶点，，点C在y轴的正半轴上，，将向右平移得到，若经过点C，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点B作轴于点G，根据，利用勾股定理，可求出点C的坐标；设直线的解析式为：，把，代入，求出解析式，根据点C在平移的直线，即可得解．
【详解】解：过点B作轴于点G，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴点；
设直线的解析式为：，
∴，
解得，
∴；
设向右平移n个单位长度得到，
∴直线的解析式为：，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∴向右平移个单位长度得到，
∴点，
故选：C．
【点睛】本题考查坐标系下的平移，掌握函数平移的性质，勾股定理的运用是解题的关键．
23. 如图，在中，分别是边上的点，将沿翻折至所在的平面内，得相交于点．若，，则的长是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，设，则，根据勾股定理，三角形相似计算即可．
【详解】∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，
则，，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
24. 对于任意一个四位数m，若它的千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“天平数”，为m的各个数位上的数字之和．例如：，∵，；，，∴6397不是“天平数”．求出 ______；已知M，N均为“天平数”，其中，(，，，x，b，y是整数)，，(，，，，a，b，c，d是整数)，若，求出满足条件的N的最大值______．
【答案】 ①. 14 ②. 8190
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，各个位数上字母的取值范围是解答本题的关键．根据天平数的定义计算即可，利用天平数和题意列出，根据取值范围确定最大值即可．
【详解】解：根据题意天平数5234各数字之和为：；
∵M是“天平数”，，(，，，x，b，y是整数)，
，
，
∵N是“天平数”，，(，，，，a，b，c，d是整数)
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
根据和，
只存在这一情况，
①或者②，
对于方程组①，，要使得越大需要使得越大，
∵，，
∴，此时，
由得x=1，
∴(符合题意)，
，，
∵，，
∴当， ，时，．
对于方程组②，由得即，
∴此时不能取得比更大得数，
综上所述：．
故答案为：14；8190．
五、解答题
25. 2018年11月5日中国进口博览会如期举行，旨在坚定支持贸易自由化和经济全球化，主动向世界开发市场，吸引了58个“一带一路”沿线国家的超过1000多家企业参展，将成为共建“一带一路”的又一个重要支撑，仅医疗器械及医药保健展区成交57.6亿美元，某保健公司引进了A、B两种型号的医疗器材共计50台，花费2300万美元，已知A型器材每台40万美元，B型器材每台50万美元．
（1）求出该公司引进了A、B两种型号的医疗器材各多少台．
（2）现该公司需将购进的医疗器材运往甲、乙两个仓库，已知甲仓库容量为30台，乙仓库容量为20台，运费如表，设运往甲仓库的A型医疗器材为x台（），求总运费为y（万美元）关于x的函数关系式，并求出总运费最低的调运方案，最低总运费是多少万美元．
【答案】（1）该公司引进20台A型号医疗器材，30台B型号医疗器材
（2）y与x的函数关系式为；总运费最低的调运方案为：运往甲仓库的A型医疗器材为15台，运往甲仓库的B型医疗器材为15台，运往乙仓库的A型医疗器材为5台，运往乙仓库的B型医疗器材为15台；最低总运费为41万美元．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组应用，一次函数的应用，为方程和函数综合应用的常规题型．准确用x表示运往甲、乙仓库的各种器材数是解题关键．
（1）根据两种器材数量和为50台和总费用2300万美元为等量关系列方程组；
（2）用x表示运往甲仓库的B型器材数、运往乙仓库的A、B型器材数，根据题意求运费和，得到y关于x的函数为一次函数，且x的系数为负数，所以x越大y越小．
【小问1详解】
设该公司引进a台A型号医疗器材，则引进B型号器材b台，根据题意得：
，
解得：，
答：该公司引进20台A型号医疗器材，30台B型号医疗器材．
【小问2详解】
依题意得，运往甲仓库的B型医疗器材为台，运往乙仓库的A型为台，运往乙仓库的B型为x台，
∴，
整理得：，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴当时，y有最小值，最小值为，
答：y与x的函数关系式为；总运费最低的调运方案为：运往甲仓库的A型医疗器材为15台，运往甲仓库的B型医疗器材为15台，运往乙仓库的A型医疗器材为5台，运往乙仓库的B型医疗器材为15台；最低总运费为41万美元．
26. 如图1，在平面直角坐标系中，直线：分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线与x轴交于点C，与l1交于第四象限内的点D，已知点D到x轴的距离为，．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，将y轴向左平移2个单位长度得到直线，在x轴负半轴取一点，动点M，N分别在直线和y轴上运动，连接，求的最小值；
（3）如图3，将绕点O逆时针旋转得到，点P为直线上一动点，点Q在x轴上，连接，当是以P或Q为直角顶点的等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）或或或
【解析】
【分析】（1）求出点D的坐标，利用待定系数法即可求出答案；
（2）由已知题意得作点E关于y轴的对称点,作点D关于的对称点，连接交直线于点，交y轴于点，当四点共线时，取得最小值，最小值为的长度，根据两点之间的距离公式可得即可，
（3）求出，，得到直线的直线解析式为，设点P的坐标为，点Q的坐标为 ，分两种情况进行画图解答即可．
【小问1详解】
解：∵直线与直线相交于点D，且点D到x轴的距离为，.
∴将代入直线：，
解得 ，
则D点坐标为
设直线的解析式为，将点D，点代入得：
解得
∴直线的解析式为.
【小问2详解】
由已知题意得作点E关于y轴的对称点,作点D关于的对称点，连接交直线于点，交y轴于点，如图，
由已知得到为直线，
由对称性可知，，
∴，
∴当四点共线时，取得最小值，最小值为长度，
∵， D点坐标为
∴点，
根据两点之间的距离公式可得 ，
∴的最小值为
小问3详解】
直线：分别与x轴，y轴交于A，B两点，
当时，,
当时，，解得，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，
∵将绕点O逆时针旋转得到，
∴，
设直线的直线解析式为，则
,
∴
∴直线的直线解析式为，
∵点P为直线上一动点，点Q在x轴上，
∴设点P的坐标为，点Q的坐标为 ，
①若Q为直角顶点，且在左侧，过点P作轴于点M，过点D作轴于点H，如图，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
解得，
∴
若Q为直角顶点，且在右侧，过点P作轴于点M，过点D作轴于点H，如图，
同理
∴，
∴
解得，
∴
②点P为直角顶点，且Q在右侧，过点P作轴于点R，过点D作轴交于点G，如图，
同理可证
∴，
∴
解得，
∴
点P为直角顶点，且Q在作侧，过点P作轴于点R，过点D作轴交于点G，如图，
同理可证
∴，
∴
解得，
∴
综上可知，点P的坐标为或或或
【点睛】此题考查一次函数的图象和性质、求一次函数解析式、轴对称的性质、旋转的性质、等腰三角形性质、全等三角形的判定和性质等知识，综合性强，分类讨论是解题的关键．
27. 如图，在中，，点D是平面内一点，满足，延长交直线于点E，过点A作交延长线于点F．
（1）如图1，若平分，，求的长；
（2）如图2，延长交于点G，若，求证：；
（3）如图3，以为边构造等边三角形，若，连接，当最小时，直接写出的面积．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识．
（1）证明，设，则，在中，，则，即可求出答案；
（2）过点C作交延长线于点N，连接，证明，则，证明，则得到，即可得到，证明结论；
（3）连接，证明在以点D为圆心，为半径的圆上，进一步得到，则点M在过点A与夹角为的直线上，当时，的值最小，过点C作于点H，求出，即可求出的面积．
【小问1详解】
解：∵在中，，
∴，
∵平分，
∴
∵，
∴，
∴，，
∴
∴，
∴
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
在中，
∴，
解得（负值已舍去），
∴
【小问2详解】
证明：过点C作交延长线于点N，连接，
∵，
∴，
∵，
∴
∴
∵，
∴，
∵，
即
又∵，
∴
∴
∵
∴，
∵，
∴
【小问3详解】
的面积是．
连接，
∵，
∴在以点D为圆心，为半径的圆上，，
∵，
∴
∴，
∴点M在过点A与夹角为的直线上，
∴时，的值最小，
过点C作于点H，如图，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴
∴
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
93
b
众数
c
100
方差
52
50．4
0
1
2
3
4
5
6
1
2
1
0
甲（万美元/台）
乙（万美元/台）
A型医疗器材
0.7
1
B型医疗器材
0.8
0.9